Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2015 - 2016 môn: Toán lớp 11 thpt – vòng I

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2015-2016
 Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016
ĐỀ CHÍNH THỨC	 Môn: TOÁN
 	 LỚP 11 THPT- VÒNG 1
SỐ BÁO DANH:.. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
	 Đề gồm có 01 trang
Câu 1(2.5 điểm) 
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu 2(2.5 điểm) 
Tìm giới hạn: 
Tìm giới hạn: , biết xác định bởi  
Câu 3(2.5 điểm) 
Cho hình hộp Trên đường chéo lấy điểm M sao cho .
Mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng cắt đường chéo của hình hộp tại điểm 
Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng .
Chứng minh N là trung điểm của . 
Câu 4(1.0điểm) 
Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác gồm 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.
Câu 5(1.5 điểm) 
Cho là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện : 
i) 
ii) 
 Chứng minh rằng : 
 HẾT
 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2015 - 2016
	 Môn thi: Toán (VÒNG 1)
	 (Khóa ngày 23 tháng 3 năm 2016)
	 HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 6 trang)
Yêu cầu chung
* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 3 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.
* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.
* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài.
Câu
Nội dung
Điểm
1
1a
1b
Giải phương trình: 
1,25 điểm
Phương trình tương đương với
0,25
0,25
0,25
Đáp số:
0,25
0,25
Giải hệ phương trình: 
1,25 điểm
ĐK: 
Hệ đã cho tương đương với 
0,5
Đặt 
Hệ trở thành 
0,25
Khi đó, ta được 
Đáp số: 
0,5
2a
Tìm giới hạn: 	
1,0điểm
0,25
0,25
0,25
Đáp số: 
0,25
2b
Tìm giới hạn: , biết xác định bởi  .
1.5điểm
Đặt , ta được dãy xác định như sau
 và 
0,25
suy ra là cấp số nhân và công bội 
Do đó .
0,25
Đặt ta chứng minh bằng quy nạp
Thật vậy, rõ ràng 
với (*) đúng.
0,25
Giả sử , khi đó ta có
 .
0,25
Suy ra 
Do đó 
0,25
0,25
3
Cho hình hộp Trên đường chéo lấy điểm M sao cho .
Mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng , cắt đường chéo của hình hộp tại điểm 
a) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng .
b) Chứng minh N là trung điểm của . 
2,5 điểm
3a
3b
(Vẽ đúng hình hộp và kẻ được cạnh PQ của thiết diện là cho 0.25)
0,25
Tìm thiết diện.
Xét hai mặt phẳng và có 
, 
Mà do đó .
1,0 điểm
0,25
Từ đó ta có cách dựng thiết diện như sau:
Trong mặt phẳng (ABCD) dựng đường thẳng qua M song song BD cắt BC tại P và cắt CD tại Q.
0,25
Trong mặt phẳng (CDD’C’) dựng đường thẳng qua Q song song CD’ cắt DD’ tại R;
Trong mặt phẳng (ADD’A’) dựng đường thẳng đi qua R song song A’D cắt A’D’ tại S; 
Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) dựng đường thẳng qua S song song B’D’ cắt A’B’ tại T;
Trong mặt phẳng (ABB’A’) dựng đường thẳng qua T song song A’B cắt BB’ tại K.
Thiết diện là lục giác QPRSTK.
0,5
b) Gọi và 
Ta có: 
1,25 điểm
0,25
Gọi . 
Ta có 
0,25
Mặt khác 
0,25
Xét trong tam giác AMN có MN//OG nên 
0,25
Từ (1) và (2) suy ra hay N là trung điểm của AC’.
0,25
4
Cho đa giác đều gồm 2017 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác gồm 2 màu xanh và đỏ. Chứng minh ắt phải tồn tại 3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.
1.0 điểm
Đa giác đều có 2017 cạnh nên có 2017 đỉnh
Vì các đỉnh được sơn bằng 2 màu xanh và đỏ nên ắt phải tồn tại hai đỉnh kề nhau là M và N được sơn cùng một màu( chẳng hạn màu đỏ)
0,25
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có một số lẻ đỉnh, cho nên phải tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN. Giả sử đó là đỉnh A
0,25
Nếu A sơn màu đỏ thì tam giác AMN là tam giác cân tại A có 3 đỉnh A, M, N được sơn cùng màu đỏ.
0,25
Nếu A sơn màu xanh. Lúc đó ta gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác kề với M và N
- Nếu cả B và C đều sơn màu xanh thì tam giác ABC cân tại A có 3 đỉnh được sơn màu xanh
- Nếu ngược lại một trong hai đỉnh B và C mà được sơn màu đỏ thì tam giác BMN hoặc tam giác CMN là tam giác cân có 3 đỉnh được sơn màu đỏ.
0,25
5
Cho là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện : 
i) ii) .
 Chứng minh rằng : 
1.5 điểm
Từ (ii) ta có: 
0,25
0,25
Ta chứng minh BĐT sau : .
Thậy vậy 
Ta có .
0,25
Từ (ii) 
suy ra: (theo BĐT (*))
0,25
Từ (i) ta có 
 (vì ta có BĐT quen thuộc )
Từ (2) và (3) suy ra hay .
Từ (1) và (4) suy ra 
0,25
0,25