Đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán - Trường THCS Hồng Đà

PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ
NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)
Câu 1. (3 điểm) 
a. Tính giá trị biểu thức:
 + 
b. Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015
Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3n
Câu 2. (5 điểm)
a. Tìm các số x; y; z biết rằng: 
b. Tìm x: 
c. Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị dương: x2 + 2016x
Câu 3. (5 điểm)
	a. Cho . Tìm số nguyên x để A là số nguyên
 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 
 c. Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0
Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng:
a. AC = EB và AC // BE
b. Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng
c. Từ E kẻ . Biết = 50o; =25o. 
Tính và
Câu 5. (2 điểm)
Từ điểm I tùy ý trong tam giác ABC, kẻ IM, IN, IP lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ..............................................Số báo danh:.......................
 PHÒNG GD&ĐT TAM NÔNG
 TRƯỜNG THCS HỒNG ĐÀ
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi : Toán 
Câu 
Nội dung chính
Điểm
Câu 1 
a. b, = + 
 = 3 + 3 = 6
b. Tìm được n = 2010
1,0
0,5
1,5
Câu 2
a. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
= 
( Vì x+y+z0). Do đó x+y+z = 0,5. Thay kết quả này vào đề bài ta có:
 tức là 
Vậy 
0,5
0,5
0.5
Vậy giá trị x cần tìm là : x = -2016
0,5
0,5
0,5
0,5
c. Ta có : x2+2014x = x(x+2014) 
x
 - -2014	- 0	+
x+2014
 -	 0	+
 +
x(x+2014)
 +
 -
 +
Vậy x2+2014x > 0 khi x 0
0,5
0,5
0.5
Câu 3
a. 
Để A là số nguyên thì là ước của 4, tức là 
Vậy giá trị x cần tìm là : 1 ; 4 ; 16 ;25 ;49
0,5
0,5
1
b. B = = = 1 + 
Ta có: x 0. Dấu ‘ =’ sảy ra khi và chỉ khi x = 0
 x + 3 3 ( 2 vế dương )
 4 1+ 1+ 4
 B 5
Dấu ‘ =’ sảy ra khi và chỉ khi x = 0 
Vậy Max B = 5 x = 0. 
0,5
0,5
0,5
0,5
c. Từ : x-2xy+y=0 
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau :
Hoặc 
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4 .Vẽ hình
0,5
Câu
Nội dung chính
Điểm
Câu 4
a. Xét và có : AM = EM (gt )	
 = (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nên : = (c.g.c ) AC = EB	
Vì = = 
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) 
Suy ra AC // BE .
0,5
0,5
0,5
b. Xét và có : AM = EM (gt )
= ( vì )
AI = EK (gt )
Nên ( c.g.c ) 	
Suy ra = 	
Mà + = 180o ( tính chất hai góc kề bù )	
 + = 180o 
 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 	
0,5
0,5
0,5
c. Trong tam giác vuông BHE ( = 90o ) có = 50o 
= 90o - = 90o - 50o =40o 	
 = - = 40o - 25o = 15o 	 là góc ngoài tại đỉnh M của 
 Nên = + = 15o + 90o = 105o 
 ( định lý góc ngoài của tam giác ) 
0,5
0,5
0,5
Câu 5
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông NIA và NIC ta có:
AN2 =IA2 – IN2; CN2 = IC2 – IN2 
 Þ CN2 – AN2 = IC2 – IA2 (1) 
Tương tự ta cũng có: AP2 - BP2 = IA2 – IB2 (2)
 MB2 – CM2 = IB2 – IC2 (3) 
Từ (1); (2) và (3) ta có: AN2 + BP2 + CM2 = AP2 + BM2 + CN2 
0,5
0,5
1
Lưu ý: Nếu học sinh có cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.