Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán 8 thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI-11 
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(1.5 điểm): Thực hiện phép tính
 a) 98.28 – ( 184 - 1)(184 + 1)
 b) (2x - 1)2 + 2(2x - 1)(x + 1) + (x + 1)2 
 c) 
Câu 2(1.5 điểm): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 
 a) x3 – 9x
 b) 4x2 – 3x – 1
 c) ab( a - b) + bc( b- c) + ca( c- a) 
Câu 3. ( 1.5 điểm): 
 a) Chứng minh rằng: Nếu aN, a > 1 thì A = (a2 + a +1)(a2 + a + 2) – 12 là hợp số
 b) Cho 10a2 = 10b2 – c2. Chứng minh rằng: (7a – 3b – 2c)(7a – 3b + 2c) = ( 3a – 7b)2 
Câu 4(1.5 điểm): Cho A = 
a) Rút gọn A
b) Tìm số nguyên a để A là số nguyên 
Câu 5(3.25 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE
 a) Chứng minh vuông cân
b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng
c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Chứng minh 
Câu 6(0.75 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm, ; và chiều cao của hình thang bằng 18m 
--------------- HẾT ---------------
UBND HUYỆN KIM SƠN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu
Đáp án
Điểm
1
a/ = 188 – (188 – 1)
 = 188 – 188 + 1 = 1
0.25
0.25
b/ = 
 = (3x)2 = 9x2 
0.25
0.25
c/ = 
 = 
0.25
0.25
2
a/ = x(x2 - 9)
 = x(x + 3)(x -3)
0.25
0.25
b/ = 4x2 + 4x – x – 1 = (4x2 + 4x) – (x + 1)
 = 4x(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(4x - 1)
0.25
0.25
c/ = ab( a - b) + b2c – bc2 + ac2 – a2c 
 = ab( a-b) + ( b2c – a2c) + (ac2 – bc2)
 = ab( a - b) + c( b2- a2) + c2(a - b)
 = ( a - b)
 = (a - b)( b - c)( a - c) 
0.25
0.25
3
a/Đặt a2+ a + 1 = x (1)
A = x(x + 1) – 12 = x2 + x – 12= x2 – 3x + 4x – 12 
 = (x2 – 3x) + (4x – 12) = x(x - 3) + 4(x - 3)
 = (x - 3)(x + 4)
Thay (1) vào biểu thức A, ta có
A = (a2 + a - 2)(a2 + a + 5) 
 = (a2 + 2a – a - 2)(a2 + a + 5)
 = (a - )( a + 2)(a2 + a + 5)
Ta thấy 
Vậy A là hợp số
b/ VT = (7a – 3b)2 – 4c2 = 49a2- 42ab + 9b2 – 4c2
mà 10a2 = 10b2 + c2 nên c2 = 10a2 – 10b2
 nên VT = 49a2 – 42ab + 9b2 – 4(10a2 – 10b2)
 = 49a2 – 42ab + 9b2 – 40a2 + 40b2
 = 9ª2 – 42ab + 49b2 = (3a – 7b)2 = VP
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4
a/ A = 
 = 
b/ Để Anên a – 2 là ước của 
 Với a – 2 = 1 thì a = 3
 Với a – 2 = - 1 thì a = 1. 
Vậy a thì A là số nguyên
0.25
 0.5
0.25
 0.5
5
a/ CM được (g.c.g)
 AB = AP mà (gt)
Vậy vuông cân
b/Ta có : HA = HK 
H nằm trên đường trung trực của AK
 Ta có : AE = KE 
E nằm trên đường trung trực của KA
vuông có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP)
(*)
Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( vuông cân tại A) là hình thoi, mà (gt)
 là hình vuông nên PI = IA(**).
 Từ (*) và(**) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường trung trực của AK
 Vậy H, I, E thẳng hàng.
c/ Ta có APQB là hình vuông (cmt) nên AP = BQ 
mà IK = 
 có AI = IQ(t/c đ/c hv) 
Mà (cmt) vuông ở K
 mà (EAHK là hv) QK // HE
Vậy HEKQ là hình thang
 0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
 0.5
0.25
0.25
0.25
0.5
6
Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD.
 Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m
 Do đó A’AD vuông cân 
A’D = A’A = 18m
vì thế trong tam giác vuông B’BC
ta có B’C = . Theo định lí Pi ta go, ta có:
 B’C2 = BC2 – B’B2 
 B’C2 = 4B’C2 – B’B2 
 3B’C2 = B’B2
 B’C = (cm)
Suy ra : 
 CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 -(cm)
Vậy SABCD =(cm2)
0.25
0.25
0.25
--------------- HẾT ---------------