Đề tài Tối ưu hóa với các hàm lipschitz địa phương

 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN  
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC 
--------------------------------------- 
BÙI VĂN DŨNG 
TỐI ƯU HÓA VỚI CÁC HÀM LIPSCHITZ 
ĐỊA PHƯƠNG 
 Chuyên ngành: Toán ứng dụng 
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 
Thái Nguyên - 2012 
1 
 MỞ ĐẦU 
Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan 
trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn. Bởi vì các hàm Lipschitz địa phương 
xác định trên các không gian hữu hạn chiều là khả vi hầu khắp nơi nên ta có thể 
xem các bài toán Lipschitz địa phương là lớp trung gian giữa các lớp bài toán với 
các hàm khả vi và không khả vi. 
Năm 1983 cuốn sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” của 
F.H. Clarke  5 ra đời đánh dấu một bước tiến quan trọng của lí thuyết tối ưu 
không trơn F.H. Clarke  5 đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương 
và gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực và jacobian suy 
rộng cho hàm giá trị véc tơ và thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán với 
hàm theo phương và dưới vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi là đạo 
hàm theo phương Michel-Penot và dưới vi phân Michel-Penot. Chú ý rằng một 
hàm khả vi Gâteaux thì dưới vi phân Michel-Penot là đạo hàm Gâteaux, trong khi 
đó nếu hàm khả vi chặt thì đạo hàm chặt mới là gradient suy rộng Clarke. Mới đây 
Đ.V.Lưu  12 đã thiết lập các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối 
ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và 
ràng buộc tập dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Đây là vấn đề đã và đang 
được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế mà em chọn đề tài luận văn: 
“Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz địa phương”. 
Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz 
địa phương đơn và đa mục tiêu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke và dưới vi 
phân Michel-Penot. 
Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu 
tham khảo. 
Chương 1: điều kiện cần dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. 
Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện 
cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của 
2 
F.H.Clarke và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa 
mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D. Craven. 
Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn ngữ dưới vi phân 
Michel-Penot. 
Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của Đ.V.Lưu  12 cho 
bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc 
tập. 
Bài toán tối ưu đa mục tiêu ở đây bao gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc có 
đạo hàm Fréchet (không nhất thiết lớp 1C ). Với một trong sáu điều kiện chính qui 
(CQ1) –(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ 
dưới vi phân Michel-Penot. 
 Ngày 26 tháng 09 năm 2012 
 Bùi Văn Dũng 
3 
Chương 1 
ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI 
NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG 
CLARKE 
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần 
tối ưu cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với các hàm Lípschitz địa 
phương của F.H.Clarke  5 và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài 
toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D.Craven  4 . 
Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu   1 , 2 . 
1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz 
1.1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke và gradient suy rộng Clarke 
Giả sử X là không gian Banach, *X là không gian đối ngẫu tôpô của X và f là 
hàm Lipschitz địa phương tại x X . 
Định nghĩa 1.1.1 
 Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương  v X tại x , kí hiệu là  0 ;f x v 
được xác định như sau: 
  
   0
0
, limsup
x x t
f y tv f x
f x v
t 
 
 , (1.1) 
trong đó , 0.x X t  
Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H. Clarke. 
4 
Định lí 1.1.1 
Giả sử f Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x . Khi đó, 
(i) Hàm  0 ;v f x v hữu hạn ,thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và 
  0 ;f x v K v ; 
(ii)  0 ;f x v nửa liên tục trên theo  , ;x v  0 ;.f x Lipschitz( theo v ) với hằng 
số K trên X ; 
(iii)      
0
0 ; , .f x v f x v  
Chứng minh 
(i) Do f Lipschitz địa phương tại x với hằng số Lipschitz K, cho nên tồn tại lân 
cận U của x sao cho với mọi , ,y z U 
     .f y f z K y z   
Do đó, từ (1.1) ta có 
  0
0
, limsup ,
y x t
K tv
f x v K v
t 
  
bởi vì với t đủ nhỏ , y U thì y tv U  . Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm 
 0 ,.f x . Với 0  , ta có 
  0 ;f x v 
   
0
limsup
y x t
f y t v f y
t

 
 
   
 0
0
limsup ;
y x t
f y t v f y
f x v
t

 
 
 
  
  hàm  
0 ;.f x thuần nhất dương. 
Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính: 
  0 ;f x v  
   
0
limsup
y x t
f y tv t f y
t

 
  
 
5 
       
   0 0
0 0
limsup limsup ; ; ,
y x y xt t
f y tv t f y tv f y tv f y
f x f x v
t t


  
     
   
bởi vì y tv x  khi y x và 0.t  
(ii) Lấy các dãy  ix và  iv hội tụ đến x và v tương ứng. Theo định nghĩa 
limsup, với , , 0i ii y X t     sao cho 
1
,i i iy x t
i
   
  
   0 1, i i i ii i
i
f y t v f y
f x v
i t
 
  
       
.
i i i i i i i i
i i
f y t v f y f y t v f y t v
t t
    
  (1.2) 
Để ý rằng 
   i i i i i
i
i
f y t v f y t v
K v v
t
  
  
với i đủ lớn. Khi đó, từ (1.2) ta có 
    0 0limsup , , .i i
i
f x v f x v


Do đó  0 .;.f nửa liên tục trên. 
Ta chứng minh  0 ;.f x Lipschitz trên X . 
 Với ,u X , ta có 
        f y tv f y f y t f y K v t        
 (với y gần x , t dương gần 0 ) 
6 
       f y tv f y f y t f y
K v
t t


   
    
     0 0; ;f x v f x K v    (1.3) 
Đổi vai trò của v và  ta nhận được 
    
0 0; ;f x f x v K v    . (1.4) 
Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra 
    0 0; ;f x v f x K v    . 
Như vậy là  0 ;.f x Lipschitz với hằng số K trên X . 
(iii) Chứng minh      
00 ; ; .f x v f x v   
  
         0
; ;0 0
; lim sup lim sup
x x u xt t
f x tv f x f u tv f u
f x v
t t  
      
   
 
         0
; ;0 0
; lim sup lim sup
x x u xt t
f x tv f x f u tv f u
f x v
t t  
      
   
(đặt u x tv  ) 
   
0
, .f x v 
 Định nghĩa 1.1.2
Gradien suy rộng của hàm f tại x , kí hiệu là  f x là tập hợp sau đây trong 
*X : 
     * 0: : ; , , .f x X f x u u u X        
Đây là khái niệm gradient suy rộng của F.H. Clarke. 
Nhận xét 1.1.1 
   ;0 ,
c
f x f x   
7 
trong đó  0 ;0
c
f x là dưới vi phân của hàm lồi  ;.of x tại 0. 
 Bây giờ ta lấy *X  . Khi đó, chuẩn của  được xác định bởi công thức 
*
; 1
: sup , .
v X V
v 
 
  
Ký hiệu 
*B là hính cầu đơn vị mở trong 
*.X 
Định lí 1.1.2 
Gỉả sử f là hàm Lipshitz địa phương với hằng số K tại x . Khi đó 
a)  f x   , lồi compact *yếu trong 
*X và 
 *
K 
   ;f x  
b) Với mọi v X , ta có 
     0 ; ax , : .f x v m v f x     
Chứng minh 
a) Theo định lí 1.1.1  0 ;.f x là hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương trên X . 
Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính : X R  sao cho 
 0 ; ,f x v v 
  v X  
    f x f x     
Ta chứng minh  f x lồi: lấy  1 2, ,0 1.f x     Khi đó 
  0 ;f x u  ,i u   ; 1,2u X i   
        0 0 0; ; 1 ;f x u f x u f x u      
  1 2, 1 ,u u          
  1 21 ,u       
      1 21 f x f x       lồi. 
8 
 Bây giờ ta chứng minh  f x compắc *yếu: với 
      **, 0,f x K f x B K     , trong đó 
  * 0,B K là hình cầu đóng tâm tại 0 với bán kính .K 
 Mà hình cầu  * 0,B K là compact *yếu trong 
*X (định lí Alaoglu),  f x là 
đóng *yếu  f x compact*yếu. 
b) Theo định nghĩa 1.1.2 
     0ax , : ; .m v f x f x v     
 Giả sử tồn tại 
0v sao cho 
     
0
0 0ax , : ; .m v f x f x v     
 Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính  thảo mãn 
 ,v   0 ;f x v  v X  , 
0,v    
0
0; .f x v 
    0 0;f x f x v     
0
0 0, ,v f x v  
 Vô lí  ! . 
Ví dụ 1.1.1 
 Xét trường hợp X R ,  f x x . Khi đó, f là hàm Lipschitz trên R với 
hằng số Lipschitz 1K  
Bây giờ, ta lấy 0x  . Khi đó 
  0
; 0
; lim
y x t
y tv y
f x v v
t 
 
 
     : , 1f x R v v R        
Tương tự, với 0v  , ta có 1  . Do đó, 1  . 
 Một cách tương tự, nếu 0x  ,    1 .f x  
9 
Xét trương hợp 0x  
      0 0; 0 : ,f v v f R v v v R        
    0 1,1f   
1.1.2 Các phép tính của gradient suy rộng Clarke 
Định nghĩa 1.1.3 
Ánh xạ đa trị  được gọi là đóng, nếu Gr đóng trong .X Y 
 Định nghĩa 1.1.4 
Ánh xạ đa trị  được gọi là nửa liên tục trên tại x , nếu với 0, 0     
sao cho 
  Xx x B       ,YX X B    
trong đó 
XB và YB là các hình cầu đơn vị mở trong X và .Y 
Định lí 1.1.3  1 
 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương. x Ta có các khẳng định sau đây: 
(i)    0 ; ,f x f x v v     v X  ; 
(ii) Giả sử các dãy     *,i ix X X  thỏa mãn 
  ;i if x   ix hội tụ đến x ,
 là điểm giới hạn của  i 
theo tô pô *yếu. Khi đó, 
  f x  (tức là ánh xạ đa trị  f x đóng *yếu ); 
(iii)    0 ;y x Bf x f y       
(iiii) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại .x