Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở GD & ĐT Trà Vinh

 1 
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
 TRÀ VINH LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 
 MÔN TOÁN 
 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút 
Ngày thi 16/3/2022 
Thời gian làm bài :150 phút 
Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng 
Ngãi.Điện thoại : 0708127776 
Câu 1. (4,0 điểm)Cho biểu thức
2 3 2 13 2
, , 0, 1, 4
41 2 2
x x x
A B x x x
xx x
x
x
  
      
  
 a.Rút gọn B 
b.Tính A khi (5 2)(5 2) 2x     
c.Tìm x nguyên để P=A.B là số tự nhiên 
Câu 2. (6,0 điểm) 
a.Giải hệ phương trình: 
2 22 3 10
8
x xy y
x x y y
   

  
b.Giải phương trình: 23 26 6 2 5 10x x x    
Câu 2. (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(0;1) và (d) : 4x+3y=12.Tính khoảng 
cách từ M đến (d). 
Câu 4. (2,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
rằng. 2 2 2 2( )ab bc ca a b c ab bc ca        
Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm; AC = 4,5cm. Vẽ đường 
tròn tâm B bán kính BA. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho tam giác BCD vuông 
tại B. Kẻ các tiếp tuyến CN, DM với đường tròn (M, N là tiếp điểm, khác điểm A). 
a) Chứng minh ba điểm M, B, N thẳng hàng. 
b) Tính diện tích tứ giác DMNC. 
c) Gọi H là giao điểm của AB và CN. Tính độ dài HB và HN. 
Câu 6. (2,0 điểm)Cho tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền BC = a. Goi AH là 
đường cao của tam giác (H thuộc BC), D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AC và AB. 
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE. 
GIẢI 
Câu 1. (4,0 điểm)Cho biểu thức
2 3 2 13 2
, , 0, 1, 4
41 2 2
x x x
A B x x x
xx x
x
x
  
      
  
 a.Rút gọn B 
b.Tính A khi (5 2)(5 2) 2x     
c.Tìm x nguyên để P=A.B là số tự nhiên 
GIẢI 
 2 
a) Ta có 
3 2 13 2 6 3 4 4 13 2
42 2 ( 2)( 2)
x x x x x x x x
B
xx x x x
        
   
   
2 3 2 ( 2)(2 1) 2 1
( 2)( 2) ( 2)( 2) 2
x x x x x
x x x x x
    
  
    
b)Ta có (5 2)(5 2) 2 25x      khi đó 
5 2 3
5 1 4
A

 

. 
c) 
2 2 1 2 1 2 2 1 1
. . 2
1 2 1 1 1
x x x x
P A B
x x x x x
    
     
    
. Để P nguyên thì 1x  ước của 
1 
1 1 4( )
ˆ0( n)1 1
x x loai
x nhax
   
      
. 
Câu 2. (6,0 điểm) 
a.Giải hệ phương trình: 
2 22 3 10
8
x xy y
x x y y
   

  
b.Giải phương trình: 23 26 6 2 5 10x x x    
GIẢI 
b)Điều kiện 2 2
5
,3 26 6 2 5 10 2 5 6 2 5 3 12 12 9 0
2
x x x x x x x x

              .Đặt 
2 5 0t x   ta có phương trình đã cho tương đương với 
2 2 26 3( 2) 9 0, ' 3( 2) 0t t x x          .Để phương trình có nghiệm thì ' 0 2x    .Vậy 
x=2 là nghiệm. 
a) Giải hệ phương trình: 
2 22 3 0 (1)
8 (2)
x xy y
x x y y
   

  
. 
Từ (1)=> x2+2xy+y2=4y2  (x+y)2=(2y)2  x+y= 2
3
x y
y
x y

    
.Thay x=y vào (2) ta 
có 2 8y y   .Nếu y0 thì 22 8y   vô lý .Nếu y<0 thì y=-2 (nhận ) hoặc y=2 (loại).Thay 
x=-3y vào (2) ta có 9 8y y y y    .Nếu y<0 thì 28 8y   vô lý .Nếu y0 thì y=1(nhận ) 
hoặc y=-1 (loại).Vậy (-2;-2) và (-3;1). 
Câu 3. (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(0;1) và (d) : 4x+3y=12.Tính khoảng 
cách từ M đến (d). 
GIẢI 
(d): 4x+3y=12  y=
4
3
 x+4.Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ M(0;1) đến d. MH có 
dạng y=ax+b.Do MH vuông góc (d) nên: a.( 
4
3
 ) = -1  a =
3
4
. Do M(0;1) nên: 
3
4
.0+b 
 3 
=1  b= 1.Vậy MH: y = 
3
4
x+1. Tọa độ giao điểm H: 
3
4
x+1 =
4
3
 x+4  x= 
36
25
 =>y= 
52
25
. Do đó 2 2 2 2
36 52 9
( ) ( ) ( ) ( 1)
25 25 5
H M H MMH x x y y        . 
Câu 4. (2,0 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
rằng. 2 2 2 2( )ab bc ca a b c ab bc ca        
GIẢI 
Theo BĐT Cô-si ta có: a2+b22ab; b2+c22bc; c2+a22ca 
=>2(a
2
+b
2
+c
2
)  2(ab +bc +ca) hay a
2
+b
2
+c
2
 ab +bc +ca (1).Theo BĐT trong tam 
giác: 2 2 2 2 2 2 2 2 22 , 2 , 2a b c a b bc c b a c b a ac c c b a c b ba a                  .Hay 
2 2 2 2( )(2)a b c ab bc ca     .Từ (1) và (2) => đpcm. 
Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 3cm; AC = 4,5cm. Vẽ đường 
tròn tâm B bán kính BA. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho tam giác BCD vuông 
tại B. Kẻ các tiếp tuyến CN, DM với đường tròn (M, N là tiếp điểm, khác điểm A). 
a) Chứng minh ba điểm M, B, N thẳng hàng. 
b) Tính diện tích tứ giác DMNC. 
c) Gọi H là giao điểm của AB và CN. Tính độ dài HB và HN. 
GIẢI 
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt 
nhau: 0 01 2 3 4 2 3 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ; 2 2 2( ) 2.90 180B B B B MBN B B B B         . Nên ba điểm M,B,N thẳng 
hàng. 
 4 
b) Do MD // CN ( cùng vuông góc với MN ). Nên CDMN là hình thang vuông 
1 1
( ). ( ).2
2 2
DMNCS DM CN MN AD AC AB    . Mà AB
2
 = AD.AC 
2 9
2
4,5
AB
AD cm
AC
    . Do 
đó SDMNC= (2 + 4,5 ).3 = 19,5cm
2
c) Gọi K là giao điểm của MN và CD. Do DM // CN 
nên:
2
:
6 6,5 4,5
KM KD MD KM KD
hay
KN KC NC KM KD
   
 
4,8 4,8 3 7,8
5,2 5.2 2 7,2
KM KB cm
KD KA cm
    
 
    
. Mà 
ΔHNB = ΔKAB ( g-c-g ) nêm HN=KA= 7,2cm và HB=KB=7,8cm 
Câu 6. (2,0 điểm)Cho tam giác vuông ABC có độ dài cạnh huyền BC = a. Goi AH là 
đường cao của tam giác (H thuộc BC), D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AC và AB. 
Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE. 
GIẢI 
E
D
H
C
B
A
 Do 0ˆˆ ˆ 90E A D   nên ADHE là hình chữ nhật 
2 2 2
.
2 2
ADHE
AD AE AH
S AD AE

   ( BĐT 
Cô-si ) . Dấu “=” xảy ra  AD=AE  ADHE là hình vuông=>AH là đường phân giác 
=>ΔABC vuông cân tại A=>AH là trung tuyến nên 
2
2
2 2 4
BC a a
AH AH    . Vậy 
2
max
8
ADHE
a
S  khi ΔABC vuông cân tại A.