Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2015 - 2016 môn: Toán lớp 12 thpt

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016
Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016
Môn thi: TOÁN
Họ và tên:..
SỐ BÁO DANH:
LỚP 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề gồm có 01 trang
Câu 1 (2.0 điểm) 
Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho 
tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. 
Câu 2 (2.0 điểm) 
a. Giải hệ phương trình sau: 
b. Hai đội A và B thi đấu trận chung kết bóng chuyền nữ chào mừng ngày 08 - 03 (trận chung kết tối đa 5 hiệp). Đội nào thắng trước 3 hiệp thì thắng trận. Xác suất để đội A thắng mỗi hiệp là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất để đội A thắng trận chung kết. 
Câu 3 (2.0 điểm) 
a. Cho hàm số f(x) liên tục trên [- ; ]. Chứng minh: 
b. Tính tích phân sau: 
Câu 4 (3.0 điểm) 
	Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, , cạnh bên . Lấy M là điểm bất kỳ trên cạnh AB sao cho . Gọi là mặt phẳng đi qua M và .
a. Xác định thiết diện của lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi (P).
b. Tìm để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.
c. Mặt phẳng (P) chia lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai phần. Tính thể tích khối đa diện chứa các đỉnh A và C theo a và . Tìm vị trí điểm M để thể tích khối đa diện đó đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1.0 điểm) 
 	Cho là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng:
-------------------hÕt-------------------
SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH
HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016
Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016
Môn thi: TOÁN
LỚP 12 THPT
Đáp án này gồm có 05 trang
YÊU CẦU CHUNG
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.	
Câu
Nội dung
Điểm
1
Cho hàm số có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ nhất. 
2,0
 là tiệm cận ngang của đồ thị (C).
 là tiệm cận đứng của đồ thị (C).
0,50
 Ta có:
0,50
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
0,50
Dấu ‘=’ xãy ra (thỏa mãn)
Kết luận: 
0,50
2
a. Giải hệ phương trình sau: 
1,0
Trừ vế theo vế hai phương trình (1) và (2) ta có: 
0,25
Xét hàm số: 
Do đó f(t) là hàm đồng biến trên . Từ (3) suy ra .
0,25
Khi đó ta có: 
Xét hàm số: 
 nghịch biến trên (4) nếu có nghiệm sẽ là nghiệm duy nhất 
 là nghiệm duy nhất của (4). Do nên .
Kết luận: 
0,50
b. Hai đội A và B thi đấu trận chung kết bóng chuyền nữ chào mừng ngày 08 - 03 (trận chung kết tối đa 5 hiệp). Đội nào thắng trước 3 hiệp thì thắng trận. Xác suất để đội A thắng mỗi hiệp là 0,4 (không có hòa). Tính xác suất để đội A thắng trận chung kết. 
1,0
Gọi H là biến cố: ‘Đội A thắng trận chung kết’.
 X là biến cố: ‘Đội A thắng trận chung kết sau 3 hiệp’.
 Y là biến cố: ‘Đội A thắng trận chung kết sau 4 hiệp’.
 Z là biến cố: ‘Đội A thắng trận chung kết sau 5 hiệp’.
Khi đó và X, Y, Z đôi một xung khắc. 
Áp dụng quy tắc cộng xác suất: 
0,25
Ta có: 
0,25
0,25
Kết luận: Xác suất để đội A thắng trận chung kết là 
0,25
3
a. Cho hàm số f(x) liên tục trên [- ; ]. Chứng minh: 
1,0
Đặt : ; 
0,25
0,50
0,25
b. Tính tích phân sau: 
1,0
Hàm số liên tục trên [- ; ]. 
Áp dụng câu a ta có: 
0,25
Đặt: ; 
0,25
0,25
Kết luận: 
0,25
4
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, , cạnh bên . Lấy M là điểm bất kỳ trên cạnh AB sao cho . Gọi là mặt phẳng đi qua M và .
3,0
a. Xác định thiết diện của lăng trụ ABC.A’B’C’ khi cắt bởi (P).
1,0
0,25
Gọi I là trung điểm BC. Ta có : . Mà .
0,25
Trong mặt phẳng (ABC) dựng đường thẳng đi qua M và song song AI, cắt BC và AC lần lượt tại E, F.
Do BB’C’C là hình vuông
Trong mặt phẳng (BB’C’C) dựng đường thẳng đi qua E và song song với BC’, cắt CC’ tại L.
Trong mặt phẳng (AA’C’C) gọi .
Kết luận: Thiết diện là tứ giác MNLE.
0,50
b. Tìm để diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất.
1,0
Gọi 
0,25
Ta thấy: MACE là hình chiếu vuông góc của MNLE lên (ABC). 
Theo công thức hình chiếu ta có: 
0,25
Ta có : vuông cân tại E
0,25
.
Diện tích thiết diện đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 
Kết luận: .
0,25
c. Mặt phẳng (P) chia lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai phần. Tính thể tích khối đa diện chứa các đỉnh A và C theo a và . Tìm vị trí điểm M để thể tích khối đa diện đó đạt giá trị lớn nhất.
1,0
 (do các tam giác EFC, ECL vuông cân)
0,25
0,25
Xét hàm số: 
 (loại)
Thể tích khối đa diện MNLEAC đạt giá trị lớn nhất khi 
Kết luận: 
Thể tích khối đa diện MNLEAC đạt giá trị lớn nhất khi 
0,50
5
Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn . Chứng minh rằng: 
1,0
Đặt : 
Áp dụng bất đẳng thức: ta có:
Ta có: 
Thật vậy:
0,25
Khi đó: 
Đặt: 
Vì nên 
0,25
Xét hàm số 
0,25
Do hàm số đồng biến trên nên . 
Dấu ‘=’ xãy ra khi .
0,25