Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2012 – 2013 môn thi: Toán – lớp 12 – thpt thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 – 2013
MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
================
Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số . 
1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng có phương trình .
2. Tìm m để đường thẳng có phương trình cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt , biết hai điểm có hoành độ lần lượt là thỏa mãn: 
 .
Câu 2. (5,0 điểm)
Giải phương trình: .
Giải hệ phương trình: 
Câu 3. (2,0 điểm) Tính tổng: .
Câu 4. (4,0 điểm)
 1.Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm , , . Lập phương trình đường thẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ và đến đường thẳng lớn nhất.
 2. Trong không gian tọa độ cho hai mặt cầu 
. Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 
Câu 5. (3,0 điểm) 
 	Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1. Gọi là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh sao cho mặt phẳng luôn vuông góc với mặt phẳng . Đặt . Chứng minh rằng , từ đó tìm để tam giác có diện tích bé nhất, lớn nhất.
Câu 6. (1,0 điểm) 
 Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
------------------------Hết------------------------
(Đề thi gồm có 01 trang)
UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012 - 2013
MÔN THI : TOÁN – LỚP 12 – THPT
Ngày thi 29 tháng 3 năm 2013
==============
Lời giải sơ lược
Thang điểm
Câu 1.1
Cho hàm số . 
 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng có phương trình .
3.0
TXĐ: , 
Hệ số góc của d là Hệ số góc của tiếp tuyến là 
1.0
Gọi là tiếp điểm 
Khi đó 
1.0
Từ đó tìm được phương trình hai tiếp tuyến: ; 
1.0
1.2
Tìm m để đường thẳng có phương trình cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt , biết điểm có hoành độ lần lượt là thỏa mãn: .
2.0
Phương trình hoành độ giao điểm: 
0.5
 cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 
0.5
Gọi là hai nghiệm của (*), ta có: 
Khi đó 
0.5
Kết hợp với hệ thức Viet ta biến đổi (3) trở thành 
. Từ đó tìm được 
Kết hợp điều kiện (**) ta có thỏa mãn yêu cầu bài toán.
0.5
Câu 2.1
1.Giải phương trình: .
2.5
ĐK: 
0.5
 Biến đổi được 
0.5
 (Loại)
0.5
0.5
Kết hợp với điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là 
0.5
2.2
Giải hệ phương trình: 
2.5
ĐK: 
Phương trình 
0.5
Thế vào (2) ta có 
0.5
0.5
Giải (4), xét 
. Lập BBT, từ đó suy ra phương trình (4) có nhiều nhất hai nghiệm. Mà có hai nghiệm 
Vậy hệ phương trình đã cho có ba nghiệm 
1.0
Câu 3
Tính tổng: .
2.0
Xét 
0.5
0.5
0.5
Vậy 
0.5
Câu 4.1
B
∆∆
C
M
A
1.Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm , , . Lập phương trình đường thẳng đi qua sao cho tổng khoảng cách từ và đến đường thẳng lớn nhất
2.0
TH1: cắt đoạn thẳng tại 
0.5
B
C
A
∆
I
TH2: không cắt đoạn thẳng , gọi là trung điểm 
0.5
Vì nên lớn nhất bằng 
khi vuông góc với 
0.5
 đi qua và nhận là véc tơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng 
0.5
4.2
2. Trong không gian tọa độ cho hai mặt cầu 
. Chứng minh rằng hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó. 
2.0
 có tâm , bán kính 
 có tâm , bán kính 
0. 5
 hai mặt cầu cắt nhau
0.5
Khi đó tọa độ giao điểm của hai mặt cầu thỏa mãn hệ phương trình
Do đó hai mặt cầu trên cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn đó là giao tuyến của măt cầu và mặt phẳng : 
0.5
 bán kính đường tròn cần tìm là 
0.5
Câu 5
Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 1. Gọi là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh sao cho mặt phẳng luôn vuông góc với mặt phẳng . Đặt . Chứng minh rằng , từ đó tìm để tam giác có diện tích bé nhất, lớn nhất.
3.0
Kẻ tại ( Vì )S
A
C
B
N
M
O
 là trọng tâm tam giác đều 
( Vì là hình chóp đều )
0. 5
Ta có 
0.5
 nhỏ nhất khi nhỏ nhất ( Vì không đổi)
Ta có 
0.5
Từ giả thiết . Từ 
0.5
Đặt 
Lập bảng biến thiên hàm số ta được
 nhỏ nhất khi , khi đó 
 lớn nhất khi , khi đó hoặc 
1.0
Câu 6
Cho ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
1.0
Ta có 
Đặt 
Ta có 
0. 5
Mà: 
Tương tự suy ra VP(2) 
Ta chứng minh 
Biến đổi được ( Bất đẳng thức này luôn đúng bằng cách sử dụng bất đẳng thức Côsi, với chú ý ) đpcm.
0.5
Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải. Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa.
Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ.
Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm