Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Hoài Nhơn năm học 2015 – 2016 môn: Toán 7

UBND HUYỆN HOÀI NHƠN
Đề chính thức
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015 – 2016 
MÔN: TOÁN 7 
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề gồm 01 trang)
Bài 1: (4,0 điểm)	
	a) So sánh: và . 
	b) Chứng minh: .
c) Cho và . 
Tính .
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm hợp số r.
	b) Tìm số tự nhiên sao cho 
Bài 3: (6,0 điểm)
a) Cho x; y; z 0 và x – y – z = 0. Tính giá trị biểu thức 
b) Cho . Chứng minh rằng: 
c) Cho biểu thức . Tìm x nguyên để M có giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: (3,0 điểm) Cho vẽ tia phân giác Az của góc đó. Từ một điểm B trên tia Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Kẻ BH ^ Ay tại H, CM ^ Ay tại M, BK ^ AC tại K. Chứng minh:
	a) KC = KA 	b) BH = 	c) đều.
Bài 5: (3,0 điểm) Cho ABC có < 900. Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = HC. Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
Ghi chú: Học sinh không được sử dụng các loại máy tính.
	Họ và tên thí sinh:.............................................................SBD:............
	Họ tên và chữ ký giám thị 1:......................................................................
	Họ tên và chữ ký giám thị 2:......................................................................
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG CẤP HUYỆN – TOÁN 7 – NĂM HỌC 2015 – 2016
Câu
Nội dung
Điểm
Bài1: (4,0 điểm)
a)
So sánh: và 
1,0đ
Ta có: => >
0,5đ
Mà 10 = 
Vậy: > . 
0,5đ
b)
Chứng minh: 
1,0đ
Ta có: 
0,5đ
Suy ra: 
Vậy: 
0,5đ
c)
Chovà . Tính 
2,0đ
Ta có: 
0,5đ
1,0đ
= S.
Do đó = 0
0,5đ
Bài 2: (4,0 điểm)
a)
Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư là r là hợp số. Tìm hợp số r.
2,0đ
Vì p chia cho 42 có số dư là r nên: p = 42k + r (0 < r < 42, k, r tự nhiên)
Hay p = 2.3.7k + r.
0,5đ
Vì p là số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3; 7 
=> r là hợp số không chia hết cho 2; 3; 7 và r < 42
1,0đ
Học sinh chỉ ra được r = 25
Vậy hợp số r = 25
0,5đ
b)
Tìm số tự nhiên sao cho 
2,0đ
Ta có: (a + b)3 = là số chính phương nên a + b là số chính phương.
Đặt a + b = x2 (x ) 
0,5đ
Suy ra: = x6 
=> x3 = 8 => 8 2 x = 3; 4 vì x 
1,0đ
- Nếu x = 3 => = 36 = 729 = 272 = (2 + 7)3 => x = 3 (nhận)
- Nếu x = 4 => = 46 = 4096 = 642 (6 + 4)3 = 1000
=> x = 4 (không thỏa mãn)
Vậy số cần tìm là: = 27
0,5đ
Bài 3: (6,0 điểm)
a)
Cho x; y; z 0 và x–y–z = 0. Tính giá trị biểu thức 
2,0đ
Ta có: 	
0,5đ
Từ: x – y – z = 0 => x – z = y; y – x = – z và y + z = x 
1,0đ
Suy ra: B = 
0,5đ
b)
Cho . Chứng minh rằng: 
2,0đ
Ta có: 
0,5đ
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
0,75đ
=> và (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 
0,75đ
c)
Cho biểu thức . Tìm x nguyên để M nhỏ nhất
2,0đ
Ta có: 
0,5đ
M nhỏ nhất ó nhỏ nhất ó x – 2 lớn nhất và x – 2 < 0 
ó x lớn nhất và x < 2 ó x = 1 (vì x nguyên)
1,0đ
Khi đó GTNN của M là: M = khi x = 1
0,5đ
Bài 4: (3,0 điểm)
a)
Chứng minh: KC = KA
1,0đ
Ta có = 300 (Az là tia phân giác của )
Mà: (Ay // BC, so le trong)
Þ cân tại B
0,5đ
Trong tam giác cân ABC có BK là đường cao ứng với cạnh đáy
Þ BK cũng là đường trung tuyến của DABC Þ KC = KA
0,5đ
b)
Chứng minh: BH = 
1,0đ
Ta có: (DABH vuông tại H).
0,25đ
Xét hai tam giác vuông DABH và DBAK, có:
AB: Cạnh chung; 
Þ DABH = DBAK Þ BH = AK 
0,5đ
Mà: AK = 
0,25đ
c)
Chứng minh: đều
1,0đ
Ta có: DAMC vuông tại M có MK là trung tuyến ứng với cạnh huyền 
Þ KM = AC/2 (1)
Mà: AK = KC = AC/2 (2) 
Từ (1) và (2) => KM = KC => DKMC cân tại K (3)
0,5đ
Mặt khác: DAMC có (4)
Từ (3) và (4) Þ DAMC đều 
0,5đ
Bài 5: (3,0 điểm)
Chứng minh rằng đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
3,0đ
Ta có: nên AC > AB => HC > HB
0,25đ
Trên đoạn thẳng HC lấy điểm I sao cho IH = HB => DAHI = DAHB
=> AI = AB và 
0,5đ
Mặt khác: 
Do đó: IA = IC < HC hay AB < HC = AD
0,5đ
Gọi K là giao điểm của DH với AC.
Vì AD = HC, AB = IC nên BD = HI = HB => DDBH cân tại B
Do đó: 
1,0đ
Suy ra: (phụ hai góc bằng nhau)
Suy ra: KA = KH = KC hay K là trung điểm của AC
Vậy đường thẳng DH đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC
0,75đ
Ghi chú: - Mọi cách giải khác nếu đúng, lý luận phù hợp đều ghi điểm tối đa.
	 - Điểm bài thi được làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.