Đề tài Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong giải bài toán tính khoảng cách

SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 1 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ĐỀ TÀI: 
 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT 
TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH 
 Tác giả: ths. Trần Duy Điệp 
 Trường THPT Trần Phú_ Đức Thọ -Hà Tĩnh 
 NĂM HỌC 2014-2015 
I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 Bài toán tính khoảng cách là một bài toán rất quan trọng trong chương trình 
toán học phổ thông, đặc biệt là mấy năm gần đây thường xuyên xuất hiện trong 
các đề thi đại học và cao đẳng. Đây là một bài toán tương đối khó đối với tất cả 
các học sinh, vì nó sử dụng kiển thức tổng hợp của bài toán giải tam giác và các 
tính chất của hình học không gian. Để giải bài toán này chúng ta thường sử dụng 
các phương pháp như: Phương pháp tính trực tiếp, phương pháp sử dụng công 
thức thể tích, phương pháp tọa độ,... tuy nhiên mỗi người sử dụng các phương 
pháp đó dưới mỗi góc độ và cách nhìn khác nhau. Trong các phương pháp nêu 
trên thì phương pháp tính trực tiếp là phương pháp cơ bản, sử dụng được cho cả 
học sinh lớp 11 và học sinh ôn thi đại học, cao đẳng. Và để tính trực tiếp khoảng 
cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng ta thường phải xác định được hình 
chiếu của điểm đó lên mặt phẳng rồi tính đoạn thẳng nối từ điểm đó đến hình 
chiếu của nó. Tuy nhiên việc xác định và tính này không phải lúc nào cũng đơn 
giản, nên khi gặp bài toán khó học sinh rất khó định hướng cho việc tìm lời giải. 
 Để giải quyết cho những vấn khó khăn đề trên, dựa trên kinh nghiệm dạy 
học và ôn thi nhiều năm của minh, tác giả đã đưa ra một cách định hướng tương 
đối hiệu quả và dễ hiễu, dễ sử dụng cho học sinh đó là. “PHƯƠNG PHÁP SỬ 
DỤNG ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRONG GIẢI BÀI TOÁN TÍNH KHOẢNG CÁCH” 
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 2 
và đây cũng là nội dung của đề tài. Nội dung của bài viết này là giúp học sinh 
phát hiện, xác định điểm nào là điểm đặc biệt của bài toán và kỉ năng quy 
khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách đối với điểm đặc biệt. 
II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 
A. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP 
Để đơn giản cho việc hiểu và vận dụng phương pháp, trước tiên bài viết xin 
đưa ra khái niệm điểm đặc biệt đồng thời nêu ra một số điểm đặc biệt thường 
gặp và đưa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để quy khoảng cách cần 
tìm về tính khoảng cách đối với điểm đặc biệt. 
1. Điểm đặc biệt trong phương pháp 
a. Khái niệm điểm đặc biệt: 
Điểm đặc biệt của mặt phẳng (P) (gọi tắt là điểm đặc biệt) là điểm mà dễ 
dàng tính được khoảng cách từ nó đến mặt phẳng (P) bằng cách xác định hình 
chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (P) để tính. 
b. Một số điểm đặc biệt thường gặp: 
 - Điểm nằm trên mặt phẳng vuông góc. 
Nếu (Q) và (P) vuông góc 
với nhau thì mọi điểm A thuộc (Q) mà 
không nằm trên (P) đều là điểm đặc biệt 
của (P). 
Cách xác định khoảng cách từ điểm A đến mặt (P): 
Gọi H là hình chiếu của A lên giao tuyến của (Q) và (P) ta có AHQAd ))(,( . 
- Điểm hình chiếu (hình chiếu của một điểm thuộc mặt phẳng (P) lên một mặt 
phẳng nào đó không song song với (P)). 
Nếu (P) cắt (Q) và H là hình chiếu 
của M ( )(PM  ) lên (Q) thì H là 
điểm đặc biệt của (P). 
P
Q
A
H
Q
P
M
H I
K
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 3 
Cách xác định khoảng cách từ H đến (P): 
 Gọi I là hình chiếu củ H lên giao tuyến 
của (P) và (Q) và K là hình chiếu của H 
lên MI. Ta có HKPHdPHK  ))(,()( 
(lưu ý: đây là điểm thường gặp trong các bài toán và đề thi) 
*Trường hợp thường gặp trong các bài toán cụ thể. 
 Cho hình chóp S.ABC. Gọi H là hình chiếu 
của S lên mặt phẳng (ABC). Khi đó H là điểm 
đặc biệt của măt phẳng (SBC). 
Cách xác định khoảng cách từ H đến măt phẳng (SBC): 
 Gọi I là hình chiếu củ H lên BC và K là hình chiếu 
 của H lên SI. Ta có HKSBCHdSBCHK  ))(,()( 
2. Một số tính chất cần lưu ý 
Tính chất 1. 
Nếu A, B, O thẳng hàng, O thuộc mặt phẳng (Q) và kBOAO thì ta có 
))(,(.))(,( QBdkQAd  . 
Q
A
O
A' B'
B
Q
O
A
B
A'
B'
Tính chất 2. 
Nếu AB//(Q) thì ))(,())(,( QBdQAd  
Tính chất 3. 
Nếu 





)//('
)(
P
P
 thì ))(,()',( PMdd  
với M là một điểm tùy ý thuộc ' . 
A C
B
S
H
I
K
Q
A
B
A' B'
P
M
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 4 
Tính chất 4. 
Nếu 







)//()'(
)'('
)(
PP
P
P
 thì ))(,()',( PMdd  
 với M là một điểm tùy ý thuộc )'(P . 
B. VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP 
1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P). 
 Chúng ta thực hiện các bước suy luận như sau: 
- Tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng (P). 
- Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) về tính 
khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng (P). (nhờ tính chất 1, 2). 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA 
vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SB tạo với đáy một góc bằng 600. Tính 
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a. 
Phân tích: 
 Trong trường hợp này điểm A chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBC). 
Nên ta thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (SBC) như 
trình bày trong phần A và tính. Cụ thể ta có lời giải sau: 
Lời giải 
 Gọi I là trung điểm BC, K là hình chiếu của A 
lên SI, ta có SIBC  , SABC  nên )(SAIBC  , 
AKBC  , do đó )(SBCAK  
 suy ra AKSBCAd ))(,( . 
Mặt khác do SA vuông góc với đáy 
nên 060SAB   0. tan 60 3SA AB a  
 và 
3
2
a
AI  
Suy ra ))(,( SBCAd
5
15.
22
a
AISA
AISA
AK 

 . 
I
S
A C
B
K
P'
P
M
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 5 
Ví dụ 2: ( Đề thi đại học 2014, khối A). 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 
2
3a
SD  , hình 
chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo 
a khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD). 
Phân tích: 
 Trường hợp này điểm A không là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SBD) nên sẽ 
gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu của điểm A lên (SBD). Nếu gọi H hình 
chiếu của S lên (ABCD), thì điểm H mới chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng 
(SBD). Nên ta cố gắng tìm cách quy việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng 
(SBD) về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt H đến mặt phẳng (SBD) (nhờ tính 
chất 1, 2). Cụ thể ta có lời giải sau: 
Lời giải: 
Gọi H là trung điểm của AB, khi đó điểm 
H là hình chiếu của S lên (ABCD). 
Do H là trung điểm AB 
 nên )).(,(2))(,( SBDHdSBDAd  
Gọi I là hình chiếu của điểm H lên BD, K là 
hình chiếu của H lên SI, ta có SIBD  , 
SHBD  nên HKBDSHIBD  )( , 
do đó )(SBDHK  . suy ra 
HKSBDHd ))(,( . 
Mặt khác, do 22 HDSDSHHDSH  
   aADHASD  222 
 và 
2
.sin
4
a
HI HB HBD  . 
Suy ra 
3
.
22
a
HISH
HISH
HK 

 . 
 Vậy .
3
2
2))(,(2))(,(
a
HKSBDHdSBDAd  
Các ví dụ 3, 4, 5 tiếp theo sẽ làm tăng dần tính phức tạp của việc quy khoảng 
cách của điểm cần tìm về điểm đặc biệt, nhằm rèn luyện kỉ năng nay. 
Ví dụ 3: ( Đề thi đại học 2011, khối D). 
H
B C
DA
S
I
K
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 6 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a; 
mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB= 32a và 030SBC  . 
Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC). 
Phân tích: 
 Trường hợp này điểm B cũng không là điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC), nên 
đầu tiên ta cần làm là tìm một điểm đặc biệt của mặt phẳng (SAC).(việc tìm hình 
chiếu của một điểm nào đó thuộc mặt phăng (SAC) lên một mặt phẳng khác ta 
thường chọn hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy). 
 Giả sử điểm H hình chiếu của S lên đáy thì H là một điểm đặc biệt của mặt 
phẳng (SAC). Nên bước tiếp theo là ta cố gắng tìm cách quy việc tính khoảng 
cách từ B về tính khoảng cách từ điểm đặc biệt H (nhờ tính chất 1, 2). Cụ thể ta 
có lời giải sau: 
Lời giải: 
 Gọi H là hình chiếu của S lên BC, do 
)()()( ABCSHABCSBC  . 
Ta có aBSBH 330cos. 0  và HC=a 
 HCBC 4 nên )).(,(4))(,( SACHdSACBd  
Gọi I là hình chiếu của H lên AC, K là hình 
chiếu của điểm H lên SI, khi đó 
SIBD  , SHBD  nên )(SHIBD  , 
 HKBD  do đó )(SACHK  
 suy ra HKSACHd ))(,( . 
 Mặt khác sử dụng tính chất đồng dạng của 
hai tam giác HIC và ABC ta có 
5
3).(.
22
a
BCAB
BHBCAB
AC
HCAB
HI
AC
HC
AB
HI



 , 330sin. 0 aSBHS  
Suy ra 
14
73.
22
a
HISH
HISH
HK 

 . Vậy .
7
76
4))(,(4))(,(
a
HKSACHdSACBd  
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, 
BC=2a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam 
giác ABC, góc giữa đường thẳng C’C và mặt đáy bẳng 600. Tính theo a khoảng 
cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (AA’C’C). 
Lời giải: 
 Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC 
khi đó )(' ABCHA  . Ta có 
B
C
A
S
H
I
K
M
H
B C
A
C'
B'
A'
I
K
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 7 
))''(,())''(,'( CCAABdCCAABd  = 
 )).''(,(3 CCAAHd 
 Gọi I là hình chiếu của H lên AC, K là hình 
chiếu của H lên A’I, khi đó 
HIAC  , HAAC ' nên )'( HIAAC  , 
HKAC , do đó )''( CCAAHK  , 
suy ra HKCCAAHd ))''(,( . 
Mặt khác HI//AB 
33
1 a
ABHI  . 
Gọi M là trung điểm BC, ta có 
3
2
2
1
.
3
2
3
2 a
BCAMHA  
Do CC’//AA’ và )(' ABCHA  0' 60A AH 
3
32
60tan.' 0
a
AHHA  . 
Suy ra 
39
392.
22
a
HISH
HISH
HK 

 . 
Vậy, .
13
392
3))''(,'(
a
HKCCAABd  
Nhận xét: 
 Ở ví dụ này chúng ta đã thực hiện liên tiếp các bước quy từ việc tính khoảng 
cách từ điểm B’ về điểm B, rồi tiếp là về điểm đặc biệt H. 
Ví dụ 5: ( Đề thi đại học 2007, khối D). 
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, 090ABC BAD  , aBCBA  , 
aAD 2 . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và 2aSA  . Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của A lên SB. Tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD). 
Lời giải: 
Ta có .
3
2.
22
2
2



ABSA
SA
SB
SBSH
SB
SH
   )(,
3
2
)(,
3
2
SCDBdSCDHdSBSH  
Gọi E là giao của hai đường thẳng 
AB và CD, ta có B là trung điểm AE, 
suy ra    )(,
2
1
)(, SCDAdSCDBd  . 
   )(,
3
1
)(, SCDAdSCDHd  
Gọi M là trung điểm AD. 
Ta có MA=MD=MC CDAC  . 
Gọi K là hình chiếu của A lên SC, 
E
M
A
B C
D
S
H
K
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 8 
ta có ACCD , SACD 
 )(SACCD  AKCD 
do đó )((SCDAK  , suy ra AKSBCAd ))(,( . 
Mặt khác do 222 aBCABAC  aACSASCAK  22
2
1
2
1
. 
Vậy .
33
))(,(
aHK
SCDBd  
Nhận xét: 
 Ở ví dụ này chúng ta cũng đã thực hiện liên tiếp các bước quy từ việc tính 
khoảng cách từ điểm H về điểm B, rồi tiếp đến là về điểm đặc biệt A, nhưng ở 
mức độ khó hơn. 
 Ví dụ 6: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, BC=2a 
cạnh bên AA’= a2 , biết A’ cách đều các đỉnh A, B , C. Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm AA’ và AC. Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (MNB). 
Phân tích: 
 Nếu gọi H là trung điểm BC khi đó H là hình chiếu của A’ lên mặt phẳng 
(ABC). Tuy nhiên đây chưa phải là điểm đặc biệt của mặt phẳng (MNB) 
vì )(' MNBA . Hình chiếu của M lên mặt phẳng (ABC) mới là điểm đặc biệt của 
mặt phẳng (MNB). Ở đây đề cập đến điểm M vì cách xác định hình chiếu của M 
lên mặt phẳng (ABC) có thể dựa vào điểm A’ đã biết hình chiếu. 
Lời giải: 
 Gọi H là trung điểm của BC, 
ta có HA=HB=HC )(' ABCHA  . 
Từ M kẻ ME AH)(E song song với A’H 
(ABC)ME  
Gọi F là giao của AC’ và MN 
 ta có C’F=3AF 
 ))(,(3))(,'( MNBAdMNBCd  . 
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có 
AGAGAGAHAGAEAGEG
4
1
4
3
2
1
 
EGAG 4 ))(,(4))(,( MNBEdMNBAd  
))(,(12))(,'( MNBEdMNBCd  . 
Gọi I là hình chiếu của E lên BN, K là 
hình chiếu của E lên MI, khi đó 
EIBN  , MEBN   EKBNMEIBN  )( , do đó )(MNBEK  
F
G
N
E
M
H
A C
B
B'
A'
C'
I
K
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 9 
 suy ra EKMNBEd ))(,( . 
Mặt khác sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác EIG và BHG ta có 
102
4
1
.
.
22
a
HGBH
AGBH
BG
EGBH
EI
BG
EG
BH
EI








 , .
2
'
2
1
'
2
1 22 aAHAAHAME  
Suy ra 
22
11.
22
a
EIME
EIME
EK 

 . Vậy .
11
116
12))(,'(
a
EKMNBCd  
 Ví dụ 7 tiếp theo sẽ minh họa cho điểm đặc biệt nằm trên mặt phẳng vuông 
góc. 
Ví dụ 7: ( Đề thi đại học 2011, khối B). 
 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chử nhật, AB = a, 
AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với 
giao điểm của AC và BD. Tính theo a khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng 
(A’BD). 
Phân tích: 
 Do mặt phẳng   )'( BDAABCD  nên mọi điểm nằm trong mặt phẳng đáy đều là 
điểm đặc biệt của mặt phẳng (A’BD). Nên ta sẽ cố gắng quy việc tính khoảng 
cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) về một điểm nào đó trong mặt phẳng 
(ABCD) . 
Lời giải: 
 Do )'//(''//' BDACBDACB  . 
))'(,())'(,'( BDACdBDABd  
Gọi O là giao điểm của AC và BD 
)(' ABCDOA  . 
Gọi E là hình chiếu vuông góc của C 
lên BD )'( BDACE  , suy ra 
2
3.
))'(,(
22
a
CBCD
CBCD
CEBDACd 

 . 
Vậy 
2
3
))(,'(
a
CEABDBd  . 
2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
 Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và ' . 
 Chúng ta sẽ thực hiện các bước suy luận như sau: 
O
A
D
C
A' D'
C'
B
B'
E
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 10 
- Tìm cách quy việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 
nhau về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
(nhờ tính chất 3, 4). 
- Bước tiếp theo là tiếp tục công việc của bài toán tính khoảng cách 
từ một điểm đến một mặt phẳng như phần 1 trình bày trên. 
Ví dụ 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AB=a, 
AC=2a cạnh bên AA’=a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và 
B’C’. 
Phân tích: 
 Đây là bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và hai đường 
thẳng này cũng không vuông góc với nhau nên ta cần quy về bài toán tính 
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nhờ tính chất 3 hoặc 4. Dễ nhận 
thấy mp(A’BC)//C’B’ Do đó ))'(,''()',''( BCABCdBABCd  . 
Mặt khác A là điểm đặc biệt của mp(A’BC) nên ta cần chọn một điểm trên 
C’B’ sao cho có thể quy việc tính khoảng cách từ điểm đó đến mp(A’BC) về tính 
khoảng cách từ điểm A đến mp(A’BC) một cách dễ dàng. Cụ thể ta có lời giải 
sau: 
Lời giải: 
 Do B’C’//BC )'//( BCABC 
   )'(,''','' BCACBdBACBd  
   )'(,)'(,' BCAAdBCABd  
Gọi I là hình chiếu của A lên BC, 
K là hình chiếu của A lên A’I, khi đó 
AIBC  , AABC '  )'( AIABC  , 
AKBC  do đó )'( BCAAK  
 suy ra AKBCAAd ))'(,( . 
Mặt khác, ta có 
5
2.
22
a
ACAB
ACAB
AI 

 
Suy ra 
3
2
'
'.
22
a
AAAI
AAAI
AK 

 . 
Vậy 
3
2
)',''(
a
AKBACBd  . 
Ví dụ 9. (Đề thi đại học 2012, khối A). 
 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc 
của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc 
C B
A
C' B'
A'
I
K
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 11 
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính theo a khoảng cách 
giữa hai đường thẳng SA và BC. 
Phân tích: 
 Trường hợp này ta cũng chọn một mặt phẳng (P) chứa SA và song song với 
BC để quy bài toán về tính khoảng cách từ mộ điểm đường thẳng BC đến (P) vì 
mặt phẳng (P) nay sẽ có điểm đặc biệt H. Theo giả thiết HA=2HB nên ta có thể 
chọn B thuộc đường thẳng BC để đễ dàng quy về điểm H. Từ đó ta có lời giải 
sau: 
Lời giải: 
 Gọi  là đường thẳng qua A và song song 
với BC, ta có BC//(AS, ) 
     ),(,),(,,  ASBdASBCdASBCd 
Theo giả thiết HA=2HB HABA
2
3
 
      ,,
2
3
,, ASHdASBd 
Gọi I là hình chiếu của H lên  , K là hình 
chiếu của H lên SI, khi đó HI , SH 
nên HKSHI  )( , do đó ),(  SAHK 
suy ra HKSAHd )),(,( . 
Mặt khác, 
3
7
60cos..2 022
a
AHACAHACHC  
do 0( ) 60SH ABC SCH  
3
21
60tan. 0
a
HCSH  
0 3.sin( ) .sin 60
3
a
HI HA HAI HA   . Suy ra 
12
42
'
.
22
a
HSHI
HSHI
HK 

 . 
Vậy 
8
42
2
3
),(
a
AKSABCd  . 
Ví dụ 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình chử nhật, 
AB=2a, BC=a. Các cạnh bên của hình chóp bằng 2a . Gọi M, N, P lần lượt là 
trung điểm của các cạnh SB, CD và AD. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường 
thẳng MN và SP. 
Lời giải: 
 Gọi H là giao của AC và BD, 
do SA SB SC SD   nên H là hình chiếu 
của S lên (ABCD). 
C
B
S
A
H
I
K
I
P
E N
M
H
A D
CB
S
K
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 12 
 Gọi E là trung điểm của AB, Ta có 
// , // ( ) //( )NE AD EM AS MNE SAD 
     , ( ),( ) ,( )d MN AP d MNE SAD d H SAD  
Gọi I là trung điểm cảu DA, K là hình chiếu 
của H lên SI, khi đó HIAD  , SHAD 
  HKADSHIAD  )( , 
 do đó )(SADHK  suy ra HKSADHd ))(,( . 
Mặt khác, 
2
3
44
22
2
2
222 aBDABSA
AC
SAAHSASH 




 
 , 
 a
AB
HI 
2
. Suy ra 
7
21
'
.
22
a
HSHI
HSHI
HK 

 . 
 Vậy 
7
21
),(
a
HKAPMNd  . 
 Nhận xét: Ví dụ này giúp cho học sinh rèn luyện kỉ năng sử dụng tính chất 4 để 
quy bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về bài toán tính 
khoảng từ một điểm đến một mặt phẳng. 
Ví dụ 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD là hình chử nhật, 
AB=a, AD = 2a . Gọi M, N là trung điểm AB, SD. Hình chiếu của S lên mặt 
phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của DM và AC, Biết góc giữa đường thẳng 
SA với đáy bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AN. 
Lời giải: 
 Gọi E là trung điểm của SC, ta có 
//NE AM
AN ME



 (vì cùng song song và bằng 
CD
2
1
), do đó AMEN là hình bình hành 
suy ra // //( )AN ME AN SMC 
       , , ,d AN SC d AN SMC d A SMC   
 Gọi H là giao điểm của AC và DM, ta có 
3
2
AC HC      
3
, ,
2
d A SMC d H SMC  
Gọi I là hình chiếu của H lên MC và 
K là hình chiếu của H lên SI, 
E
H
M
N
A
D
CB
S
I
K
khi đó HIMC  , SHMC  nên HKMCSHIMC  )( , do đó )(SMCHK  
suy ra HKSMCHd ))(,( . 
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 13 
Mặt khác, aACAHSH  00 30tan.
3
1
30tan. ;
9
222
.
3
1
),(
3
1 a
MC
S
MCDdHI DMC  
Suy ra 
89
1782
'
.
22
a
HSHI
HSHI
HK 

 . Vậy 
89
1783
2
3
),(
a
HKSCANd  . 
 Nhận xét: Ở trong lời giải này ta cố tình chọn mặt phẳng (SMC) vì mặt phẳng 
(SMC) chứa điểm S đã biết hình chiếu và sẽ lấy điểm hình chiếu này làm điểm 
đặc biệt. 
Bài tập đề xuất: 
1) Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác vuông tại A, 030ABC  , SBC là tam 
giác đều cạnh a và mặt phẳng SBC vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng 
cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). 
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam 
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a khoảng cách 
từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). 
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060ABC  . Cạnh 
bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc bằng 060 . 
Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến 
mặt phẳng (SCD). 
4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 060ABC  . Cạnh 
bên SA vuông góc với đáy và góc tạo bởi đường thẳng SC với mặt đáy một 
góc 060 . Gọi I là trung điểm BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SI. Tính 
theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) . 
5) Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=AC=2a; 
hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M 
là trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC tại N. Biết góc 
giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính theo a khoảng cách giữa 
hai đường thẳng AB và SN. 
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chử nhật với AB=2a. Mặt bên 
SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết đường 
thẳng AC vuông góc với đường thẳng SD. Tính theo a khoảng cách giữa hai 
đường thẳng BD và SC. 
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 14 
III. KẾT LUẬN 
 Bài viết đã đưa ra khái niệm điểm đặc biệt nhằm khắc sâu định hướng 
cho phương pháp đồng thời đưa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng 
để rèn luyện kỉ năng quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng của điểm đặc 
biêt. Đồng thời đưa ra được một hệ thống ví dụ với sự sắp xếp thứ tự từ các 
kỉ năng đơn giản đến phức tạp và tương đối đầy đủ cùng với sự phân tích, 
nhận xét của từng trường hợp giúp cho học sinh dễ hiễu và dễ vận dụng. Đề 
tài đã được tác giả áp dụng dạy cho nhiều đối tượng học sinh trong quá trình 
dạy bồi dưỡng cho khối 11, ôn thi đại học, cao đẳng và thấy kết quả rất khả 
quan, học sinh rất hứng thú, tiếp thu nhanh và vận dung có hiệu quả. Đồng 
thời với cách định hướng của phương pháp giúp cho bản thân tôi dễ giàng 
hơn khi tiếp xúc cũng như định hướng cho học sinh giải các bài toán về 
khoảng cách. Bài viết cúng đã được sự đồng tình và ủng hộ rất cao của các 
giáo viên trong tổ chuyên môn khi triển khai trình bày ở tổ. 
 Do phương pháp này sử dụng các kỉ năng và kiến thức cơ bản và đã được 
học từ trước nên có thể áp dụng cho cả học sinh lớp 11 và ôn thi THPT Quốc 
gia cũng như tất cả các đối tương học sinh từ trung bình đến học sinh giỏi. 
Đồng thời dự trên định hướng của phương pháp mà giáo viên có thể sáng tạo 
ra các bài toán khoảng cách từ dễ đến khó tùy vào mức độ phức tạp của các 
bước quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách điểm đặc biệt. 
SKKN_khoảng cách Ths. Trần Duy Điệp 
Năm học 2014-2015 15 
Mặc dù đã cố gắng, nhưng chắc chắn bài viết này sẽ không tránh khỏi 
những thiếu sót nhất định. Tác giả rất mong nhận được sự quan tâm, góp 
ý, bổ sung từ các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, để đề tài được hoàn thiện 
hơn, nhằm nâng cao năng lực dạy toán cho học sinh. 
Xin chân thành cảm ơn! 
IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[1] Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban cơ bản 2007. Nhà xuất 
bản Giáo dục. 
[2] Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban nâng cao) 2007. Nhà xuất 
bản Giáo dục. 
[3] Các đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ năm 2005 đến 2014.