Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán học Lớp 8 - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

MÃ KÍ HIỆU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Năm 2020 (2021)
MƠN: TỐN
Thời gian làm bài:150 phút.
(Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1. (6,0 điểm)
a. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
b. Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: 
c. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59
Câu 2. (4,0 điểm)
 a. Chứng minh với mọi số thực a, b, c.
b. Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.
Câu 3. (2.0 điểm):
Cho biểu thức: 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P cĩ giá trị.
b) Rút gọn biểu thức P.
Câu 4. (6,0 điểm) 
Cho hình bình hành ABCD, lấy điểm M trên BD sao cho MB ¹ MD. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Đường thẳng qua M và song song với AD cắt AB và CD lần lượt tại K và H.
a. Chứng minh: KF // EH.
b. Chứng minh: các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy.
c. Chứng minh: SMKAE = SMHCF .
Câu5. (2,0 điểm) 
Cho hai số khơng âm và thoả mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
.... Hết .
MÃ KÍ HIỆU
HƯỚNG DẪN CHẤM
 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎILỚP 8
Năm 2021
MƠN: TỐN
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
1
(6,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
0,5
0,5
0,5
0,5
b) (2,0điểm)
1,0
0,5
 và 
0,5
c) (2,0điểm)
A = 5n+2 + 26.5n + 82n+1
 = 25.5n + 26.5n + 8.82n
= 5n(59 – 8) + 8.64n	
 = 59.5n + 8(64n – 5n) 	
Vì 59.5n 59 và 8(64n – 5n) (64 – 5) = 59 	
Vậy 5n+2 + 26.5n + 82n+1 59	
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
2
(4,0 điểm)
a) (2,0 điểm)
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta cĩ: 
 ; 
Do đĩ, suy ra: 
0,5
0,5
0,5
0,5
b) (2,0 điểm)
Ta cĩ: 
Với x là số nguyên thì P là một số chính phương.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
3
(2,0 điểm)
a) (1,0 điểm)
Tìm điều kiện đúng: 
0,5
Vậy điều kiện của x để biểu thức P cĩ giá trị là:
0,25
b) (2,0 điểm)
0,5
 =
0,5
0,25
 4
(6,0 điểm)
Hình vẽ 
a) (2,0 điểm)
Chứng minh: KF // EH
 Chứng minh được: 
0,5
 Chứng minh được: (hệ quả định lý Ta - lét)
0,5
 Suy ra Þ KF // AC (Định lý Ta - lét đảo)
0,25
Chứng minh tương tự ta cĩ EH // AC
0,5
Kết luận KF // EH
0,25
b) (2,0điểm).
 Gọi giao điểm của BD với KF và HE lần lượt là O và Q. N là giao điểm của AC và BD
Chứng minh được 
0,75
 Gọi giao điểm của đường thẳng EK và HF là P, giao điểm của đường thẳng EK và DB là P’. 
Chứng minh được P và P’ trùng nhau
1,0
 Kết luận các đường thẳng EK, HF, BD đồng quy
0,25
c, (2,0 điểm)
 Kẻ EG và FI vuơng gĩc với HK, I và G thuộc HK
Chỉ ra được : SMKAE = MK.EG; SMHCF = MH.FI
0,5
 Chứng minh được: 
0,25
 Suy ra
0,25
 Chứng minh được: 
0,25
 Suy ra, suy ra MK.EG = MH.FI
0,5
Suy ra: SMKAE = SMHCF
0,25
 5
(2,0 điểm)
+ Ta cĩ (do )
0,5
+ Chứng minh được với hai số dương thì
0,5
+ Do đĩ 
0,5
+ Kết luận: GTLN của S là 2020, đạt được khi .
0,5
Lưu ý:	- Thí sinh giải theo cách khác, nếu đúng vẫn cho đủ điểm theo từng phần phù hợp như quy định của hướng dẫn chấm này.
----------Hết-----------