Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi năm học 2015 – 2016 môn: Toán thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI 
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn: TOÁN
Ngày thi: 21 tháng 12 năm 2015
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 1 trang)
Câu 1 (3,0 điểm). 	
 a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 
 b) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố.
Câu 2 (4,0 điểm).
 a) Cho . 
Hãy tính giá trị của biểu thức
 b) Chứng minh rằng: Nếu và thì 
.
Câu 3 (4,0 điểm).
 a) Giải phương trình: 
 b) Giải hệ phương trình: 
Câu 4 (7,0 điểm).
Cho đường tròn (O, R) và dây cung BC cố định (BC < 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
 a) Chứng minh và đồng dạng và
 b) Chứng minh rằng:
 c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5 (2,0điểm). 
Cho a, b ,c là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
-------HẾT-------
Họ và tên thí sinh:, SBD:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN ĐT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN
Đây là lời giải sơ lược, thí sinh có lời giải khác mà đúng thì giám khảo chấm vẫn chấm theo thang điểm dưới đây
Bài
Nội dung
1
a
Giải phương trình nghiệm nguyên: 
(*)
0,5
Ta thấy: lẻ
0,25
Ta lại có: . Do đó 
0,25
Lúc đó: nên 
0,25
Ta thấy các cặp số (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏa mãn (*) nên là nghiệm của phương trình.
0,25
b
Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 
0,25
 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2
0,25
 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)
0,25
Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 > 1 nên
0,25
n2 – 2n + 2 = 1
0,25
 n = 1
0,25
2
a
 Cho . Hãy tính biết: ?
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
 (1)
0,5
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với ta được:
 (2)
0,5
Cộng (1) với (2) theo vế rồi rút gọn ta được: x + y = 0.
0,75
Vậy A = 2016.
0,25
b) Chứng minh rằng: Nếu và thì 
Đặt: . Ta có: 
0,25
 vì (1)
0,5
Mặt khác: 
0,5
Suy ra: (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
0,25
3
a
0,5
do với mọi x
0,5
Đặt (t > 0)
Ta được phương trình: 
0,5
Giải (*) được t = 2 thỏa mãn yêu cầu
Nên 
0,5
b
Dễ thấy , ta có: 
0,5
Đặt ta có hệ: 
0,5
+) Với ta có hệ: .
0,5
+) Với ta có hệ: VN.
KL: Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: và 
0,5
4
4
a
Tam giác ABE vuông tại E nên cosA = 
0,5
Tam giác ACF vuông tại F nên cosA = .
0,5
Suy ra = 
0,5
Từ suy ra 
0,5
b
Tương tự câu a, 
1,0
Từ đó suy ra 
0,5
Suy ra 
0,5
c
c) Chứng minh được
0,5
Có 
0,5
0,5
0,5
0,5
Chu vi tam giác DEF lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất; AD lớn nhất
khi và chỉ khi A là điểm chính giữa cung lớn BC.
0,5
5
0,5
Mà nên
0,5
Với các số dương x, y ta có luôn đúng, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y.
0,25
Áp dụng ta có:
 ≥ 2+2+2 - 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Kết luận :giá trị nhỏ nhất của bằng khi a = b = c
0,5
0,25
Đính chính :Câu 5: P≥