PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2014-2015 MễN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2015 Thời gian: 120 phỳt ( Khụng kể thời gian giao đề) (Đề thi này cú 05 cõu, gồm 01 trang) Cõu 1: (4,5 điểm). a) Tớnh giỏ trị của biểu thức b) Tớnh giỏ trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với . c) Tỡm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110. Cõu 2: (4,5 điểm). a) Tỡm tập hợp cỏc số nguyờn x, biết rằng: b) Tìm x, biết: c) Tớnh giỏ trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa món: + (y + 2)20 = 0 Cõu 3: (3,5 điểm). a) Tỡm số tự nhiờn cú ba chữ số, biết rằng số đú là bội của 18 và cỏc chữ số của nú tỉ lệ theo 1: 2: 3. b) Tỡm tất cả cỏc số tự nhiờn a, b sao cho : 2a + 37 = + b - 45. Cõu 4: (6,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn (AB < AC). Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: DADC = DABE. b) Chứng minh rằng: = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng DAMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phõn giỏc của gúc DIE. Cõu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyờn khỏc 0 : a1, a2, a3, , a20 cú cỏc tớnh chất sau: * a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kỡ là một số dương. * Tổng của 20 số đú là số õm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. .............. Hết............. Giỏm thị xem thi khụng giải thớch gỡ thờm! Họ và tờn thớ sinh::........................................... SBD........................................ Giỏm thị 1:.................................................... Giỏm thị 2:.............................. HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2014-2015 MễN : TOÁN. Nội dung Điểm CÂU 1 (4,5đ) a (1,5) = Vậy : A = 0 0,75 đ 0,5đ 0,25đ b (1,5) Vỡ nờn x = hoặc x = - Với x = thỡ: A = 2.()2 – 3. + 1 = 0 Với x = - thỡ: A = 2.(- )2 – 3.(-) + 1 = 3 Vậy : A=0 với x = và A=3 với x = - 0,75 đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ c (1,5) Từ ; . Suy ra Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú: = -2 Suy ra x = -2.6 = -12; y = -2.14 = -28; z = -2.35 = - 70. Vậy:x = -12; y = -28; z = - 70. 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ CÂU 2 (4,5đ) a (1,5) 2) Ta cú: Lạicú: Do đú: - 5 < x < mà x ẻ Z nờn x ẻ{-4; -3; -2; -1} 0,5đ 0,5đ 0,5đ b (2,0) a) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 suy ra 11x 0 hay x 0. với x 0 ta có: suy ra x = 1- = (TM) Vậy:x = 0,75đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ c (1,0) 1) Do ≥ 0; (y + 2)20 ≥ 0 ị + (y + 2)20 ≥ 0 với mọi x, y. Kết hợp + (y + 2)20 = 0 suy ra = 0 và (y + 2)20 = 0 Û x = 1; y = - 2. Giỏ trị của biểu thức :C=2x5 – 5y3 + 2015 tại x = 1; y = - 2 là:C=2.15 – 5.(-2)3 + 2015 = 2 + 40 + 2015 = 2057 Vậy C=2057 0,25 đ 0,25đ 0,25 đ 0,25đ CÂU 3 (3,5đ) a (1,5) Gọi a, b, c là cỏc chữ số của số cú ba chữ số cần tỡm. Khụng mất tớnh tổng quỏt, giả sử a b c9. Ta cú 1 a + b + c 27 . Mặt khỏc số cần tỡm là bội của 18 nờn là bội của 9, do đú a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27. Theo đề bài ta cú: Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nờn a + b + c = 18. Từ đú suy ra a = 3, b = 6, c = 9. Do số phải tỡm là bội của 18 nờn chữ số hàng đơn vị chẵn, vỡ vậy hai số cần tỡm là: 396; 936. 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ b (2,0) Nhận xột: Với x ≥ 0 thỡ + x = 2x Với x < 0 thỡ + x = 0. Do đú + x luụn là số chẵn với " xẻZ. Áp dụng nhận xột trờn thỡ + b – 45 là số chẵn với b ẻ Z. Suy ra 2a + 37 là số chẵn ị 2a lẻ Û a = 0 . Khi đú + b – 45 = 38 + Nếu b < 45, ta cú - (b – 45) + b – 45 = 38 Û 0 = 38 (loại) + Nếu b ≥ 45 , ta cú 2(b – 45) = 38 Ûb – 45 = 19 Û b = 64 (TM) vậy (a; b) = (0; 64) 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ CÂU 4 (6,0đ) a (1,0) Ta cú: AD = AB; và AC = AE Suy ra DADC = DABE (c.g.c) 0,75 đ 0,25 đ b (1,5) Từ DADC = DABE (cõu a), mà (đối đỉnh). Khi đú xột DBIK và DDAK suy ra = 600 (đpcm) 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ c (1,5) Từ DADC = DABE (cõu a) ị CM = EN và ịDACM = DAEN (c.g.c) ị AM = AN và = 600. Do đú DAMN đều. 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ d (2,0) Trờn tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ị DBIJ đều ị BJ = BI và = 600 suy ra , kết hợp BA = BD ịDIBA = DJBD (c.g.c) = 1200 mà = 600 = 600. Từ đú suy ra IA là phõn giỏc của gúc DIE CÂU 5 (1,5đ) (1,5) Ta cú : a1 + (a2 + a3 + a4) + + (a11 + a12 + a13) + a14 + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) 0 ; a2 + a3 + a4 > 0 ; ; a11 + a12 + a13 > 0 ; a15 + a16 + a17 > 0 ; a18 + a19 + a20 > 0 => a14 < 0. Cũng như vậy : (a1 + a2 + a3) + + (a10 + a11 + a12) + (a13 + a14) + (a15 + a16 + a17) + (a18 + a19 + a20) a13 + a14 < 0. Mặt khỏc, a12 + a13 + a14 > 0 => a12 > 0. Từ cỏc điều kiện a1 > 0 ; a12 > 0 ; a14 a1.a14 + a14a12 < a1.a12 (đpcm). 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Chỳ ý: +)Nếu HS làm theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. +)Nếu HS thiếu đỏp số trừ 0,25 điểm. +)Cõu 2a);3a) Nếu thiếu 1 giỏ trị trừ 0,1 điểm. +)Cõu 2b);3b) Khụng kiểm tra điều kiện trừ 0,1 điểm.
Tài liệu đính kèm: