Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 năm học 2015 - 2016 môn thi: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
HUYỆN SƠN DƯƠNG
NĂM HỌC 2015-2016
ĐỀ CHÍNH THỨC
Mụn thi: TOÁN
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm cú 01 trang)
Cõu 1.(4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) Rỳt gọn biểu thức: A = 
Cõu 2.(4 điểm)
a) Cho	 Tớnh 
b) Tỡm tất cả cỏc số x, y, z nguyờn thỏa món: 
Cõu 3: (4 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn x, y thỡ :
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương.
b) Cho là cỏc số tự nhiờn cú tổng chia hết cho 3.
Chứng minh rằng: chia hết cho 3.
Cõu 4. (6 điểm)
Cho điểm M di động trờn đoạn thẳng AB. Trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ cỏc hỡnh vuụng AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ^ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trờn đoạn thẳng AB.
Cõu 5. (2 điểm) 
Cho a;b;c là ba số đụi một khỏc nhau thỏa món:
 Tớnh giỏ trị của biểu thức: P=
----------------------------------------------------------------------------
Giỏm thị coi thi khụng giải thớch gỡ thờm - SBD:.......................
PHềNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN SƠN DƯƠNG
 HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2015 - 2016
Mụn thi : Toỏn 
Cõu
Phần
Nội dung
Điểm
Cõu 1
(4 điểm)
a
2đ
=
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
 Ta cú : 
 => B = =1- 
1
1
Cõu 2
( 4 điểm )
a
2đ
Ta có thì
 (vì nên )
Theo giả thiết 
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + 4 = 0
 (x2 – xy + ) + (z2 – 2z + 1) + (y2 – 3y + 3) = 0
 (x - )2 + (z – 1)2 + (y – 2)2 = 0
Cú cỏc giỏ trị x,y,z là: (1;2;1)
1
0,5
0.5
Cõu 3
(4 điểm)
a
2đ
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn x, y thỡ 
 A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chớnh phương.
Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4
 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thỡ
 A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 
V ỡ x, y, z Z nờn x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z 
 x2 + 5xy + 5y2 Z
Vậy A là số chớnh phương.
0.5
0.5
0.5
0.5
b
2đ
 Dễ thấy là tớch của ba số tự nhiờn liờn tiếp nờn chia hết cho 3
Xột hiệu 
 chia hết cho 3
Mà là cỏc số tự nhiờn cú tổng chia hết cho 3. 
Do vậy A chia hết cho 3.
0.5
0.5
0.5
0.5
Cõu 4
(6 điểm )
0,5
a
2đ
∆AME = ∆CMB (c-g-c) ị éEAM = éBCM
Mà éBCM + éMBC = 900 ị éEAM + éMBC = 900
ị éAHB = 900
Vậy AE ^ BC
1
0,5
0,5
b
2đ
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuụng tại H cú HO là đường trung tuyến 
ị ∆DHM vuụng tại H
ị éDHM = 900
Chứng minh tương tự ta cú: éMHF = 900
Suy ra: éDHM + éMHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
0,5
0,5
0,5
0,5
c
1,5đ
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta cú: éDMF = 900 ị MF ^ DM mà IO ^ DM ị IO // MF
Vỡ O là trung điểm của DM nờn I là trung điểm của DF 
Kẻ IK ^ AB (KẻAB) 
ị IK là đường trung bỡnh của hỡnh thang ABFD 
 (khụng đổi)
Do A, B cố định nờn K cố định, mà IK khụng đổi nờn I cố định.
Vậy đường thẳng DF luụn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trờn đoạn thẳng AB
0,5
0,5
0,5
Cõu 5
( 2 điểm )
(a+b+c)2=
Tương tự: 
0,5
0,5
0,5
0,5
Lưu ý .Học sinh cú cỏch giải khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa.