Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2021-2022

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
6
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC: 2021 – 2022
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
(Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1: (4,0 điểm)
Thực hiện phép tính: 
a) 
b) 
2. Tính giá trị của đa thức khi thỏa mãn 
Câu 2: (4.0 điểm)
Tìm x, y, z biết và .
 2. Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp với tỉ lệ 5; 6; 7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4; 5; 6 nên có một lớp nhận nhiều hơn 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Câu 3: (4,5 điểm)
Tìm x biết: 
Tìm nguyên biết: .
Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4: (6,0 điểm)
 Cho DABC nhọn có góc A bằng 600. Tia phân giác góc ABC cắt AC tại điểm D, tia phân giác góc ACB cắt AB tại điểm E. Gọi I là giao điểm của BD và CE.
Tính số đo góc BIC.
Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng minh rằng: DCID = DCIF.
Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Hỏi: DBCM là tam giác gì? Vì sao?
Câu 5: (1.5 điểm) 
	1. Cho DABC cân tại B, có ABC= 800. Lấy điểm I nằm trong tam giác sao cho
 IAC = 100 và ICA= 300. Tính số đo: AIB.
2. Chứng tỏ biểu thức sau không phải số nguyên
Hết
Họ và tên thí sinh:...............................................Số báo danh:........................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
 MÔN: TOÁN 
NĂM HỌC 2021 – 2022 
 (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4,0 điểm)
1, Thực hiện phép tính: 
a) 
b) 
2. Tính giá trị của đa thức khi thỏa mãn 
1, (2,5 điểm) Thực hiện phép tính: 
a) 
0.5
0,5
0,5
b) 
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1,5 điểm) Tính giá trị của đa thức khi x, y thỏa mãn 
Ta có 
0,25
Do đó 
0,25
Để thì và 
Hay và 
0,5
Thay vào M ta được: 
0,5
Câu 2
(4.0 điểm)
1) (2,0 điểm) Tìm x, y, z biết và 
- Ta có 
0,25
0,5
- AD t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có 
0,5
- Suy ra .
0,75
(mỗi giá trị tính đúng được 0,25
2. (2.0 điểm) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp với tỉ lệ 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua.
Gọi tổng số gói tăm 3 lớp dự định cùng mua là x gói ( x ∈ N*) 
Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A ,7B ,7C lúc đầu lần lượt là a, b, c 
0,25
Ta có: (1)
0, 5
Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’; ta có (2)
0,5
So sánh (1) và (2) ta có a > a’; b = b’; c < c’ do đó lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu 4 gói. Vậy c’ – c = 4
Hay 
0,5
Vậy số tăm 3 lớp 7A, 7B, 7C đã mua là 360 gói
0.25
Câu 3
(4,5 điểm)
(1,0 điểm) Tìm x biết: 
0,5
KL:..
0,5
2. (1,5 điểm) Tìm nguyên biết: .
Vì x, y nguyên, nên và nguyên dương.
0,25
Ta có 
0,25
Ta có bảng
0
1
4
25/9 (L)
23/5 (L)
1
x
y
0,75
(Mỗi cột tính đúng được 0,25 điểm)
Vậy 
0,25
3. (2,0 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
0,5
Để P nhỏ nhất thì là số dương lớn nhất.
0,5
Hay phải là số dương nhỏ nhất.
0,25
Với x nguyên nên là số nguyên dương và nhỏ nhất.
Khi đó 
0,5
Vậy x = 0 thì biểu thức có giá trị nhỏ nhất.
Khi đó GTNN của P là -1011.
0,25
Câu 4
(6,0 điểm)
Cho DABC nhọn có góc A bằng . Tia phân giác góc ABC cắt AC tại điểm D, tia phân giác góc ACB cắt AB tại điểm E. Gọi I là giao điểm của BD và CE.
Tính số đo góc BIC.
Trên cạnh BC lấy điểm F sao cho BF = BE. Chứng minh rằng: DCID = DCIF.
Trên tia IF lấy điểm M sao cho IM = IB + IC. Hỏi: DBCM là tam giác gì? Vì sao?
Vẽ hình + gt,kl
0.5
( 2,0 điểm) Tính số đo góc .
- Vì BD là tia phân giác của 
0,25
- Vì CE là tia phân giác của 
0,25
0,5
0,5
0,5
b) (2,0 điểm) Trên cạnh BC lấy điểm sao cho . Chứng minh: .
Ta có 
 (đối đỉnh)
0,5
- Chứng minh được 
0,5
0,5
- Chứng minh được 
0,5
c) (2,0 điểm) Trên tia lấy điểm sao cho . Hỏi: là tam giác gì? Vì sao?
Trên tia IF lấy điểm H sao cho BI = IH
0,25
Khi đó HM = IC
0,25
 có IB = IH, , nên đều.
0,25
Suy ra và 
0,25
Chứng minh được 
0,5
 và BC = BM 
0,25
Vậy là tam giác cân (BC = BM) và có 1 góc bằng 600 nên là tam giác đều.
0,25
Câu 5
(1,5 điểm)
1. (1,0 điểm) Cho DABC cân tại B, có . Lấy điểm I nằm trong tam giác sao cho và . Tính số đo .
Do cân tại B, có nên 
Vì và nên và 
0,25
Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ tam giác đều ACD suy ra .
Ta có: nên 
0,25
Khi đó: Þ AB = AI nên cân tại A.
0,25
Do đó: .
0,25
2. (0,5 điểm) Chứng tỏ biểu thức sau không phải số nguyên
S = = 
= 
= 
= 
 S < n – 1 (1)
0,25
< ; < ; < ; ; < 
 < + + ++ = 1– < 1.
> -1 
 > ( n–1) –1= n – 2.
 S > n – 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S không là số nguyên.
0,25