Đề thi chọn học sinh giỏi cấp quận năm học: 2015-2016 huyện Cờ Đỏ môn: Toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN CỜ ĐỎ
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN
NĂM HỌC: 2015-2016
Khóa ngày 21 tháng 01 năm 2016
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức .
Tìm điều kiện của a để A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A.
Tìm các giá trị của a để.
Bài 2. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và . Tìm các giá trị của m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm duy nhất sao cho lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền nhỏ nhất.
Bài 3. (4,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau trên tập số thực:
a) . 
b) .
Bài 4. (5,0 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi K là điểm chính giữa của cung , M là điểm di động trên cung nhỏ (M khác điểm A và K). Trên đoạn BM lấy điểm N sao cho BN = AM.
 	a) Chứng minh và tam giác MKN là tam giác vuông cân.
 	b) Hai đường thẳng AM và OK cắt nhau tại điểm D. Chứng minh MK là đường phân giác của góc .
 	c) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5. (4,0 điểm)
a) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 
b) Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 ------HẾT------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinhSố báo danh
Chữ ký của giám thị 1Chữ ký của giám thị 2.
HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu
Cách giải 
Điểm
1
(4,0 điểm)
. Tìm điều kiện của a để A có nghĩa. Rút gọn biểu thức A.
2,5 điểm
ĐK: 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,5
0,25
b) Tìm các giá trị của a để.
1,5 điểm
0,25
0,5
0,25
.
0,25
 (thỏa điều kiện).
0,25
2
(3,0 điểm)
Bài 2. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng và . Tìm các giá trị của m để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm duy nhất sao cho lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền nhỏ nhất.
3,0 điểm
Vì để d1 và d2 cắt nhau tại một điểm duy nhất nên . 
0,5
Xét phương trình hoành độ giao điểm
0,5
. Vậy 
0,5
Vì lần lượt là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên suy ra và .
0,25
Cạnh huyền của tam giác vuông là 
0,25
Vậy 
0,5
Vậy (thỏa điều kiện).
0,5
3
(4,0 điểm)
a) . (*)
2,0 điểm
ĐK : 
0,25
Khi đó . (*)
0,25
.
0,25
0,25
.
0,25
 Vì nên .
Suy ra vô nghiệm. 
0,5
Vậy (thỏa mãn điều kiện là nghiệm của phương trình).
0,25
b)
2,0 điểm
Điều kiện: 
0,25
Đặt: 
0,25
Khi đó ta có hệ 
0,25
0,25
 Với ta có hệ 
0,25
0,25
 (thỏa điều kiện)
0,5
4
(5,0 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi K là điểm chính giữa của cung AB, M là điểm di động trên cung nhỏ AK (M khác điểm A và K). Trên đoạn BM lấy điểm N sao cho BN = AM.
a) Chứng minh: và tam giác MKN là tam giác vuông cân.
2,25 điểm
0,25
K là điểm chính giữa cung AB .
 Mặt khác: AM = BN (gt)
 (cùng chắn cung )
0,5
Suy ra hai tam giác MAK và BNK bằng nhau.
Suy ra .
0,5
Xét tam giác KMN, ta có:
KM = KN và (vì hai tam giác MAK và BNK bằng nhau)
0,5
Vậy tam giác MKN vuông cân tại K.
0,5
b) Chứng minh MK là đường phân giác của góc .
1,5 điểm
 Ta có: 
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
0,5
0,5
.
Vậy, MK là đường phân giác của góc .
0,5
c) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua một điểm cố định.
1,25 điểm
Gọi E là giao điểm của đường thẳng d và AK. Khi đó
suy ra tứ giác KNBE nội tiếp.
02,5
 (cùng chắn cung ).
Mà , suy ra 
0,5
Suy ra tam giác KBE vuông cân tại K. 
Do B, K cố định nên E cố định.
0,25
Vậy d luôn đi qua một điểm E cố định.
0,25
5
(4,0 điểm)
Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn .
2,0 điểm
Ta có : 
0,25
0,25
0,25
Vì x, y là các số nguyên nên là số nguyên. Khi đó hoặc 
0,5
* (thỏa yêu cầu).
0,25
* (không thỏa yêu cầu).
0,25
Vậy các cặp số nguyên cần tìm là 
0,25
Cho các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2,0 điểm
Ta có: 
0,5
Suy ra 
0,25
Tương tự ; 
0,5
Suy ra 
0,25
Vậy 
0,5
Chú ý: Mọi cách giải đúng khác đều được điểm tối đa.