Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện năm học 2014 - 2015. Môn : Toán thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2014-2015.
 Môn : Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 	Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014
Bài 1. (5 điểm) Cho biểu thức: 
P = ; với x > 0; x 1.
	1. Rút gọn P.
	2. Tính P khi x = .	
	3. Tìm x để P < .
Bài 2. (3 điểm)
	1. Giải phương trình:
 2.Cho x, y R, x0, y0. Chứng minh:
Bài 3. (3 điểm)
1.Tìm tất cả các cặp số nguyên ( x; y ) sao cho 
2. Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số thỏa mãn a+b+c= 2014 
 và thì một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2014
Bài 4. (5 điểm) Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây cung CD tại H (). Biết AH = a; CD = 2b.
a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau
b) Tính R theo a và b
c) Qua H vẽ hai dây cung MN và PQ vuông góc với nhau. Xác định vị trí các dây này để MN + PQ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 
Bài 5. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3. 
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=.
Bài 6: (2,0 điểm) Cho tam giác cân ABC (AB = BC) có đường cao BH. Trên các cạnh AB và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho . Đường thẳng MN cắt đường cao BH tại O. Tính .
 Chú ý : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
 Họ tên thí sinh:................................................Số báo danh...........
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO
 HUYỆN THIỆU HÓA
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2014-2015
Môn thi: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC 	 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
 	Ngày thi: 02 tháng 12 năm 2014
Bài
Nội dung
Điểm
 Bài 1
(5điểm)
1/ Biến đổi
P = 
 Ta được P = 
2/ Tính được x = 4 
Thay x = 4 tính P = 7
3/ P 0, x 1.
 	 < 0
 Kết luận < x < 4 và x 1.
0.5đ
1.5đ
0,5đ
1đ
0.5
1.0đ
 Bài 2
(4điểm)
1. ĐK 0 < x 4
 Đặt = a, = b a2 + b2 = 4. (a > 0, b > 0)
 Biến đổi ta được:
Vì a > 0, b > 0 2 + ab > 0 
a - b = a2 - 2ab - b2 = 2 2ab = 2 ab = 1
Ta có : 
 (TM)
0,25đ
0,75đ
0.25đ
0,75đ
2/. (1) (2)
Đặt a = 
 a2 = 
BĐT (2) trở thành a2 - 3a + 20 (a - 2)(a - 1) 0.(3)
Từ a nằm trong miền nghiệm của bất phương trình (3)
Vậy a thoả mãn a2 - 3a + 20 (1) đúng
Vậy 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0.25đ
0,25đ
Bài 3
(4điểm)
1/ Biến đổi được 
 Vì nên 
 mà x2 + 2 
Xét 3 trường hợp xảy và kết luận các cặp số nguyên ( x; y ) là (-1;-3);(5;5).
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0.25đ
0,75đ
2/Từ giả thiết ta có
- Nếu a+b=0 thì c=2014
- Nếu a+c=0 thì b=2014
- Nếu c+b=0 thì a=2014 
Vậy một trong ba số a,b,c phải có một số bằng 2014
0,25đ
0,75đ
0,25đ
0,5 đ
0,25đ
 Bài 4
(5điểm)
a/ Ta cónên vuông tại C nên 
 góc BCH + góc ACH = 900 (1)
Vì ABCD nên góc CAH + góc ACH = 900 (2)
Từ (1) và (2) suy ra góc CAH = góc BCH. 
Mặt khác ABCD nên HC=HD hay ACD là tam giác cân tại A 
=>AH là phân giác góc A => góc CAH = góc DAH
 Suy ra góc BCH = góc DAH => Các tam giác HAD và HCB đồng dạng 
0,5đ
0,5đ
0,5đ
b/ Áp dụng định lí Pitago ta có 
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ABC ta có 
0,5đ
0,5đ
c/ Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên MN và PQ. 
 Đặt OK = x; OL = y;
 Đặt OH = d .tứ giác OKHL là hình chữ nhật.
 Ta có không đổi
Đặt 
* T đạt GTLN khi T2 đạt GTLN đạt GTLN đạt GTLN
Áp dụng BĐT Côsi ta có 
Dấu “=” xẩy ra khi OL = OK => HO là tia phân giác của góc tạo bởi hai dây cung.
* T đạt GTNN khi T2 đạt GTNN đạt GTNN đạt GTNN
Mặt khác do x, y nên , dấu “=” xẩy ra khi x = 0 hoặc y = 0 => dây cung trở thành đường kính.
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài5
(5điểm)
 Bài6
(2điểm) 
Ta có = =1+3a - (1)
 Do (Bất đẳng thức cô si)
Tương tự ta có
 (2); 
 (3)
Từ (1)(2)(3) 
ta có p 3+3(a+b+c)- 
lại có (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ta suy ra a2+b2+c2 (ab+bc+ac) nên
(a+b+c)2 3(ab+bc+ac)=9 suy ra a+b+c 3 Do đó P 6
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 6 . Khi và chỉ khi a=b=c=1.
Bài6:
+ Kẻ MP BH , NK BH ( K, H nằm trên BH)
 Chứng minh:BKN đồng dạng BHC nên 
 => => BK = (1) 	
 Chứng minh tương tự
 BPM đồng dạng BHA => BP = 	(2) 
 Chứng minh được 
BKN đồng dạng BPM, kết hợp với (1) (2) ta được 
 	 (3) 	
Chứng minh được OKN đồng dạng OPM, kết hợp với (3) ta được
 	 => 
=> 
 KO =
+ Tính BO = BK + KO = 
 = 	(4) 	
+Tính HO = BH – BO = BH = (5) 	 
+ Từ (4) (5) tính
0.5đ
0.25đ
0.25đ
0,5đ
0.5đ
0,25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Lưu ý:- HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa .Chứng minh hình phải có lập luận, căn cứ chặt chẽ mới cho điểm tối đa.Không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình