Đề thi học sinh giỏi – Khối 10 – Môn toán năm học : 2012 - 2013 thời gian làm bài : 120 phút ( không kể thời gian phát đề)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 10 – MÔN TOÁN 
Năm học : 2012-2013
Thời gian làm bài : 120 phút
 ( không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN GIẢI TÍCH
Câu 1: a)(1.5đ) Giải phương trình: 
b) (1.5đ) Tìm m để tổng các bình phương các nghiệm của phương trình: 
 là nhỏ nhất.
Câu 2: (1.5đ) Tìm tập hợp các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa: 
Câu 3: (1.5đ) Cho bốn số nguyên dương bất kì . Chứng minh rằng số không phải là một số nguyên.
II. PHẦN HÌNH HỌC
Câu 4: (4đ) Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm tam giác ABC, lấy D đối xứng với A qua M, I là trọng tâm của tam giác MCD.
Chứng minh rằng: .
Lấy J thỏa . Chứng minh rằng IJ song song với AB.
Giả sử và . Tính độ dài của .
Xác định tập hợp điểm E thỏa mãn: .
Hết
(Học sinh làm PHẦN GIẢI TÍCH, PHẦN HÌNH HỌC trên giấy riêng.)
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN – KHỐI 10 – NH 2012-2013
Câu 1: a) (1)
ĐK: 
Đặt 
(1)
b) (2)
(2) có nghiệm 
Theo viet: 
.
Câu 4:
Câu 2: 
y có nghĩa 
.
a. 
b. 
Mà M là trung điểmcủa AD nên .
Gọi K là trung điểm của CD, ta có . Vậy ta có: .
c. Kẻ AH vuông góc với BC. Ta có: , .
Từ đó ta có 
Vậy tam giác ABC vuông tại A.
Dựng và .
.
d. Lấy điểm S sao cho S là điểm cố định.
Gọi R là trung điểm của DG. Khi đó, ta có: 
Vậy ta suy ra tập hợp điểm E là đường trung trực của đoạn thẳng SR.
Câu 3: Vì nên 
Mà . Thật vậy, 
Nên 
Suy ra 
Do đó không phải là một số nguyên.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – KHỐI 11 – MÔN TOÁN 
Năm học : 2012-2013
Thời gian làm bài : 120 phút
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
 1) (1,5đ) 
 2) (1,5d)
Bài 2 : Chứng minh rằng : (2đ) 
Bài 3 : Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm K(3;4) và đường tròn (C) : x2 + y2 – 6x + 2y – 6 = 0 . 
 Viết phương trình đường tròn (C’) tâm K cắt (C) tại hai điểm A , B sao cho AB 
 là cạnh hình vuông có 4 đỉnh thuộc (C) ( 2 điểm ) 
Bài 4 : Giải Hệ phương trình : (3đ) 
---------- Hết ----------
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG – KHỐI 11 – MÔN TOÁN – NH 2012-2013
Bài 1 : 
1) 
2) ĐK: 
Mà 
Vậy PT có nghiệm duy nhất 
Bài 2 : Ta có : 
ĐỀ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 12 NĂM 2012-2013
Môn: Toán
Thời gian: 120 phút
A. Phần giải tích
Bài 1. (2 điểm) 	Chứng minh x5 + (1 – x)5 ³ 116. ("x Î R)
Bài 2. (2 điểm) 	Định m để (Cm): y = x4 + 2mx2 + m2 + m có 3 điểm cực trị của đồ thị A, B, C và DABC cân và có 1 góc bằng 1200.
Bài 3. (2 điểm) 	Giải hệ phương trình (x, y Î R):
B. Phần hình học
Bài 5. (1 điểm) 	Cho tứ diện SABC có SA ^ (ABC). Gọi E, F là hai chân đường cao của hai DSAB, DSAC, vẽ từ A. Chứng minh 
	VSAEFVSABC = SA4SB2SC2
Bài 6. (1 điểm) 	Cho tứ diện ABCD. Gọi G là giao điểm của các đường thẳng nối mỗi đỉnh đến trọng tâm mặt đối diện. Chứng minh các hình chóp đỉnh G với các mặt đáy của tứ diện có thể tích bằng nhau.
Bài 7. (2 điểm) 	Trong tất cả các lăng trụ tam giác đều có cùng diện tích toàn phần S. Tìm cạnh bên và cạnh đáy của lăng trụ có thể tích lớn nhất.
---------- Hết ----------
(Lưu ý các em làm 2 phần giải tích và phần hình học ra giấy riêng)