Đề thi chọn HSG môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề 1: Phấn tích đa thức thành nhân tử

CHUYấN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
MỤC TIấU:
Hệ thống lại cỏc dạng toỏn và cỏc phƣơng phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử
Giải một số bài tập về phõn tớch đa thức thành nhõn tử
Nõng cao trỡnh độ và kỹ năng về phõn tớch đa thức thành nhõn tử
CÁC PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lớ bổ sung:
+ Đa thức f(x) cú nghiệm hữu tỉ thỡ cú dạng p/q trong đú p là ƣớc của hệ số tự do, q là ƣớc dƣơng của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) cú tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ f(x) cú một nhõn tử là x – 1
+ Nếu f(x) cú tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử bậc lẻ thỡ f(x) cú một nhõn tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyờn của f(x) và f(1); f(- 1) khỏc 0 thỡ f(1)
a - 1
và f(-1)
a + 1
đều là số nguyờn.
Để nhanh chúng loại trừ nghiệm là ƣớc của hệ số tự do
1. Vớ dụ 1: 3x2 – 8x + 4
Cỏch 1: Tỏch hạng tử thứ 2
3x2 – 8x + 4 = 3x2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)
Cỏch 2: Tỏch hạng tử thứ nhất:
3x2 – 8x + 4 = (4x2 – 8x + 4) - x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – 2 + x)(2x – 2 – x)
= (x – 2)(3x – 2)
Vớ dụ 2:	x3 – x2 - 4
Ta nhõn thấy nghiệm của f(x) nếu cú thỡ x = ±1; ±2; ±4 , chỉ cú f(2) = 0 nờn x = 2 là nghiệm
của f(x) nờn f(x) cú một nhõn tử là x – 2. Do đú ta tỏch f(x) thành cỏc nhúm cú xuất hiện một nhõn tử là x – 2
Cỏch 1:
x3 – x2 – 4 = (x3 - 2x2 ) + (x2 - 2x) + (2x - 4) = x2 ( x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2) = ( x - 2)(x2 + x + 2)
Cỏch 2:
x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4 = (x3 - 8)-(x2 - 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x - 2)(x + 2)
= ( x - 2) ởộ(x2 + 2x + 4) - (x + 2)ỷự = (x - 2)(x2 + x + 2)
Vớ dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5
Nhận xột: ±1, ±5 khụng là nghiệm của f(x), nhƣ vậy f(x) khụng cú nghiệm nguyờn. Nờn
f(x) nếu cú nghiệm thỡ là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x = 1
3

là nghiệm của f(x) do đú f(x) cú một nhõn tử là 3x – 1. Nờn
f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – 5 = 3x3 - x2 - 6x2 + 2x +15x - 5 = (3x3 - x2 )-(6x2 - 2x)+ (15x - 5)
= x2 (3x -1) - 2x(3x -1) + 5(3x -1) = (3x -1)(x2 - 2x + 5)
Vỡ x2 - 2x + 5 = (x2 - 2x +1) + 4 = (x -1)2 + 4 > 0 với mọi x nờn khụng phõn tớch đƣợc thành
nhõn tử nữa
Vớ dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + 4
Nhận xột: Tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử bậc chẵn bằng tổng cỏc hệ số của cỏc hạng tử bậc lẻ nờn đa thức cú một nhõn tử là x + 1
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2
Vớ dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2
Tổng cỏc hệ số bằng 0 thỡ nờn đa thức cú một nhõn tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta cú: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + 2 = (x – 1)(x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2)
Vỡ x4 - x3 + 2 x2 - 2 x - 2 khụng cú nghiệm nguyờn cũng khụng cú nghiệm hữu tỉ nờn khụng phõn tớch đƣợc nữa
Vớ dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x2 - x + 1 + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997)
Vớ dụ 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1)
= x2 - x – 20012 - 2001 = (x2 – 20012) – (x + 2001) = (x + 2001)(x – 2002)
THấM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
Thờm, bớt cựng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bỡnh phƣơng: Vớ dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2 = (2x2 + 9 + 6x)(2x2 + 9 – 6x)
= (2x2 + 6x + 9 )(2x2 – 6x + 9)
Vớ dụ 2: x8 + 98x4 + 1 = (x8 + 2x4 + 1 ) + 96x4
= (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4
= (x4 + 1 + 8x2)2 – 16x2(x4 + 1 – 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2
= (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2
= (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1)
Thờm, bớt cựng một số hạng tử để xuất hiện nhõn tử chung
Vớ dụ 1: x7 + x2 + 1 = (x7 – x) + (x2 + x + 1 ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1 )
= x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + 1 ) = x(x – 1)(x2 + x + 1 ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1)
Vớ dụ 2: x7 + x5 + 1 = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1)
Ghi nhớ:
Cỏc đa thức cú dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 nhƣ: x7 + x2 + 1 ; x7 + x5 + 1 ; x8 + x4 + 1 ; x5 + x + 1 ; x8 + x + 1 ;  đều cú nhõn tử chung là x2 + x + 1
ĐẶT BIẾN PHỤ:
Vớ dụ 1:	x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128
= (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128
Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức cú dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x2 + 10x + 8 )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + 8 )
Vớ dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 Giả sử x ạ 0 ta viết
x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x2 ( x2 + 6x + 7 –
6 + 1
) = x2 [(x2 + 1
) + 6(x - 1
) + 7 ]
Đặt x - 1
x

= y thỡ x2 + 1
x2

= y2 + 2, do đú
x	x2
x2	x
A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - 1
x
)2 + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2
Chỳ ý: Vớ dụ trờn cú thể giải bằng cỏch ỏp dụng hằng đẳng thức nhƣ sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + 1 )
= x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2	= (x2 + 3x – 1)2
Vớ dụ 3:	A = (x2 + y2 + z2 )(x + y + z)2 + (xy + yz+zx)2
= ởộ(x2 + y2 + z2 ) + 2(xy + yz+zx)
(x2 + y2 + z2 ) + (xy + yz+zx)2
Đặt
x2 + y2 + z2
= a, xy + yz + zx = b ta cú
A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2	= (
x2 + y2 + z2
+ xy + yz + zx)2
Vớ dụ 4: B = 2(x4 + y4 + z4 ) -(x2 + y2 + z2 )2 - 2(x2 + y2 + z2 )(x + y + z)2 + (x + y + z)4
Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú:
B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2
Ta lại cú: a – b2 = - 2( x2 y2 + y2z2 + z2x2 ) và b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đú; B = - 4( x2 y2 + y2z2 + z2x2 ) + 4 (xy + yz + zx)2
= -4x2 y2 - 4y2z2 - 4z2x2 + 4x2 y2 + 4y2z2 + 4z2x2 + 8x2 yz + 8xy2z + 8xyz2 = 8xyz(x + y + z)
Vớ dụ 5: (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) -12abc
Đặt a + b = m, a – b = n thỡ 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 +

m2 - n2 ). Ta cú:
4
C = (m + c)3
– 4.
m3 + 3mn2 -
4
4c3 - 3c(m2 - n2 )
= 3( - c3
+mc2
mn2
+ cn2)
= 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b)
PHƢƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Vớ dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3
Nhận xột: cỏc số ± 1, ± 3 khụng là nghiệm của đa thức, đa thức khụng cú nghiệm nguyờn củng khụng cú nghiệm hữu tỉ
Nhƣ vậy nếu đa thức phõn tớch đƣợc thành nhõn tử thỡ phải cú dạng
(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
ỡa + c = -6
ùac + b + d = 12
đồng nhất đa thức này với đa thức đó cho ta cú:
ù
ù
ớad + bc = -14
ùợbd = 3
Xột bd = 3 với b, d ẻ Z, b ẻ {±1, ±3} với b = 3 thỡ d = 1 hệ điều kiện trờn trở thành
ỡa + c = -6
ùac = -8
ỡ2c = -8
ỡc = -4
ù	ị	ị
ớa + 3c = -14	ớac = 8	ớa = -2
ù	ợ	ợ
ùợbd = 3
Vậy:	x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1)
Vớ dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8
Nhận xột: đa thức cú 1 nghiệm là x = 2 nờn cú thừa số là x - 2 do đú ta cú: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c)
= 2x4

+ (a - 4)x3

+ (b - 2a)x2

+ (c - 2b)x - 2c
ỡa - 4 = -3
ù
ùb - 2a = -7
ị ớc - 2b = 6
ỡa = 1
ị ù
ớb = -5
ù	ùc = -4
ùợ-2c = 8	ợ
Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4)
Ta lại cú 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức cú tổng hệ số của cỏc hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nahu nờn cú 1 nhõn tử là x + 1 nờn 2x3 + x2 - 5x - 4 = (x + 1)(2x2 - x - 4)
Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4)
Vớ dụ 3:
12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (a x + by + 3)(cx + dy - 1)
= acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
ỡac = 12
ù
ùbc + ad = -10
ị ớ3c - a = 5
ùbd = -12

ỡa = 4
ớ
ù
ùc = 3
ị
ùb = -6
ù	ùợd = 2
ùợ3d - b = 12
ị 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP:
Phõn tớch cỏc đa thức sau thành nhõn tử: 1) x3 - 7x + 6
2) x3 - 9x2 + 6x + 16
3) x3 - 6x2 - x + 30
4) 2x3 - x2 + 5x + 3
5) 27x3 - 27x2 + 18x - 4

10) 64x4 + y4
11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - 1
13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1
8
6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
x
x8
+ x + 1
+ 3x4 + 4
8) 4x4
- 32x2 + 1
16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10
9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2
17) x4 - 8x + 63
CHUYấN ĐỀ 2 - SƠ LƢỢC VỀ CHỈNH HỢP
,
CHUYấN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP
MỤC TIấU:
Bƣớc đầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoỏn vị và tổ hợp
Vận dụng kiến thức vào một ssú bài toỏn cụ thể và thực tế
Tạo hứng thỳ và nõng cao kỹ năng giải toỏn cho HS
KIẾN THỨC:
Chỉnh hợp:
định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cỏch sắp xếp k phần tử của tập hợp X ( 1 Ê k Ê n) theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử ấy
A
n
Số tất cả cỏc chỉnh hợp chập k của n phần tử đƣợc kớ hiệu	k
Tớnh số chỉnh chập k của n phần tử
An
k
= n(n - 1)(n - 2)[n - (k - 1)]
Hoỏn vị:
Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cỏch sắp xếp n phần tử của tập hợp X theo một thứ tự nhất định gọi là một hoỏn vị của n phần tử ấy
Số tất cả cỏc hoỏn vị của n phần tử đƣợc kớ hiệu Pn
Pn =
A
n
n
= n(n - 1)(n - 2) 2 .1 = n!
Tớnh số hoỏn vị của n phần tử ( n! : n giai thừa)
Tổ hợp:
Định nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi tập con của X gồm k phần tử trong n phần tử của tập hợp X ( 0 Ê k Ê n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử ấy
C
n
Số tất cả cỏc tổ hợp chập k của n phần tử đƣợc kớ hiệu	k
Tớnh số tổ hợp chập k của n phần tử
C
k
n
=
A
n
n
: k! =
n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
k!
Vớ dụ:
Vớ dụ 1:
Cho 5 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5
cú bao nhiờu số tự nhiờn cú ba chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi ba trong cỏc chữ số trờn
Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi cả 5 chữ số trờn
Cú bao nhiờu cỏch chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trờn Giải:
số tự nhiờn cú ba chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi ba trong cỏc chữ số trờn là
A
5
chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử:	3 = 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số
số tự nhiờn cú 5 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi cả 5 chữ số trờn là hoỏn vị cua 5 phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử):
A
5
5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số
cỏch chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trờn là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử:
C
3
5
Vớ dụ 2:
= 5.(5 - 1).(5 - 2) =	5 . 4 . 3	= 60 = 10
3!	3.(3 - 1)(3 - 2)	6

nhúm
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dựng 5 chữ số này:
Lập đƣợc bao nhiờu số tự nhiờn cú 4 chữ số trong đú khụng cú chữ số nào lặp lại? Tớnh tổng cỏc số lập đƣợc
lập đƣợc bao nhiờu số chẵn cú 5 chữ số khỏc nhau?
Lập đƣợc bao nhiờu số tự nhiờn cú 5 chữ số, trong đú hai chữ số kề nhau phải khỏc nhau
Lập đƣợc bao nhiờu số tự nhiờn cú 4 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, trong đú cú hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn
Giải
số tự nhiờn cú 4 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau, lập bởi 4 trong cỏc chữ số trờn là chỉnh
A
5
hợp chập 4 của 5 phần tử:	4 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = 5 . 4 . 3 . 2 = 120 số
Trong mỗi hang (Nghỡn, trăm, chục, đơn vị), mỗi chữ số cú mặt: 120 : 5 = 24 lần Tổng cỏc chữ số ở mỗi hang: (1 + 2 + 3 + 4 + 5). 24 = 15 . 24 = 360
Tổng cỏc số đƣợc lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960
chữ số tận cựng cú 2 cỏch chọn (là 2 hoặc 4)
bốn chữ số trƣớc là hoỏn vị của của 4 chữ số cũn lại và cú P4 = 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cỏch chọn
Tất cả cú 24 . 2 = 48 cỏch chọn
Cỏc số phải lập cú dạng abcde , trong đú : a cú 5 cỏch chọn, b cú 4 cỏch chọn (khỏc a), c cú 4 cỏch chọn (khỏc b), d cú 4 cỏch chọn (khỏc c), e cú 4 cỏch chọn (khỏc d)
Tất cả cú: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số
Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, cú 1 cỏch chọn
chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, cú 3 cỏch chọn. Cỏc chữ số cú thể hoỏn vị, do đú cú: 1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số
Bài 3: Cho
x‸Ay
ạ 1800 . Trờn Ax lấy 6 điểm khỏc A, trờn Ay lấy 5 điểm khỏc A. trong 12
điểm núi trờn (kể cả điểm A), hai điểm nào củng đƣợc nối với nhau bởi một đoạn thẳng. Cú bao nhiờu tam giỏc mà cỏc đỉnh là 3 trong 12 điểm ấy
Giải
B5
y
B3
B4
B1
B2
A1
A2
A3
A4
A5
A
6
Cỏch 1: Tam giỏc phải đếm gồm ba loại:
+ Loại 1: cỏc tam giỏc cú một đỉnh là A, đỉnh thứ 2 thuộc
Ax (cú 6 cỏch chọn), đỉnh thứ 3 thuộc Ay (cú 5 cỏch	A
chọn), gồm cú: 6 . 5 = 30 tam giỏc
+ Loại 2: Cỏc tam giỏc cú 1 đỉnh là 1 trong 5 điểm B1,	x
B2, B3, B4, B5 (cú 5 cỏch chọn), hai đỉnh kia là 2 trong 6
điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Cú C2 = 6.5 = 30 = 15

cỏch chọn)
Gồm 5 . 15 = 75 tam giỏc
6	2!	2
+ Loại 3: Cỏc tam giỏc cú 1 đỉnh là 1 trong 6 điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh kia là 2
trong 5 điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm cú: 6. C2 = 6. 5.4 = 6. 20 = 60 tam giỏc
Tất cả cú: 30 + 75 + 60 = 165 tam giỏc
5	2!	2
Cỏch 2: số cỏc tam giỏc chọn 3 trong 12 điểm ấy là
3 = 12.11.10 = 1320 = 1320 = 220
C
12	3!	3.2	6
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 7 điểm thuộc tia Ax là:
C3 = 7.6.5 = 210 = 210 = 35
7	3!	3.2	6
Số bộ ba điểm thẳng hang trong 6 điểm thuộc tia Ay là:
C3 = 6.5.4 = 120 = 120 = 20
Số tam giỏc tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giỏc
BÀI TẬP:
6	3!	3.2	6
Bài 1: cho 5 số: 0, 1, 2, 3, 4. từ cỏc chữ số trờn cú thể lập đƣợc bao nhiờu số tự nhiờn:
Cú 5 chữ số gồm cả 5 chữ số ấy?
Cú 4 chữ số, cú cỏc chữ số khỏc nhau?
cú 3 chữ số, cỏc chữ số khỏc nhau?
cú 3 chữ số, cỏc chữ số cú thể giống nhau?
Bài 2: Cú bao nhiờu số tự nhiờn cú 4 chữ số lập bởi cỏc chữ số 1, 2, 3 biết rằng số đú chia hết cho 9
Bài 3: Trờn trang vở cú 6 đƣờng kẻ thẳng đứng và 5 đƣờng kẻ nằm ngang đụi một cắt nhau. Hỏi trờn trang vở đú cú bao nhiờu hỡnh chữ nhật
CHUYấN ĐỀ 3 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC
MỤC TIấU:
HS nắm đƣợc cụng thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)n
Vận dụng kiến thức vào cỏc bài tập về xỏc định hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị thức, vận dụng vào cỏc bài toỏn phõn tớch đa thức thành nhõn tử
KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
(a + b)n = a + C a	b +
n
1
n - 1
C a	b + +
2
n - 2 2
C	ab	+ b
n -1
n - 1
n
n
n
n
Nhị thức Niutơn:
Trong đú:
C k = n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
n	1.2.3...k
Cỏch xỏc định hệ số của khai triển Niutơn:
Cỏch 1: Dựng cụng thức
C k = n(n - 1)(n - 2)...[n - (k - 1)]
n	k !
Chẳng hạn hệ số của hạng tử a4b3 trong khai triển của (a + b)7 là
C 4 = 7.6.5.4 = 7.6.5.4 = 35
7	4!	4.3.2.1
Chỳ ý: a) C k =	n !

với quy ƣớc 0! = 1 ị

C 4 =
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 35
n	n!(n - k) !	7	4!.3!	4.3.2.1.3.2.1
b) Ta cú: C k
= C k - 1
nờn
C 4 = C 3 = 7.6.5. = 35
n	n	7	7	3!
Cỏch 2: Dựng tam giỏc Patxcan
Đỉnh
1
Dũng 1(n = 1)
1
1
Dũng 2(n = 1)
1
2
1
Dũng 3(n = 3)
1
3
3
1
Dũng 4(n = 4)
1
4
6
4
1
Dũng 5(n = 5)
1
5
10
10
5
1
Dũng 6(n = 6)
1
6
15
20
15
6
1
Trong tam giỏc này, hai cạnh bờn gồm cỏc số 1; dũng k + 1 đƣợc thành lập từ dũng k
(k ³ 1), chẳng hạn ở dũng 2 (n = 2) ta cú 2 = 1 + 1, dũng 3 (n = 3): 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2
dũng 4 (n = 4): 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, 
Với n = 4 thỡ:	(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
Với n = 5 thỡ:	(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Với n = 6 thỡ: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
Cỏch 3:
Tỡm hệ số của hạng tử đứng sau theo cỏc hệ số của hạng tử đứng trƣớc:
Hệ số của hạng tử thứ nhất bằng 1
Muốn cú hệ số của của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số của hạng tử thứ k nhõn với số mũ của biến trong hạng tử thứ k rồi chia cho k
Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + 1.4 a3b + 4.3 a2b2 + 4.3.2
ab3 + 4.3.2. b5
1	2	2.3	2.3.4
Chỳ ý rằng: cỏc hệ số của khai triển Niutơn cú tớnh đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa là cỏc hạng tử cỏch đều hai hạng tử đầu và cuối cú hệ số bằng nhau
(a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) an - 2b2 + + n(n - 1) a2bn - 2 + nan - 1bn - 1 + bn
Vớ dụ:
1.2
1.2
1. Vớ dụ 1: phõn tớch đa thức sau thành nhõn tử a) A = (x + y)5 - x5 - y5
Cỏch 1: khai triển (x + y)5 rồi rỳt gọn A
A = (x + y)5 - x5 - y5 = ( x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5) - x5 - y5
= 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 = 5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3)
= 5xy [(x + y)(x2 - xy + y2) + 2xy(x + y)] = 5xy(x + y)(x2 + xy + y2) Cỏch 2: A = (x + y)5 - (x5 + y5)
x5 + y5 chia hết cho x + y nờn chia x5 + y5 cho x + y ta cú:
x5 + y5 = (x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) nờn A cú nhõn tử chung là (x + y), đặt (x + y) làm nhõn tử chung, ta tỡm đƣợc nhõn tử cũn lại
b) B = (x + y)7 - x7 - y7 = (x7+7x6y +21x5y2 + 35x4y3 +35x3y4 +21x2y5 7xy6 + y7) - x7 - y7
= 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6
= 7xy[(x5 + y5 ) + 3(x4y + xy4) + 5(x3y2 + x2y3 )]
= 7xy {[(x + y)(x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4) ] + 3xy(x + y)(x2 - xy + y2) + 5x2y2(x + y)}
= 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3xy(x2 + xy + y2) + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 + 3x3y - 3x2y2 + 3xy3 + 5x2y2 ]
= 7xy(x + y)[(x4 + 2x2y2 + y4) + 2xy (x2 + y2) + x2y2 ] = 7xy(x + y)(x2 + xy + y2 )2
Vớ dụ 2:Tỡm tổng hệ số cỏc đa thức cú đƣợc sau khi khai triển a) (4x - 3)4
Cỏch 1: Theo cụnh thức Niu tơn ta cú:
(4x - 3)4 = 4.(4x)3.3 + 6.(4x)2.32 - 4. 4x. 33 + 34 = 256x4 - 768x3 + 864x2 - 432x + 81
Tổng cỏc hệ số: 256 - 768 + 864 - 432 + 81 = 1
b) Cỏch 2:	Xột đẳng thức (4x - 3)4 = c0x4 + c1x3 + c2x2 + c3x + c4 Tổng cỏc hệ số: c0 + c1 + c2 + c3 + c4
Thay x = 1 vào đẳng thức trờn ta cú: (4.1 - 3)4 = c0 + c1 + c2 + c3 + c4 Vậy: c0 + c1 + c2 + c3 + c4 = 1
Ghi chỳ: Tổng cỏc hệ số khai triển của một nhị thức, một đa thức bằng giỏ trị của đa thức đú tại x = 1
BÀI TẬP:
Bài 1: Phõn tớch thành nhõn tử
a) (a + b)3 - a3 - b3	b) (x + y)4 + x4 + y4
Bài 2: Tỡm tổng cỏc hệ số cú đƣợc sau khi khai triển đa thức a) (5x - 2)5	b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011
CHUấN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYấN
A. MỤC TIấU:
Củng cố, khắc sõu kiến thức về cỏc bài toỏn chia hết giữa cỏc số, cỏc đa thức
HS tiếp tục thực hành thành thạo về cỏc bài toỏn chứng minh chia hết, khụng chia hết, sốnguyờn tố, số chớnh phƣơng
Vận dụng thành thạo kỹ năng chứng minh về chia hết, khụng chia hết vào cỏc bài toỏn cụ thể
B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN:
Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
Kiến thức:
Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phõn tớch A(n) thành nhõn tử cú một nhõn tử làm hoặc bội của m, nếu m là hợp số thỡ ta lại phõn tớch nú thành nhõn tử cú cỏc đoi một nguyờn tố cựng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho cỏc số đú
Chỳ ý:
+ Với k số nguyờn liờn tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xột mọi trƣờng hợp về số dƣ khi chia A(n) cho m
+ Với mọi số nguyờn a, b và số tự nhiờn n thỡ:
+) an - bn chia hết cho a - b (a ạ - b)
+) a2n + 1 + b2n + 1 chia hết cho a + b
+ (a + b)n = B(a) + bn
Bài tập:
+) (a + 1)n là BS(a )+ 1
+)(a - 1)2n	là B(a) + 1
+) (a - 1)2n + 1 là B(a) - 1
Cỏc bài toỏn
Bài 1: chứng minh rằng
a) 251 - 1 chia hết cho 7	b) 270 + 370 chia hết cho 13
c) 1719 + 1917 chi hết cho 18	d) 3663 - 1 chia hết cho 7 nhƣng khụng chia hết cho 37
e) 24n -1 chia hết cho 15 với nẻ N Giải
a) 251 - 1 = (23)17 - 1 ⁝ 23 - 1 = 7
b) 270 + 370 (22)35 + (32)35 = 435 + 935 ⁝ 4 + 9 = 13
c) 1719 + 1917 = (1719 + 1) + (1917 - 1)
1719 + 1 ⁝ 17 + 1 = 18 và 1917 - 1 ⁝ 19 - 1 = 18 nờn (1719 + 1) + (1917 - 1)
hay 1719 + 1917 ⁝ 18
d) 3663 - 1 ⁝ 36 - 1 = 35 ⁝ 7
3663 - 1 = (3663 + 1) - 2 chi cho 37 dƣ - 2
e) 2 4n - 1 = (24) n - 1 ⁝ 24 - 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
n5 - n chia hết cho 30 với n ẻ N	;
n4 -10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ nẻ Z
10n +18n -28 chia hết cho 27 với nẻ N ; Giải:
a) n5 - n = n(n4 - 1) = n(n - 1)(n + 1)(n2 + 1) = (n - 1).n.(n + 1)(n2 + 1) chia hết cho 6 vỡ (n - 1).n.(n+1) là tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 2 và 3 (*)
Mặt khỏc	n5 - n = n(n2 - 1)(n2 + 1) = n(n2 - 1).(n2 - 4 + 5) = n(n2 - 1).(n2 - 4 ) + 5n(n2 - 1)
= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1)
Vỡ (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tớch của 5 số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 5 5n(n2 - 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n2 - 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra đpcm
b) Đặt A = n4 -10n2 + 9 = (n4 -n2 ) - (9n2 - 9) = (n2 - 1)(n2 - 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vỡ n lẻ nờn đặt n = 2k + 1 (k ẻ Z) thỡ
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2) ị A chia hết cho 16 (1)
Và (k - 1).k.(k + 1).(k + 2) là tớch của 4 số nguyờn liờn tiếp nờn A cú chứa bội của 2, 3, 4 nờn A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2)
Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16. 24 = 384 c) 10 n +18n -28 = ( 10 n - 9n - 1) + (27n - 27)
+ Ta cú: 27n - 27 ⁝ 27 (1)
+ 10 n - 9n - 1 = [( 9⏟...9 + 1) - 9n - 1] =
9⏟...9 - 9n = 9( 1⏟...1 - n) ⁝ 27 (2)
n	n	n
vỡ 9 ⁝ 9 và 1⏟...1 - n ⁝ 3 do 1⏟...1 - n là một số cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 3
n	n
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyờn a thỡ
a3 - a chia hết cho 3
a7 - a chia hết cho 7 Giải
a) a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1) a (a + 1) là tớch của ba số nguyờn liờn tiếp nờn tồn tại một số là bội của 3 nờn (a - 1) a (a + 1) chia hết cho 3
b) ) a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Nếu a = 7k (k ẻ Z) thỡ a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k ẻZ) thỡ a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k ẻZ) thỡ a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Nếu a = 7k + 3 (k ẻZ) thỡ a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7 Trong trƣờng hợp nào củng cú một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a7 - a chia hết cho 7
Bài 4: Chứng minh rằng A = 13 + 23 + 33 + ...+ 1003 chia hết cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 100 Giải
Ta cú: B = (1 + 100) + (2 + 99) + ...+ (50 + 51) = 101. 50
Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101 Ta cú: A = (13 + 1003) + (23 + 993) + ... +(503 + 513)
= (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 2. 99 + 992) + ... + (50 + 51)(502 + 50. 51 +
512) = 101(12 + 100 + 1002 + 22 + 2. 99 + 992 + ... + 502 + 50. 51 + 512) chia hết cho 101
(1)
Lại cú:	A = (13 + 993) + (23 + 983) + ... + (503 + 1003)
Mỗi số hạng trong ngoặc đều chia hết cho 50 nờn A chia hết cho 50 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 101 và 50 nờn A chi hết cho B
Bài tập về nhà
Chứng minh rằng:
a5 – a chia hết cho 5
n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn
Cho a l à số nguyờn tố lớn hơn 3. Cmr a2 – 1 chia hết cho 24
Nếu a + b + c chia hết cho 6 thỡ a3 + b3 + c3 chia hết cho 6
20092010 khụng chia hết cho 2010
n2 + 7n + 22 khụng chia hết cho 9 Dạng 2: Tỡm số dƣ của một phộp chia Bài 1:
Tỡm số dƣ khi chia 2100
a)cho 9,	b) cho 25,	c) cho 125 Giải
Luỹ thừa của 2 sỏt với bội của 9 là 23 = 8 = 9 - 1
Ta cú : 2100 = 2. (23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.[B(9) - 1] = B(9) - 2 = B(9) + 7
Vậy: 2100 chia cho 9 thỡ dƣ 7
b) Tƣơng tự ta cú: 2100 = (210)10 = 102410 = [B(25) - 1]10 = B(25) + 1
Vậy: 2100 chia chop 25 thỡ dƣ 1 c)Sử dụng cụng thức Niutơn:
2100 = (5 - 1)50 = (550 - 5. 549 +  + 50.49 . 52 - 50 . 5 ) + 1
2
Khụng kể phần hệ số của khai triển Niutơn thỡ 48 số hạng đầu đó chứa thừa số 5 với số mũ
lớn hơn hoặc bằng 3 nờn đều chia hết cho 53 = 125, hai số hạng tiếp theo: 50.49 . 52 - 50.5
2
cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cựng là 1 Vậy: 2100 = B(125) + 1 nờn chia cho 125 thỡ dƣ 1
Bài 2:
Viết số 19951995 thành tổng của cỏc số tự nhiờn . Tổng cỏc lập phƣơng đú chia cho 6 thỡ dƣ bao nhiờu?
Giải
Đặt 19951995 = a = a1 + a2 + + an.
Gọi S
= a 3 + a 3 + a 3 + ...+ a 3
= a 3 + a 3 + a 3 + ...+ a 3
+ a - a
1	2	3	n
1	2	3	n
= (a1 3 - a1) + (a2 3 - a2) + + (an 3 - an) + a
Mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 vỡ mỗi dấu ngoặc là tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp. Chỉ cần tỡm số dƣ khi chia a cho 6
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nờn a củng là số lẻ chia hết cho 3, do đú chia cho 6 dƣ 3
Bài 3: Tỡm ba chữ số tận cựng của 2100 viết trong hệ thập phõn giải
Tỡm 3 chữ số tận cựng là tỡm số dƣ của phộp chia 2100 cho 1000 Trƣớc hết ta tỡm số dƣ của phộp chia 2100 cho 125
Vận dụng bài 1 ta cú 2100 = B(125) + 1 mà 2100 là số chẵn nờn 3 chữ số tận cựng của nú chỉ cú thể là 126, 376, 626 hoặc 876
Hiển nhiờn 2100 chia hết cho 8 vỡ 2100 = 1625 chi hết cho 8 nờn ba chữ số tận cựng của nú chia hết cho 8
trong cỏc số 126, 376, 626 hoặc 876 chỉ cú 376 chia hết cho 8 Vậy: 2100 viết trong hệ thập phõn cú ba chữ số tận cựng là 376
Tổng quỏt: Nếu n là số chẵn khụng chia hết cho 5 thỡ 3 chữ số tận cựng của nú là 376
Bài 4: Tỡm số dƣ trong phộp chia cỏc số sau cho 7 a) 2222 + 5555	b)31993
c) 19921993 + 19941995	d) 321930
Giải
a) ta cú: 2222 + 5555 = (21 + 1)22 + (56 – 1)55 = (BS 7 +1)22 + (BS 7 – 1)55
= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nờn 2222 + 5555 chia 7 dƣ 0
Luỹ thừa của 3 sỏt với bội của 7 là 33 = BS 7 – 1
Ta thấy 1993 = BS 6 + 1 = 6k + 1, do đú:
31993 = 3 6k + 1 = 3.(33)2k = 3(BS 7 – 1)2k = 3(BS 7 + 1) = BS 7 + 3
Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đú:
19921993 + 19941995 = (BS 7 – 3)1993 + (BS 7 – 1)1995 = BS 7 – 31993 + BS 7 – 1
Theo cõu b ta cú 31993 = BS 7 + 3 nờn
19921993 + 19941995 = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nờn chia cho 7 thỡ dƣ 3
d) 321930
= 32860 = 33k + 1 = 3.33k = 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nờn chia cho 7 thỡ dƣ 4
Bài tập về nhà
Tỡm số d ƣ khi:
a) 21994 cho 7
b) 31998 + 51998 cho 13
c) A = 13 + 23 + 33 + ...+ 993 chia cho B = 1 + 2 + 3 + ... + 99
Dạng 3: Tỡm điều kiện để xảy ra quan hệ chia hết
Bài 1: Tỡm n ẻ Z để giỏ trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giỏ trị của biểu thức B = n2 - n
Giải
Chia A cho B ta cú: n3 + 2n2 - 3n + 2 = (n + 3)(n2 - n) + 2
Để A chia hết cho B thỡ 2 phải chia hết cho n2 - n = n(n - 1) do đú 2 chia hết cho n, ta cú:
n
1
- 1
2
- 2
n - 1
0
- 2
1
- 3
n(n - 1)
0
2
2
6
loại
loại
Vậy: Để giỏ trị của biểu thức A = n3 + 2n2 - 3n + 2 chia hết cho giỏ trị của biểu thức B = n2 - n thỡ n ẻ{-1; 2}
Bài 2:
Tỡm n ẻ N để n5 + 1 chia hết cho n3 + 1
Giải bài toỏn trờn nếu n ẻ Z
Giải
Ta cú: n5 + 1 ⁝ n3 + 1 Û n2(n3 + 1) - (n2 - 1) ⁝ n3 + 1 Û (n + 1)(n - 1) ⁝ n3 + 1
Û (n + 1)(n - 1) ⁝ (n + 1)(n2 - n + 1) Û n - 1 ⁝ n2 - n + 1 (Vỡ n + 1 ạ 0)
Nếu n = 1 thỡ 0 ⁝ 1
Nếu n > 1 thỡ n - 1 < n(n - 1) + 1 < n2 - n + 1 nờn khụng thể xẩy ra n - 1 ⁝ n2 - n + 1 Vậy giỏ trụ của n tỡm đƣợc là n = 1
b) n - 1 ⁝ n2 - n + 1 ị n(n - 1) ⁝ n2 - n + 1 Û (n2 - n + 1 ) - 1 ⁝ n2 - n + 1
ị 1 ⁝ n2 - n + 1. Cú hai trƣờng hợp xẩy ra:
+ n2 - n + 1 = 1 Û n(n - 1) = 0 Û
ộn =
n
=
ờ
ở
0 (Tm đề bài)
1
+ n2 - n + 1 = -1 Û n2 - n + 2 = 0 (Vụ nghiệm)
Bài 3: Tỡm số nguyờn n sao cho:
a) n2 + 2n - 4 ⁝ 11	b) 2n3 + n2 + 7n + 1 ⁝ 2n - 1 c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 ⁝ n4 - 1	d) n3 - n2 + 2n + 7 ⁝ n2 + 1 Giải
Tỏch n2 + 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong đú cú một hạng tử là B(11) n2 + 2n - 4 ⁝ 11 Û (n2 - 2n - 15) + 11 ⁝ 11 Û (n - 3)(n + 5) + 11 ⁝ 11
Û (n - 3)(n + 5) ⁝ 11 Û ộn
- 3⁝11 Û ộn = B(11) + 3
ờ n + 5 ⁝11	ờn = B(11) - 5
ở	ở
b) 2n3 + n2 + 7n + 1 = (n2 + n + 4) (2n - 1) + 5
Để 2n3 + n2 + 7n + 1 ⁝ 2n - 1 thỡ 5 ⁝ 2n - 1 hay 2n - 1 là Ƣ(5) Û

ộ2n
ờ
ờ2n
ờ2n
ờ2n

- 1 = - 5
- 1 = -1
- 1 = 1
- 1 = 5

ộn = - 2
ờn = 0
Û ờ
ờn = 1
ờn = 3
Vậy: n
ở	ở
ẻ{ - 2; 0; 1; 3 } thỡ 2n3 + n2 + 7n + 1 ⁝ 2n - 1
c) n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 ⁝ n4 - 1
Đặt A = n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 = (n4 - n3) - (n3 - n2) + (n2 - n) - (n - 1)
= n3(n - 1) - n2(n - 1) + n(n - 1) - (n - 1) = (n - 1) (n3 - n2 + n - 1) = (n - 1)2(n2 + 1) B = n4 - 1 = (n - 1)(n + 1)(n2 + 1)
A chia hết cho b nờn n ạ ± 1 ị A chia hết cho B Û n - 1 ⁝ n + 1 Û (n + 1) - 2 ⁝ n + 1
ộn +
ờn +
1 = - 2
1 = - 1
ộn = -3
ờn = - 2
Û 2 ⁝ n + 1 Û
ờ	Û ờ
ờn +
n
+
ờ
ở
1 = 1
1 = 2
ờn = 0
ở
ờn = 1 (kho‸ng Tm)
Vậy: n ẻ {
- 3;
- 2; 0 } thỡ n4 - 2n3 + 2n2 - 2n + 1 ⁝ n4 - 1
d) Chia n3 - n2 + 2n + 7 cho n2 + 1 đƣợc thƣơng là n - 1, dƣ n + 8
Để n3 - n2 + 2n + 7 ⁝ n2 + 1 thỡ n + 8 ⁝ n2 + 1 ị (n + 8)(n - 8) ⁝ n2 + 1 Û 65 ⁝ n2 + 1 Lần lƣợt cho n2 + 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta đƣợc n bằng 0; ± 2; ± 8
Thử lại ta cú n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)
Vậy: n3 - n2 + 2n + 7 ⁝ n2 + 1 khi n = 0, n = 8
Bài tập về nhà:
Tỡm số nguyờn n để:
n3 – 2 chia hết cho n – 2
n3 – 3n2 – 3n – 1 chia hết cho n2 + n + 1
5n – 2n chia hết cho 63
Dạng 4: Tồn tại hay khụng tồn tại sự chia hết Bài 1: Tỡm n ẻ N sao cho 2n – 1 chia hết cho 7 Giải
Nếu n = 3k ( k ẻ N) thỡ 2n – 1 = 23k – 1 = 8k - 1 chia hết cho 7
Nếu n = 3k + 1 ( k ẻ N) thỡ 2n – 1 = 23k + 1 – 1 = 2(23k – 1) + 1 = BS 7 + 1 Nếu n = 3k + 2 ( k ẻ N) thỡ 2n – 1 = 23k + 2 – 1 = 4(23k – 1) + 3 = BS 7 + 3
V ậy: 2n – 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3
Bài 2: Tỡm n ẻ N để:
3n – 1 chia hết cho 8
A = 32n + 3 + 24n + 1 chia hết cho 25
5n – 2n chia hết cho 9 Giải
a) Khi n = 2k (kẻ N) thỡ 3n – 1 = 32k – 1 = 9k – 1 chia hết cho 9 – 1 = 8 Khi n = 2k + 1 (kẻ N) thỡ 3n – 1 = 32k + 1 – 1 = 3. (9k – 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3n – 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (kẻ N)
b) A = 32n + 3 + 24n + 1 = 27 . 32n + 2.24n = (25 + 2) 32n + 2.24n = 25. 32n + 2.32n + 2.24n
= BS 25 + 2(9n + 16n)
Nếu n = 2k +1(kẻ N) thỡ 9n + 16n = 92k + 1 + 162k + 1 chia hết cho 9 + 16 = 25
Nếu n = 2k (kẻ N) thỡ 9n cú chữ số tận cựng bằng 1 , cũn 16n cú chữ số tận cựng bằng 6 suy ra 2((9n + 16n) cú chữ số tận cựng bằng 4 nờn A khụng chia hết cho 5 nờn khụng chia hết cho 25
c) Nếu n = 3k (kẻ N) thỡ 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nờn chia hết cho 9 Nếu n = 3k + 1 thỡ 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 3. 23k = BS 9 + 3. 8k
= BS 9 + 3(BS 9 – 1)k = BS 9 + BS 9 + 3
Tƣơng tự: nếu n = 3k + 2 thỡ 5n – 2n khụng chia hết cho 9
CHUYấN ĐỀ 5: SỐ CHÍNH PHƢƠNG
I. Số chớnh phƣơng:
Một số kiến thức:
Số chớnh phƣơng: số bằng bỡnh phƣơng của một số khỏc Vớ dụ:
4 = 22; 9 = 32
A = 4n2 + 4n + 1 = (2n + 1)2 = B2
+ Số chớnh phƣơng khơng tận cựng bởi cỏc chữ số: 2, 3, 7, 8
+ Số chớnh phƣơng chia hết cho 2 thỡ chia hết cho 4, chia hết cho 3 thỡ chia hết cho 9, chia hết cho 5 thỡ chia hết cho 25, chia hết cho 23 thỡ chia hết cho 24,
+ Số 1⏟1...1 = a thỡ 9⏟9...9 = 9a ị 9a + 1 =
9⏟9...9 + 1 = 10n
n	n	n
Một số bài toỏn:
Bài 1:
Chứng minh rằng: Một số chớnh phƣơng chia cho 3, cho 4 chỉ cú thể dƣ 0 hoặc 1 Giải
Gọi A = n2 (n ẻN)
xột n = 3k (k ẻN) ị A = 9k2 nờn chia hết cho 3
n = 3k ± 1 (k ẻN) ị A = 9k2 ± 6k + 1, chia cho 3 dƣ 1 Vậy: số chớnh phƣơng chia cho 3 dƣ 0 hoặc 1
n = 2k (k ẻN) thỡ A = 4k2 chia hết cho 4
n = 2k +1 (k ẻN) thỡ A = 4k2 + 4k + 1 chia cho 4 dƣ 1 Vậy: số chớnh phƣơng chia cho 4 dƣ 0 hoặc 1
Chỳ ý: + Số chớnh phƣơng chẵn thỡ chia hết cho 4
+ Số chớnh phƣơng lẻ thỡ chia cho 4 thỡ dƣ 1( Chia 8 củng dƣ 1)
Bài 2: