Đề tài Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số trong chứng minh bất đẳng thức

Mục lục Trang
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: 
SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
I. LỜI NÓI ĐẦU
Bất đẳng thức là một vấn đề rất quan trọng và khó đối với học sinh cấp trung học phổ thông. Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải vì không có một phương pháp và đường đi rõ ràng. Có những cách giải từ trên trời rơi xuống. Học sinh không thể hiểu được vì sao người ta lại nghĩ ra được một bài toán như vậy, vì sao lại có một bài giải như vậy. Trong đề tài này tôi xin trình bày phương pháp sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số để chứng minh BĐT nhằm giúp học sinh có cách nhìn rõ ràng hơn cụ thể hơn và các em có thể tự chứng minh được một lớp các bất đẳng thức. Từ đó tạo động lực học tập cho học sinh, giúp học sinh giảm bớt cảm giác sợ hãi những bài toán chứng minh bất đẳng thức và dần dần yêu thích và đam mê việc chứng minh bất đẳng thức.
	Sử dụng phương pháp tiếp tuyến để chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức thuần nhất hoặc cùng bậc cùng với phép chuẩn hoá thích hợp để cô lập được các biến. Phương pháp này sẽ giúp học sinh xoá tan tâm lí “ sợ ” gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức hơn nữa nó còn giúp các em học sinh nhìn thấy được bản chất của sự việc, hiện tượng, thấy được sự sáng tạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hết sức cơ bản, từ những hình ảnh hết sức trực quan. 
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý thuyết
Giả sử f(x) khả vi cấp hai liên tục trên miền , 
Theo công thức Lagrange ta có:
 với 
Nếu . Giả sử 
sao cho 
suy ra 
Ta có phương trình chính là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 
2. Minh họa bằng đồ thị: 
Giả sử f(x) là hàm lồi trên , 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
3. Phương pháp chứng minh
Nếu gặp các BĐT thuần nhất hoặc đồng bậc ta nên chuẩn hóa, tùy vào đặc điểm từng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợp để đưa bất đẳng thức về dạng các biến được cô lập dạng hoặc . Sau đó thực hiện theo các bước sau :
Xét xem dấu “=” xảy ra khi nào và điều mong ước là 
Dựa vào hình thức của BĐT, xét hàm số , viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ , giả sử phương trình tiếp tuyến là . 
Viết , trong đó , , kiểm nghiệm hoặc .
Từ đó đưa ra lời giải : ta có hoặc 
,
Cộng bất đẳng thức theo vế ta được điều phải chứng minh
Chú ý: Ta có thể chứng minh là hàm số lồi trên D. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là . 
Khi đó ta có
Tương tự nếu là hàm số lõm trên D. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là . 
Khi đó ta có
4. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho :.CMR: 
Gải:
Nhận xét: Dấu “=” của BĐT xảy ra khi 
Bất đẳng thức có dạng 
Ta xét hàm . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) tại điểm có hoành độ x=2 là .
Ta có 
Ta có 
Cộng ba BĐT lại với nhau ta được : 
 (đpcm)
Câu 2: (Hồng Kông, 2005) Cho các số dương a, b, c, d thỏa mãn
Chứng minh rằng: 
Giải:
Từ giả thiết ta có và bất đẳng thức tương đương với
BĐT có dạng: trong đó 
Nhận xét dấu “=” xảy ra khi 
Xét hàm số trên . Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có phương trình là: 
Mặt khác 
Từ đó suy ra 
Câu 3: Cho các số thực dương a, b, c và 
CMR: 
Giải:
Nhận xét: dấu “=” xảy ra khi 
Ta có 
BĐT có dạng trong đó , 
Xét hàm trên . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là . Ta có 
Suy ra 
Do đó (đpcm)
Câu 4: Cho các số thực thỏa .
CMR: 
Giải: 
Ta có 
Ta có 
, , 
Ta có: 
Nhận xét dấu bằng xảy ra khi 
BĐT có dạng trong đó , 
Xét hàm số trên 
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 
tại điểm là: 
Ta có 
Do đó ta có (đpcm)
Câu 5: ( Bất đẳng thức Nesbit) Chứng minh với mọi a,b,c dương ta có
Giải:
Nhận xét: Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến
Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên có thể đặt và dự đoán đẳng thức xảy khi ra khi đó BĐT cần chứng minh trở thành
Khi đó bất đẳng thức đã có dạng 
Ta xét hàm số 
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là 
Ta có: 
Như vậy ta có: 
Cộng lại theo vế ta có: (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Câu 6: Cho a, b, c > 0. 
CMR 
Giải:
Nhận xét: Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến. 
Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên ta có thể chuẩn hóa đặt a + b + c = 3 và dự đoán đẳng thức xảy khi a = b = c = 1 
Ta có 
BĐT đã cho trở thành
Bất đẳng thức đã có dạng 
Xét hàm số với x Î (0; 3)
Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là: 
Xét 
Từ đó ta có: 
Vậy
 (đpcm)
Câu 7: (Đề thi vô địch Ba lan 1996) Cho và 
Chứng minh rằng 
Giải
Nhận xét: Bất đẳng thức đã cho có dạng 
Dấu bằng xảy ra khi 
Xét hàm số 	với ta có 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ là 
Ta có: 
Do đó với a,b,c thuộc và a+b+c = 1 ta có :
 (đpcm)
Câu 8: Cho CMR: 
Giải: 
Nhận xét: Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến. Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên ta có thể chuẩn hóa đặt a + b + c = 1 
Dự đoán đẳng thức xảy khi 
Bất đẳng thức đã cho có dạng 
BĐT được viết lại thành 
Dấu “=” xảy ra khi 
Xét hàm số . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 
Ta có 
Vậy ta có: 
.
Cộng ba BĐT theo vế ta được :
 (đpcm)
Câu 9: Cho là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng
Giải:
Nhận xét: vì BĐT là thần nhất nên không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Vì là độ dài của 3 cạnh tam giác, khi đó suy ra 
Khi đó BĐT có thể được viết lại : 
Dấu “=”xảy ra khi 
BĐT có dạng 
Dẫn đến việc xét hàm , tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là .
Ta có: 
Do đó ta có (đpcm)
Câu 10: Cho . 
CMR: 
Giải
Nhận xét: vì BĐT là cùng bậc nên ta có thể chuẩn hóa bằng cách giả sử .
Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành 
với 
trong đó . 
Dấu “=” của BĐT xảy ra khi 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là : 
Ta xét 
Ta có :
Cộng ba BĐT theo vế ta được: 
 (đpcm)
Câu 11: (Rumania, 2015) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 
Chứng minh rằng: (*)
Giải 
Theo giả thiết 
Từ đó nếu có một trong 3 số, giả sử Nên (*) đúng
Ta xét trường hợp Vì Nên 
Vậy 
Bất đẳng thức có dạng 
Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
Trong đó Trên . Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm x=1 là 
Ta có 
Vậy ta có: (đpcm)
Câu 12: (Moldova, 2015). Cho các số dương a, b, c thỏa mãn 
Chứng minh rằng: 
Giải:
Ta có Nên 
Do đó 
Đặt . ta có x, y, z>0
Từ đó suy ra 
Ta sẽ chứng minh: 
BĐT có dạng 
Xét hàm số 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị y=f(t) tại t=4 là 
Ta có 
Từ đó ta có (đpcm)
Câu 13: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng
Giải
Chuẩn hóa: không mất tính tổng quát giả sử => 0<a,b,c<1
BĐT trở thành 
Dấu “=” xẩy ra khi 
BĐT có dạng 
Trong đó 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ là
Ta có 
Từ đó ta có (đpcm)
Câu 14: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng
Giải
Chuẩn hóa: không mất tính tổng quát giả sử => 0<a,b,c<1
BĐT trở thành 
Dấu “=” xẩy ra khi 
BĐT có dạng 
Trong đó 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm có hoành độ là
Ta có 
Từ đó ta có (đpcm)
Câu 15: Cho các số thực thỏa .
CMR: 
Bài giải
Ta có 
Ta có: 
Tương tự ta có: ; 
Ta sẽ chứng minh 
Nhận xét dấu bằng xảy ra khi 
BĐT có dạng trong đó , 
Xét hàm số trên 
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm là: 
Ta có 
Do đó ta có (đpcm)
Câu 16: (BĐT Cô - si). Cho a1, a2, , an là các số không âm. Chứng minh rằng
Chứng minh. 
Nếu có một số ai = 0 (i = 1, 2, , n) thì bđt là hiển nhiên. Bây giờ ta xét trường hợp ai > 0, "i Î {1, 2, , n}. Chia hai vế cho ta được
Đặt thì xi > 0 thoả mãn và BĐT trở thành Lấy ln hai vế của BĐT ta được
 BĐT 
BĐT có dạng 
Dấu bằng xảy ra khi 
Xét hàm số . Ta có suy ra đồ thị hàm số lõm trên khoảng .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình là suy ra (1)
Áp dụng bđt (1) cho x1, x2, , xn và cộng vế lại ta được
 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi hay .
Câu 17 (BĐT Jenxen) Cho hàm số có đạo hàm cấp 2 trên khoảng .
Nếu thì và 
thoả mãn 
ta có (1)
Chứng minh. 
Đặt thì . Tiếp tuyến của đths tại điểm có phương trình là .
Do nên đồ thị hàm số lồi trên khoảng . Bởi vậy
tại điểm tiếp tuyến nằm dưới đồ thị. Từ đó suy ra
Thay ta được . Nhân hai vế với ta được
. Cộng vế n BĐT ta được
Bởi và nên ta được đó là đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Trường hợp đặc biệt: Nếu thì BĐT (1) trở thành
Câu 18 (BĐT Bécnuli). Cho và số thực . Chứng minh rằng
a) 
b) 
Chứng minh. Xét hàm số .
Ta có 
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm (0 ; 1) có pt là .
Nếu thì , do đó đths lồi trên khoảng 
Suy ra .
Nếu thì , do đó đths lõm trên khoảng 
Suy ra .
Đẳng thức xảy ra khi hoặc hoặc 
Câu 19: Cho các số dương x, y và z thoả mãn x + y + z £ 1. Chứng minh rằng
Giải. Xét hàm số . 
Vì rằng đẳng thức xảy ra khi nên chúng ta xét đồ thị của hàm số và tiếp tuyến của nó tại điểm . Ta có . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là .
 suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng .
Do đó tại điểm tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị, bởi vậy ta có
. Tương tự đối với và cộng lại ta được
(do ). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Câu 20 (India, 1995) Cho là số dương có tổng bằng 1.
 Chứng minh rằng
Giải. Xét hàm số . 
Vì rằng đẳng thức xảy ra khi nên chúng ta xét đồ thị của hàm số và tiếp tuyến của nó tại điểm . 
Ta có .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình là
 suy ra đồ thị hàm số lồi trên khoảng và do đó tiếp tuyến của nó tại điểm nằm phía dưới đồ thị. Bởi vậy ta có . Áp dụng bất đẳng thức này cho và cộng vế lại ta được
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Câu 21. Chứng minh rằng, trong tam giác ABC, ta có: 
Chứng minh. Xét hàm số . Bất đẳng thức xảy ra dấu bằng khi nên ta xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm . Ta có
 nên tiếp tuyến có phương trình là .
 nên đồ thị hàm số lõm trên khoảng . Do vậy tại điểm tiếp tuyến nằm phía trên đồ thị, từ đó ta có 
. Áp dụng bất đẳng thức này cho và cộng vế lại ta được
III. KẾT LUẬN
	Phương pháp tiếp tuyến là một phương pháp chứng minh bất đẳng thức rất rõ ràng, hiệu quả, dễ áp dụng đối với học sinh phổ thông. Giúp học sinh không còn cảm giác “sợ” khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức. Qua phương pháp này giúp học sinh thấy được chỉ từ một kiến thức rất đơn giản, chỉ từ một hình ảnh rất trực quan về tiếp tuyến của một đường cong có thể phát hiện được tính chất và từ đó tạo ra hướng sáng tạo được những bài toán đẹp và phương pháp giải toán hiệu quả. Mặc dù không phải bất cứ bài toán chứng minh bất đẳng thức nào cũng có thể giải bằng phương pháp này nhưng nó đã giúp học sinh có một phương pháp rõ ràng, dễ thực hiện đối với một lớp các bài toán chứng minh bất đẳng thức khó và quan trọng hơn cả nó đã giúp các em thấy được xuất xứ của bài toán chứng minh bất đẳng thức và các em cũng có thể tự sáng tác bài toán chứng minh bất đẳng thức tạo sự hứng thú học tập và sáng tạo cho các em. Từ đó tạo một niềm tin trong học tập cho các em, tạo một thái độ học tập tích cực.
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Tập bài giảng bất đẳng thức và ứng dụng của TS. Nguyễn Đức Huy
2. Sáng tạo bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, NXB Hà Nội
3. DISCRETE INEQUALITIES, Vasile Cîrtoaje
4. Tham khảo nguồn tài liệu trên mạng internet
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này là do bản thân tôi viết và tôi xin chịu trách nhiệm về sáng kiến kinh nghiệm của mình.
 Kim Động, ngày 5/4/2016 
 Người viết
	 Vũ Anh Đức
XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THPT KIM ĐỘNG
Tổng điểm: .Xếp loại:.
 TM HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
 CHỦ TỊCH – HIỆU TRƯỞNG
 (Ký, ghi rõ họ tên)