Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9 dự thi tỉnh năm học 2015 - 2016 môn: Toán - (thời gian làm bài 150 phút)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DIỄN CHÂU
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 DỰ THI TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán - (Thời gian làm bài 150 phút)
Bài 1: a) Cho a,b,c,d thỏa mãn: 
 Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho 5
 b) Tìm số biết: 
Bài 2: Giải phương trình và hệ phương trình.
 a) 
 b) 
Bài 3: a) Cho a, b thỏa mãn a + b . Chứng minh: 
 b) Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = 
Bài 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. Một điểm C không trùng với B di chuyển trên đường tròn O sao cho AC > BC. Các tiếp tuyến của đường tròn O tại A và C cắt nhau ở D. Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB ở E. Kẻ AH vuông góc với CD (H ).
 a) Chứng minh: AD.CE = CH.DE
 b) Chứng minh: OD.BC không đổi.
 c) Giả sử đường thẳng đi qua E vuông góc với AB cắt AC và BD lần lượt tại F và G. Gọi I là trung điểm của AE. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác IFG là một điểm cố định. 
Bài 5: Trên đường tròn bán kính bằng 1 đánh dấu 100 điểm. Chứng minh rằng tồn tại một điểm trên đường tròn mà tổng các khoảng cách từ điểm đó đến tất cả 100 điểm đánh dấu lớn hơn 100.
..Hết
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN 9
Câu 
Đáp án
Điểm
Bài 1.a
 (1)
0,5
Xét = 
Ta có : 
Mà a(a - 1)(a - 2)(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5
 TT : , , 
Nên (2)
Từ (1), (2) suy ra a + b + c + d 
0,5
0,5
0,5
b
Vì 2a -12 số chẵn và 2b – 3 là số lẻ a,b là các chữ số suy ra 
Hoặc từ đó suy ra a = 2 , b = 6 
0,5
0,5
0,5
0,5
Bài 2.a
 b
 	ĐK : 
 (TM)
0,5
0,5
0,5
0,5
 ĐK: x , y > 0
 Từ: (1),(2) tacó 
0,5
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra 
KL: x = y = 
1,0
0,5
Bài 3
a, 
Luôn đúng với mọi a + b 0, suy ra điều phải chứng minh
b, Cho và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = 
 ( Vì , )
GTNN của P = 
0,5
1,5
2,0
0,5
0,5
Bài 4
Bài 5
a, AH//OC suy ra (1)
DO là phân giác của tam giác ADE suy ra (2)
Từ (1),(2) ta có: 
1,5
b, đồng dạng (g.g) không đổi
1,5
c, 
1,0
 suy ra đồng dạng (c.g.c)
Suy ra nên trực tâm của tam giác IFG là B cố định
1,0
 	 (2 điểm)
Gọi AB là đường kính của đường tròn (A và B không trùng với các điểm )
Ta có: 
Vậy chứng tỏ một trong hai điểm A hoặc B là điểm cần tìm
Chú ý:Thí sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa.