Đề thi chọn học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán thời gian làm bài: 150 phút

PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016
Câu 1 (2,0 điểm):
Rút gọn biểu thức A = với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9
Phân tích đa thức thành nhân tử.
Câu 2 (2,0 điểm):
Tìm giá trị của tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d):
y= (2m-1)x + 3 + 2m có giá trị lớn nhất.
 b) Giải phương trình: 
Câu 3 (2,0 điểm):
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 2016xy = x + y
Tìm các số tự nhiên x; y; z thỏa mãn đồng thời 
 và x + y + z – 1 là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm):
Cho nửa đường tròn (O;R), BC là đường kính. Điểm A di động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi I và K thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC.
Chứng minh: 
Chứng minh 4 điểm B, I, K, C cùng thuộc một đường tròn.
Xác định vị trí điểm A trên nửa dường tròn để tích HA.HB có giá trị lớn nhất.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho các số dương x,y thỏa mãn: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
------------- Hết-------------
SBD: ................... Họ và tên thí sinh: ....................................................................................
Giám thị 1: ................................................... Giám thị 2: ......................................................
PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016
MÔN THI: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 04 trang)
Ngày thi 11 tháng 01 năm 2016 
Bài
Ý
Nội dung
Điểm TP
Tổng điểm
1
a
Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9. Ta có : 
0,25
 0,25
0,25
0,25
1,0
b
 Ta có 
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
2
a
Xét đường thẳng (d): y= (2m-1)x + 3 + 2m .
 - Tìm được điểm cố định là A( -1;4).
 - Lập được phương trình đường thẳng OA là: y = -4x
 - Khẳng định: 
 Khoảng cách từ O đến (d) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi (d) vuông góc với OA.
- Khi đó (2m – 1).(-4) = -1 và giá trị lớn nhất của khoảng cách từ O đến (d) là 
0,25
0,25
0,25
0.25
1,0
b
Xét phương trình: 
ĐKXĐ: 
Chứng minh được vế trái 
Dấu “=” xảy ra x = 5
Chứng minh được vế phải 2
Dấu “=” xảy ra x = 5
Khẳng định phương trình có nghiệm duy nhất x = 5
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
3
a
Từ 2016xy = x + y => 20162 xy – 2016x – 2016 y = 0.
ó ( 2016 x – 1) . ( 2016 y – 1) = 1.
Do x và y là các số nguyên nên giải phương trình trên ta suy ra được
 Cặp số nguyên ( x; y) = (0;0)
0,25
0,25
0,50
1,0
b
Ta có 
( do ) 
=> ( x -1 + y + z) chia hết cho 3
Vì nguyên tố nên 
Vai trò x, y, z như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử :
 . 
Với và , suy ra không tồn tại y, z là các số tự nhiên thỏa mãn.
Với và . Tìm được 
Đáp số 
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
4
a
Vì Anửa đường tròn tâm O, đường kính BC ( gt) => 
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 
Lại có 
0,25 
0,25
 0,25
0,25
1,0
b
Chứng minh tứ giác AKHI là hình chữ nhật
Gọi M là giao điểm của AH và IK, N là giao điểm các đường trung trực của IK và BC
Chứng minh được AO vuông góc với IK, từ đó suy ra tứ giác AMNO là hình bình hành.
Do đó MA = ON = MK
Chứng minh được hai tam giác BON và NMI bằng nhau
 Suy ra NI = NB = NK =NC
 Vậy 4 điểm B, I ,K, C cùng thuộc một đường tròn.
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
c
 + Dễ dàng chứng minh được : abcd (*)
	Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d
 + Đặt HB = x , 0 HC = 2R - x 
	Chứng minh được : HA 
 Ta có: 
 HA.HB có giá trị lớn nhất Û có giá trị lớn nhất
 Û x.x.x(2R – x) có giá trị lớn nhất
Û có giá trị lớn nhất
Áp dụng (*) với a = b = c = 
Ta có : 
	Do đó tích HA.HB có giá trị lớn nhất Û Û . 
Và khi đó xác định được vị trí điểm A trên nửa đường tròn là AC = R
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
5
Do x, y dương 
nên từ =>
Có ta suy ra 2x > > 0 
 và (1)
Đặt a =2x + ; b = 2x. (a, b > 0; 
Ta có: (1) 
Suy ra : b - 1 > 0 và 
Lại có : 
 (theo bđt Cô si)
Do đó: Mà a > 0 nên 
Dấu “=” xảy ra khi : ( do b> 0 )
Khi đó: 
Vậy giá trị nhỏ nhất của biếu thức là 4 khi và chỉ khi .
0,25
0,25
0,25
0,25
1,0
* Chú ý: Học sinh có thể làm cách khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.