Đề thi chọn học sinh giỏi huyện Ninh Giang năm học 2012-2013 môn thi: Toán 9

UBND HUYỆN NINH GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN THI: TOÁN 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(không tính thời gian giao đề)
 Ngày thi 06 tháng 12 năm 2012
Câu 1 ( 2,0 điểm ) Rút gọn các biểu thức sau : 
	a) 	b) 
Câu 2 ( 2,5 điểm ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :
	a) 	b) 
Câu 3 ( 1,5 điểm ). 
Chứng minh rằng nếu các số nguyên a,b,c thỏa mãn b2 - 4ac và b2 + 4ac đồng thời là các số chính phương thì a.b.c 30 .
Câu 4 ( 3,0 điểm ). 
Cho đường tròn (O;). AB và CD là hai đường kính cố định của (O) vuông góc với nhau. M là một điểm thuộc cung nhỏ AC của (O). K và H lần lượt là hình chiếu của M trên CD và AB.
Tính 
Chứng minh: 
Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA. MB. MC. MD lớn nhất.
Câu 5 ( 1,0 điểm ). 
	Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x 2y.
	Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = 
-------------------------------------Hết---------------------------------------
Họ và tên thí sinh :.......................................................................Số báo danh :.................
Chữ ký giám thị 1 :........................................Chữ ký giám thị 2 :......................................
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
MÔN TOÁN
* Học sinh làm cách khác đúng phải cho điểm tối đa.
* Điểm toàn bài làm tròn đến 0,25 điểm.
CÂU
NỘI DUNG
THANG ĐIỂM
1a
(1,0đ)
a) 
= 
= = 
= = 
= = 
0,25
0,25
0,25
0,25
1b
(1,0đ)
b) 	
= 
= 
= = 
= = 
0,25
0,25
0,25
0,25
2a
(1,0đ)
 ĐK : x -3
Ta có : a2 + a +1 = (a + )2 + > 0 với mọi a
nên > 0 với mọi x => vế trái của (2) luôn dương => (2) vô nghiệm.
Vậy nghiệm phương trình là x = 1.
0,5
0,25
0,25
2b
(1,5đ)
ĐK : 
Đặt 
Phương trình (1) trở thành :
Với k = 2 có y = 4x2 ( x > 0 ; y > 0 )
Phương trình (2) trở thành :
Đặt 
Ta có hệ : 
Giải hệ được t = x ( do x > 0 và )
Vậy hệ có nghiệm 
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
3
(1,5đ)
+ Chứng minh được : Mọi số có dạng 3k 2, 5k 2 đều không phải số chính phương .
+ Nếu b chẵn thì abc 2
 Nếu b lẻ thì b2 = 8k + 1 ( k Z ) => b2 4ac là số chính phương lẻ . Đặt b2 4ac = 8m + 1 ( m Z )
=> 4ac 8 => ac 2 => abc 2 (1)
+ Nếu b 3 => abc 3
 Nếu b không chia hết cho 3 thì b2 chia 3 dư 1. Khi đó nếu ac không chia hết cho 3 thì b2 4ac có dạng 3p 2 không là số chính phương => ac 3 => abc 3 (2)
+ Nếu b 5 thì abc 5
 Nếu b không chia hết cho 5 thì b2 chia 5 dư 1 . Khi đó nếu ac không chia hết cho 5 thì b2 4ac có dạng 5q 2 không là số chính phương => ac 5 => abc 5 ( 3)
Từ (1) (2) (3) và vì (2,3,5) = 1 nên abc 30
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
4
(3,0đ)
a) Vì M thuộc (O) nên các tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên:
= = 1 + 1 = 2
1,0
b) Chứng minh: 
Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH
Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng trong tam giác vuông MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH
Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH)
0,5
0,5
c) P = MA. MB. MC. MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH)
Mà OH.MH(Pitago)
Vậy . đẳng thức xẩy ra MH = OH 
OH =
0,25
0,25
0,25
0,25
5
(1,0đ)
M = với x, y là các số dương và x ³ 2y
	Ta có £ (Bất đẳng thức Cauchy)
	= (Thay mẫu số bằng số lớn hơn).
	Suy ra Max khi x = 2y, 
do đó giá trị nhỏ nhất của M = đạt được khi x = 2y.
0,25
0,25
0,25
0,25