Đề thi học sinh giỏi lớp 7 cấp huyện Anh Sơn môn: Toán năm học: 2015-2016

UBND HUYỆN ANH SƠN GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mụn: Toỏn
Năm học: 2015-2016
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
Bài 1 : Cho biểu thức A = .
	a. Tính giá trị của A tại x = và x = .
	b. Tìm giá trị của x để A =5.
Bài 2 : Tìm tỉ lệ ba cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là :5 : 7 : 8.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). 
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; K là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cõn.
Cõu 5. (1,0 điểm) 
a. Cho ba số dương 0abc1 chứng minh rằng: 
 b. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2.
Cõu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = . Khi đó x nhận giá trị nguyên nào?
Bài 1: Thực hiện phộp tớnh (6 điểm).
Giải:
a. 
0,75đ
= 
0,75đ
b. 
1,0đ
=
1,0đ
c. 
=
01đ
01đ
=
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tỡm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
0,25đ
-12x – 20 = 16
0,25đ
-12x = 16 + 20 = 36
0,50đ
x = 36 : (-12) = -3
0,50đ
b. Tỡm x, biết: 3 = 
Nếu . Ta cú: (vỡ nếu x = ẵ thỡ 2x – 1 = 0)
0,25đ
3 = 
: (2x – 1) = 
0,25đ
2x – 1 =: = 
0,25đ
2x = + 1 = 
0,25đ
x = : 2 = > 
0,25đ
Nếu . Ta cú: 
0,25đ
3 = 
: (1 - 2x) = 
0,25đ
-2x = - 1 = 
0,25đ
x = : (-2) = 
0,25đ
Vậy x = hoặc x = 
0,25đ
c. Tỡm x, y, z biết : và x + z = 2y
Từ x + z = 2y ta cú:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
0,25đ
hay 2x – y = 3y – 2z
0,25đ
Vậy nếu: thỡ: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vỡ 5 ạ 15).
0,25đ
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = 
0,25đ
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. ị x + z + y – 2z = 0 hay + y – z = 0
0,25đ
hay - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z.
0,25đ
Vậy cỏc giỏ trị x, y, z cần tỡm là: {x = z; y = z ; với z ẻ R }
hoặc {x = y; y ẻ R; z = y} hoặc {x ẻ R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức .
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 
Ta cú:
(a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
0,75đ
cb = ad suy ra: 
0,75đ
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giỏc ABC vuụng tại A; K là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cõn.
Giải:
A
B
D
M
N
K
C
H
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xột 2 tam giỏc: DABK và DDCK cú:
0,25đ
BK = CK (gt)
 (đối đỉnh)
0,25đ
AK = DK (gt)
0,25đ
ị DABK = DDCK (c-g-c)
0,25đ
ị ; mà ị
0,25đ
ị ị AB // CD (AB ^ AC và CD ^ AC).
0,25đ
b. Chứng minh rằng: rABH = rCDH
Xột 2 tam giỏc vuụng: rABH và rCDH cú:
0,25đ
BA = CD (do DABK = DDCK)
AH = CH (gt)
0,25đ
ị rABH = rCDH (c-g-c)
0,50đ
c. Chứng minh: HMN cõn.
Xột 2 tam giỏc vuụng: rABC và rCDA cú:
0,25đ
AB = CD; ; AC cạnh chung: ị rABC = rCDA (c-g-c)
ị 
0,25đ
mà: AH = CH (gt) và (vỡ DABH = DCDH)
0,50đ
ị DAMH = DCNH (g-c-g)
0,50đ
ị MH = NH. Vậy DHMN cõn tại H
0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số cú dạng luụn chia hết cho 11.
Giải:
Ta cú:
 = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c
0,25đ
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
0,50đ
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
0,50đ
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
0,25đ
= 11.91( a.102 + b.10 + c) 11
0,25đ
Vậy 11
0,25đ
Hết