Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9 - Vòng 3 năm học 2015 – 2016 môn thi: Toán thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG	
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH LỚP 9 - VÒNG 3 
NĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: a. Tìm các số nguyên dương n sao cho biểu thức A= 1! + 2! + 3! + ... + n! có giá trị là một số chính phương? ( n! gọi là n giai thừa và n! = 1.2.3...n)
b. Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn: 
Bài 2: a. Giải phương trình: 
b. Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: 
Bài 3: a. Cho thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
b. Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC; các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE, DF lần lượt tại I, K. Chứng minh rằng:
a. 
b. 
c. 
--------------Hết---------------
Họ và tên thí sinh:..Số báo danh:.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH LỚP 9 VÒNG 3 - MÔN TOÁN – NĂM HỌC 2015 – 2016
Bài
Hướng dẫn
Điểm
1
4,0
a
- Với n < 5: Xét lần lượt các giá trị n = 1; 2; 3; 4 thì n = 1; n = 3 thì A là số chính phương.
- Với n 5: A = 33 + 5! + +n! có tận cùng bằng 3 nên A không phải là số chính phương.
1,0
1,0
b
Từ hệ đã cho ta có 
Mặt khác ta lại có mà do đó hoặc .Từ đó tìm các giá trị tương ứng.
Kết quả a =-3, b=-2, c=2 hoặc a=-3, b=2, c=-2
1,0
0,5
0,5
2
5,0
a
ĐKXĐ: hoặc 
- Với thỏa mãn PT dó đó là một nghiệm của PT
- Với khi đó ta có 
 ( Vô nghiệm )
Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất là 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
 (I)
Từ 
Thực hiện vế trừ vế PT (1) và (2) của hệ (I) ta được (*)
Vì nên từ (*) ta có kết hợp với (I) ta có 1 trong 3 số bằng 1 còn 2 số còn lại bằng 0.
Từ đó suy ra ĐPCM
0,5
1,0
0,5
0,5
0,5
3
5,0
a
Mặt khác: 
Vậy GTLN của bằng 5 xẩy ra khi 
0,5
0,5
1,0
b
Với là các số thực dương, theo BĐT cauchy ta có: 
Từ đó ta có: 
Cần c/m . Biến đổi tương đương ta có đpcm.
Dấu bằng xẩy ra khi 
0,5
0,5
0,5
1,0
0,5
4
6,0
a
Các điểm D,H,E,D cùng thuộc đường tròn đường kính HC (1) 
Các điểm D,F,A,C cùng thuộc đường tròn đường kính AC(2)
Từ (1),(2) ta có DA là tia phân giác của góc EDF.
Vì IK//BC, 
Do đó cân tại D 
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Tương tự câu a ta có EB, FC là các đường phân giác của tam giác DEF
Các điểm B,F,E,C cùng thuộc đường tròn đường kính BC 
Do đó 
0,5
0,5
1,0
c
 (*) Cần c/m (*)
Theo câu b ta có (3)
C/M tương tự ta có các tam giác DHE và DFA, FHE và FDC đồng dạng
Nên ta có 
Cộng vế với vế của (3), (4), (5) ta được 
Mặt khác ta có 
Từ (6),(7) ta suy ra (Đpcm)
0,5
0,5
0,5
0,5
(Thí sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)