Đề kiểm tra chất lượng học kì II năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán lớp 12 thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
TRƢỜNG PTDTNT SƠN ĐỘNG 
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƢỢNG HỌC KÌ II 
NĂM HỌC 2015-2016 
MÔN: TOÁN LỚP 12 
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề 
Câu 1. (3,0 điểm) Cho hàm số 
1
1
x
y
x



 có đồ thị (C). 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 0). 
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = 2. 
Câu 2. (1,0 điểm) Giải bất phương trình  20,5log 5 6 1x x    . 
Câu 3. (2,0 điểm) 
1) Tính tích phân  
1
0
2 xI x e dx  . 
2) Cho số phức z thỏa mãn  1 7 0i z i    . Tìm phần thực, phần ảo và môđun của z. 
Câu 4. (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm (2;2;1), ( 1;2;5)A B  và mặt 
cầu (S) có phương trình      
2 2 2
1 1 3 25x y z      . 
1) Viết trình tham số của đường thẳng AB. Tìm tọa độ tâm và bán tính kính của mặt cầu (S). 
2) Viết phương trình mặt phẳng ( ) vuông góc với đường thẳng AB và tiếp xúc với mặt cầu (S). 
Câu 5. (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a  , 
cạnh bên ' 2AA a . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ 
. ' ' 'ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng , 'AM B C . 
Câu 6. (1,0 điểm) Giải hệ phương trình 
 
 
2 2
2
2 2 2
log log 2 .2
( , )
2log 6log 1 log 3 3 0
x xx x y
x y
x y x x y
   

     
 . 
-------------------------Hết------------------------- 
Họ tên học sinh: ............... Số báo danh: . 
HƢỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƢỢNG HỌC KÌ II 
NĂM HỌC 2015 – 2016. MÔN TOÁN, LỚP 12 
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh 
yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác đúng thì chấm và cho điểm từng phần 
tương ứng. 
Câu Nội dung Điểm 
1.1 Khảo sát – Vẽ đồ thị hàm số. 
 - Txđ:  \ 1D   
- Sự biến thiên: 
+ Chiều biến thiên: 
 
2
2
'
1
y
x


> 0, x D  . 
Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( ; 1)  và ( 1; )  . 
0,25 
 + Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1
x x
y y
 
  ; tiệm cận ngang y = 1. 
( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y
    
    ; tiệm cận đứng x = 1. 
0,25 
 + Bảng biến thiên: 0,25 
- Đồ thị hàm số: 0,25 
1.2 Viết phƣơng trình tiếp tuyến. 
Ta có: 
1
'(1)
2
y  ; (1) 0y  
0,25 
 phương trình tiếp tuyến tại (1;0)A là  
1
0 1
2
y x   
0,25 
hay 
1 1
2 2
y x  . 
0,25 
Vậy: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là 
1 1
2 2
y x  . 
0,25 
1.3 Diện tích hình phẳng . 
Ta có 
2
1
1
1
x
S dx
x



0,25 
2 2
1 1
1 2
1
1 1
x
S dx dx
x x
    
      
    
  
0,25 
2 2
2 2
1 1
1 1
2 2
1 2ln 1 1 2ln
1 3
S dx dx x x
x
       
 
. 
0,25 
Vậy: Diện tích hình phẳng cần tính là 
2
1 2ln
3
S   . 
0,25 
2 Giải bất phƣơng trình  20,5log 5 6 1x x    . (*) 
(*)
2
2
5 6 0
5 6 2
x x
x x
   
 
  
 (hoặc 20 5 6 2x x    ) 
0,25 
( ;2) (3; )
[1;4]
x
x
   
 

[1;2) (3;4]x   
0,5 
Vậy: Bất phương trình có tập nghiệm S  [1;2) (3;4] . 0,25 
3.1 Tính tích phân . 
Ta có  
1 1 1
0 0 0
2 2x xI x e dx xdx xe dx      1 2I I  
0,25 
1
1
2
1 0
0
2 1I xdx x   
0,25 
 
1
1
2
0
0
1x x xI xe dx xe e    
0,25 
Vậy: 1 2 2I I I   . 0,25 
3.2 Cho số phức z . 
Ta có:  
  7 17
1 7 0 3 4
1 2
i ii
i z i z i
i
 
        

. 
0,5 
Phần thực của z là 3, phần ảo của z là -4. 0,25 
Môđun của số phức z là  
22| | 3 4 5z     . 
0,25 
4.1 Viết phƣơng trình tham số 
 Ta có  3;0;4AB  

. 0,25 
Đường thẳng AB 
 
(2;2;1)
3;0;4
qua A
vtcp AB


 
 phương trình tham số của AB
2 3
2
1 4
x t
y
z t
 


  
. 
0,25 
Gọi I, r lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu (S), (1; 1;3)I  , 25 5r   . 0,5 
4.2 Viết phƣơng trình mặt phẳng. 
 Vì ( ) vuông góc với đường thẳng AB nên phương trình của ( ) có dạng 
3 4 0x z D    
0,25 
( ) tiếp xúc với mặt cầu (S) ( ,( ))d I r  0,25 
 
2 2
3.1 4.3
5
3 4
D  
 
 
16
9 25
34
D
D
D

      
0,25 
Vậy phương trình ( ) là 3 4 16 0x z    hoặc 3 4 34 0x z    . 0,25 
5 Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C  
- Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông tại B 2
1
2
ABCS a  
0,25 
2 3
. ' ' '
1 2
. ' . 2
2 2
ABC A B C ABCV S AA a a a    
0,25 
- Gọi N là trung điểm của cạnh BB’ / / 'MN B C ' / /( )B C AMN 
( ' , ) ( ' ,( )) ( ,( )) ( ,( ))d B C AM d B C AMN d C AMN d B AMN h     
0,25 
Tứ diện ABMN có các cạnh BA, BM, BN đôi một vuông góc nên 
2 2 2 2
1 1 1 1
h BA BM BN
  
2 2 2 2 2
1 1 2 4 7
h a a a a
    
7
7
a
h  
Vậy 
7
( , ' )
7
a
d AM B C  . 
0,25 
6 Giải hệ phƣơng trình 
 
 
2 2
2
2 2 2
log log 2 .2 (1)
( , )
2log 6log 1 log 3 3 0 (2)
x xx x y
x y
x y x x y
   

     
 
 Đk: 0; 1x y   . 
 2 2(1) log log 1 1 1x y x y y x         
0,25 
Thay 1y x  vào phương trình (2) ta được phương trình: 
2
2 2 22log 6log log 3 0x x x x x    
   22 2
2
log 3 0 (3)
log 3 2log 0
2log 0 (4)
x
x x x
x x
 
     
 
(3) 8x  7y  (t/m đk). 
0,25 
- Xét hàm số 2( ) 2logf x x x  với 0x  . 
Ta có 
2 ln 2
'( )
ln 2
x
f x
x

 , 
2
'( ) 0
ln 2
f x x   . 
Bảng biến thiên 
Theo BBT, pt ( ) 0f x  có nhiều nhất 2 nghiệm trên (0; ) , có (2) (4) 0f f  
Do đó, phương trình (4) có hai nghiệm 2; 4x x  1; 3y y   (t/m đk). 
0,25 
Vậy: Hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2;1), (4;3), (8;7). 0,25 
N
M
A'
C'
B
C
A
B'
2
( )
ln 2
f 
0 
x 
'( )f x 
0 
2
ln 2
x 

x 
f(x) 

x 

- +