Đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán năm học 2014 - 2015 - Thời gian 120 phút

COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän TAÂN BÌNH (14-15) 
Thôøi gian: 120 phuùt 
(NGAØY THI: 11/10/2014) 
Baøi 1: (3 ñieåm) Ruùt goïn: 
2 2 5
A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
2 5
 
       
 
Baøi 2: Giải phương trình vaø heä phöông trình sau:
a)     
3
3 5 3 5 0
5
x
x x x
x

    

 (2 ñieåm) 
b)
2 23x 6x 41 10 2x 7    (2 ñieåm) 
c) 
2
1 1 1
2
x y z
2
4
xy z

  


  

(2 ñieåm) 
Baøi 3: a) Cho a > 1 ; b > 1 ; c > 1. Chöùng minh raèng : 
a b c
6
a 1 b 1 c 1
  
  
(1 ñieåm) 
b) Cho
1
x
2
 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc: 2M 2x 5x 2 2 x 3 2x      (2 ñieåm)
c) Tìm nghieäm nguyeân toá cuûa phöông trình
2 2x 2y 1  (1 ñieåm) 
Baøi 4: Cho ABC noäi tieáp (O) ñöôøng kính AB. Keû ñöôøng cao CH cuûa ABC . Veõ (I) tieáp xuùc vôùi
HC, HB taïi E, D vaø tieáp xuùc trong vôùi (O) taïi F. 
a) Cho HA – HB = 5,6cm; 
3
tanCAD
4
 . Tính CA, CB. (2 ñieåm) 
b) Chöùng minh: A, E, F thaúng haøng vaø ACD caân. (2 ñieåm) 
Baøi 5: Cho ABC COÙ 0CBA 60 ;BC a;AB c   . (a, c laø hai ñoä daøi cho tröôùc). Hình chöõ nhaät
MNHK coù ñænh M treân caïnh AC; N treân caïnh AC; H, K treân caïnh BC. Hình chöõ nhaät MNHK 
ñöôïc goïi laø hình chöõ nhaät noäi tieáp ABC . Tìm vò trí cuûa M treân caïnh AB ñeå dieän tích hình chöõ
nhaät MNHK ñaït giaù trò lôùn nhaát. Tính giaù trò lôùn nhaát ñoù theo a vaø c. (3 ñieåm) 
  HEÁT   
ÑEÀ THI HSG LÔÙP 9 
QUAÄN TAÂN BÌNH – (2014-2015) 
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän TAÂN BÌNH (14-15) 
Baøi 1: Ruùt goïn: 
2 2 5
A 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5
2 5
  
       
 
Ñaët B 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 ; B > 0     
 
 
 
 
2
2
2
2
2
B 16 2 64 4 10 2 5
B 16 2 24 8 5 16 2 2 5 2
B 16 4 5 4 12 4 5 10 2
B 10 2 vì B > 0
    
      
       
  
Khi ñoù:    
  
  
 
2 2 5 5 2
2 2 5
A 10 2 2 5 1 2 5 1 6 2 5
2 5 5 2 5 2
 
      
  
      
2
2 5 1 5 1 2 5 1 5 1 4 2      
Baøi 2: Giải phương trình:
a)     
3
3 5 3 5 0
5
x
x x x
x

    

Ñieàu kieän : 5 3x hay x  
    
3
3 5 3 5 0
5
x
x x x
x

    

   
 
3
5 3 3 0
5
5
3
3 3 0 1
5
x
x x
x
x
x
x
x
 
     
  
 

    
 
Giaûi (1):  
3
3 3 0
5
x
x ñieàu kieän: x 3
x

    

   
23 3 9
3 3 3 9 3 3 0
5 5 5
x x
x x x x
x x x
    
             
     
HÖÔÙNG DAÃN ÑEÀ THI HSG LÔÙP 9 
QUAÄN TAÂN BÌNH (2014-2015) 
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän TAÂN BÌNH (14-15) 
 
 
 
2
3
3
4
2 24 0
6
x nhaän
x
x loaïi
x
x nhaän
  
  
   
   

Vaäy  3 6S ; 
b)
2 23x 6x 41 10 2x 7   
2 23x 6x 41 10 2x 7   
2 2 22x 7 10 2x 7 25 x 6x 9 0            
2
222x 7 5 x 3 0     
22x 7 5 0
x 3
x 3 0
   
  
 
Vaäy  S 3
c) 
2
1 1 1
5
x y z
2
20 5
xy z

  


   

Ñieàu kieän: x 0;y 0;z 0  
2 2 2
2 2 2
1 1 1 10 10 21 1 1 1 1 1
255 5
x y xyx y z z x y z x y
2 1 1 2 1 2
20 5 25 25
xy xy xyz z z
 
            
  
  
        
    
2 2 2 2
2 1 1 10 10 2 1 10 1 10
25 25 25 25 0
xy x y xy x yx y x y
1 1 1 1 1 1
5 5
z x y z x y
    
               
      
     
  
2 2
11
x5
1 1 5x
5 5 0
1 1x y
5 y
y 51 1 1
5
11z x y z5 5 5
5z

    
       
           
  
     
    
 
 Vaäy nghieäm cuûa heä pt laø 
1
x
5
1
y
5
1
z
5









Baøi 3: a) Cho a > 1 ; b > 1 ; c > 1. Chöùng minh raèng : 
a b c
6
a 1 b 1 c 1
  
  
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá döông, ta coù: 
 
1 a 1 a a
1 a 1 a 1 2
2 2 a 1
 
      

Chöùng minh töông töï, ta coù: 
b
2; 2
b 1 c 1
 
 
Do ñoù: 
a b c
6
a 1 b 1 c 1
  
  
. Daáu ‘’=’’ xaûy ra khi 
a 1 1
b 1 1 a b c 2
c 1 1
 

     
  
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän TAÂN BÌNH (14-15) 
b) Cho
1
x
2
 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa 2M 2x 5x 2 2 x 3 2x     
  2M 2x 5x 2 2 x 3 2x 2x 1 x 2 2 x 3 2x           
AÙp duïng baát ñaúng thöùc Coâ-si cho hai soá döông, ta coù: 
  
2x 1 x 2 3x 3
2x 1 x 2 =
2 2
4 x 3 x 7
2 x 3
2 2
    
  

     

  
  
3x 3 x 7
2x 1 x 2 2 x 3
2 2
2x 1 x 2 2 x 3 2x 5
 
      
      
  2x 1 x 2 2 x 3 2x 5
M 5
       
 
Vaäy giaù trò lôùn nhaát cuûa M laø 5 
Daáu ‘’=’’ xaûy ra khi 
2x 1 x 2
x 1
4 x 3
  
 
 
c) Tìm nghieäm nguyeân toá cuûa phöông trình
2 2x 2y 1 
Caùch 1: 
  2 2 2 2 2x 2y 1 x 1 2y x 1 x 1 2y        
  x 1 x 1 2   trong 2 soá    x 1 vaø x 1  phaûi coù ít nhaát 1 soá chaün. (1)
Ta coù:    x 1 x 1 2x    laø 1 soá chaün    x 1 vaø x 1   coù cuøng tính chaün leû (2)
Töø (1) vaø (2)    x 1 vaø x 1   cuøng chaün.
 
 
    2 2
x 1 2
x 1 x 1 4 2y 4 y 2 y 2 vì y nguyeân toá
x 1 2
 
       

Theá x = 2 vaøo 
2 2x 2y 1  , ta ñöôïc:  2 2x 2.2 1 x 3 vì x nguyeân toá   
Vaäy caëp nghieäm nguyeân toá duy nhaát cuûa phöông trình laø x = 3; y = 2 . 
Caùch 2: 
      2 2 2 2 2 2x 2y 1 x 1 2y x 1 x 1 2y x 1 x x 1 2xy            
maø    x 1 x x 1  laø 3 soá töï nhieân lieân tieáp neân    x 1 x x 1 6 
Do ñoù : 
2 22xy 6 xy 3
TH1: x 3 x 3    vì x nguyeân toá
Theá x = 3 vaøo 
2 2x 2y 1  , ta ñöôïc:  2 23 2.y 1 y 2 vì y nguyeân toá   
TH2: y 3 y 3    vì y nguyeân toá
Theá y = 3 vaøo 
2 2x 2y 1  , ta ñöôïc:  2 2 2x 2.3 1 x 29 loaïi vì x nguyeân toá   
Vaäy caëp nghieäm nguyeân toá duy nhaát cuûa phöông trình laø x = 3; y = 2 . 
Baøi 4: Cho ABC noäi tieáp (O) ñöôøng kính AB. Keû ñöôøng cao CH cuûa ABC . Veõ (I) tieáp xuùc vôùi
HC, HB taïi E, D vaø tieáp xuùc trong vôùi (O) taïi F. 
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän TAÂN BÌNH (14-15) 
F
E
DH BOA
C
I
a) Cho HA – HB = 5,6cm; 
3
tanCAD
4
 . Tính CA, CB. 
Deã thaáy 
HC HB 3
CAB HCB tanCAB tanHCB
HA HC 4
     
HC HB 3 3 HB 9
HA HC 4 4 HA 16
     
Maø HA – HB = 5,6 neân HA = 12,8 (cm); HB = 7,2 (cm) 
Ta coù: AB = HA + HB = 12,8 + 7,2 = 20 (cm) 
Xeùt CAB vuoâng taïi C, ta coù CH laø ñöôøng cao
   
   
 
 
2
2
CA HA.AB 12,8 . 20 256 CA 16 cm
CB HB.AB 7,2 . 20 144 CB 12 cm
     
  
     
b) Chöùng minh: A, E, F thaúng haøng vaø ACD caân.
Xeùt FIE vaø FOA, ta coù: 
 
    
FIE FOA 2 goùc ñoàng vò vaø IE // OA
IF IE
tæ soá 2 baùn kính cuûa I vaø O
OF OA
 

 


 FIE FOA c g c IFE OFA     ∽
 tia FE truøng vôùi tia FA  A, E, F thaúng haøng.
Deã thaáy: 
 
 
EIO 2EFI goùc ngoaøi IEF caân taïi I
OID 2IFD goùc ngoaøi IDF caân taïi I
  

 
  EIDEIO OID 2 EFI IFD EID 2EFD EFD
2
       
Maët khaùc: 
0
0 0
180 DIE DIE
ADE 90 IDE 90
2 2

    
Do ñoù: ADE EFD .   2
AD AE
ADE AFD g g AD AE.AF
AF AD
      ∽ 
COÂNG TY COÅ PHAÀN GIAÙO DUÏC THAÊNG TIEÁN THAÊNG LONG 2014 -2015 
Hoïc Sinh Gioûi Lôùp 9 – Quaän TAÂN BÌNH (14-15) 
Maø 
 
 2
AE.AF AH.AB AHE AFB
AH.AB AC He ä thöùc löôïng
   


∽
 neân 
2 2
 ACD AD AC caân taïiAD A A.C   
Baøi 5: Cho ABC COÙ 0CBA 60 ;BC a;AB c   . (a, c laø hai ñoä daøi cho tröôùc). Hình chöõ nhaät
MNHK coù ñænh M treân caïnh AC; N treân caïnh AC; H, K treân caïnh BC. Hình chöõ nhaät MNHK 
ñöôïc goïi laø hình chöõ nhaät noäi tieáp ABC . Tìm vò trí cuûa M treân caïnh AB ñeå dieän tích hình chöõ
nhaät MNHK ñaït giaù trò lôùn nhaát. Tính giaù trò lôùn nhaát ñoù theo a vaø c. 
AB = c; BC = a
600
I
N
M
B C
A
K H
ABI vuoâng taïi I coù 0B 60
0
AI 3
sinB AI AB.sinB c.sin60 c.
AB 2
     
Deã thaáy 
MN AM
BC AB
MK BM
AI AB



 


 
2
2
2 2 2
AM BMMN MK AM BM AM.BM 1 1 AB 1
BC AI AB AB 4 4 4AB AB AB

       
MNHK
1 1 3 3
S BC.AI a.c. ac
4 4 2 8
    
Daáu “=” xaûy ra AM MB   M laø trung ñieåm cuûa AB. Khi ñoù 
MNHK
3
S ac
8
 
  HEÁT  