PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2015 – 2016 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6đ) Cho biÓu thøc P = - + ( víi x≥ 0 ; x≠ 1) a) Rót gän biÓu thøc P b) TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc víi x = + + 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P Câu 2: (4đ) Giải phương trình: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = với x,y,z là các số dương và x2 + y2 + z2 = 1 Câu 3: (3đ) a)Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 2x6 + y2 –2 x3y = 320 b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng: . Câu 4: (6đ) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với ABtạiI. Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J. a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’). b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất. Câu 5: (1đ) Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn: 2xy + x + y = 83 -----------Hết----------- PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐÁP ÁN CHẤM THI HGS TOÁN 9 Năm học: 2015– 2016 Câu ý Nội dung trình bày Điểm 1 (6đ) a. P = - + = = = =..... = = b. §Æt y = + Û y = 7+5 + 7 - 5 + 3( + ). Û y = 14 - 3y Û y +3y -14 = 0 Û (y- 2)( y + 2y + 7) = 0 ( vì y + 2y + 1 + 6 ≥ 6) Û ..Û y = 2 Þ x = 4 Thay x =4 vµo biÓu thøc rót gän cña P ta ®îc P = 4 c. P = = . = +3 + - 6 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ®èi víi 2 sè d¬ng ta cã P = +3 + - 6 ≥ 2 - 6 P ≥ 10 - 6 = 4 VËy Min P = 4 Û +3 = Û x = 4 0,5. 0,5. 0,5 0,5 0,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,25 2 (4đ) a ĐK: hoặc x=0,5 0,5 Biến đổi: Hoặc (2) 1,0 Giải (1) được x=0,5 (thỏa mãn),giải (2) được x=5 (thỏa mãn) 0,5 b A = Nên A2 =( vì x2+y2+z2 =1) = B +2 0,75 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có Tương tự Cộng vế với vế ta được 2B 2 0,75 Do đó A2 = B +2 3 nên A Vậy Min A = x=y=z= 0,5 3 (3đ) a Từ 2x6 + y2 – 2x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320 => (x3)2320 0,5 mà x nguyên nên Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6 Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2 0,75 Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là: (2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) 0,25 b Áp dụng BĐT (với a, b > 0) 0,5 Ta có: Tương tự: 0,5 Cộng vế theo vế, ta có: 0,5 C J A I M D O O’ B 4 (6đ) 1,0 a Xét tứ giác ACMD có : IA = IM (gt), IC = ID (vì ABCD : gt) ACMD là hình thoi 0,5 AC // DM, mà ACCB (do C thuộc đường tròn đường kính AB) 0,5 DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB) D, M, J thẳng hàng. 0,5 Ta có : (vì ) Mà (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến) (do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); và đối đỉnh) 0,5 Þ IJ là tiếp tuyến của (O’), J là tiếp điểm 0,5 b Ta có: IA = IMIO’ = = R (R là bán kính của (O)) O’M = O’B (bán kính (O’) 0,5 JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2 0,5 Mà IJ2 + O’J22IJ.O’J = 4SJIO’ Do đó SJIO’ 0,5 SJIO’ = khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên : 2O’J2 = O’I2 = R2O’J = 0,5 Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 0,5 5 (1đ) Tìm x,y nguyên dương thỏa mãn: 2xy + x +y = 83 0,5 Do x,y nguyên dương Ư(167) Lập bảng tìm được (x,y)=(0;83);(83;0). 0,5
Tài liệu đính kèm: