Đề tài Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức ở trường thcs

A .Đặt vấn đề
I . Lí do chọn đề tài :
Bất đẳng thức đại số là một chuyên đề cơ bản và tương đối khó trong chương trình đại số phổ thông . Các bài toán về bất đẳng thức đại số rất phong phú , đa dạng . Đòi hỏi cần vận dụng các phương pháp giải vào từng bài một cách hợp lí , để đem lại kết quả bài toán một cách nhanh gọn , dễ hiểu hay nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ.
Việc giải bài toán này giúp chúng ta tiếp cận và làm quen dần với các bài toán thực tế như :So sánh các biểu thức ,tìm giá trị lớn nhất , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Đối với tôi - là một giáo viên THCS , việc tập dượt nghiên cứu khoa học là rất cần thiết để củng cố và đào sâu kiến thức . Từ đó có thể truyền đạt cho học sinh một cách linh hoạt và có hệ thống hơn.
Đặc biệt qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là tương đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phương trình là mới lạ ,là khó ... và thực tế cho thấy :
- Học sinh lúng túng trước vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào . 
-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác , lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , tư duy suy luận chưa cao . 
-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế của bất đẳng thức, bất phương trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phương trình .
-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh thường bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua .
Hơn nữa , trong chương trình đại số THCS chưa đi sâu vào phần này. Vì vậy , tôi chọn chuyên đề " Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức ở trường thcs " làm đề tài nghiên cứu .
Nội dung chính của đề tài là tìm tòi , hệ thống các bài toán hay ; phân loại và tìm phương pháp giải các bài toán đó .
Do tính đa dạng và phong phú của các bài tập về bất đẳng thức nên tôi chỉ trình bày một số dạng thông qua các phương pháp giải cơ bản . trong mỗi phương pháp giải là một số bài tập tiêu biểu kèm theo lời giải chi tiết .
II . Mục đích nghiên cứu :
 1 . Đối với giáo viên :
 - Nâng cao trình độ chuyên môn , phục vụ cho quá trình giảng dạy.
 - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học , nâng cao kiến thức .
 2 . Đối với học sinh :
Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng . Trang bị cho học sinh một số kiến thức nhằm nâng cao năng lực môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động , sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức .
Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải bài tập . 
Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa , sách tham khảo , giúp học sinh tự giải được một số bài tập .
Thông qua việc giải bài toán về bất đẳng thức, giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức .
III . Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Tìm hiểu thực tiễn ở trường THCS
- Đưa ra một số giải pháp
- Đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh THCS .
- Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải toán bất đẳng thức áp dụng để giải bài tập .
- Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải một số bất phương trình dạng đặc biệt 
1 . Phạm vi đề tài :
Phát triển năng lực tư duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức đối với học sinh Lớp 8 , lớp 9 .
2 . Đối tượng nghiên cứu :
- Học sinh ở lứa tuổi 14 -15 ở trường THCS vì đa số các em thích học toán và bước đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách ổn định .
 - Đối tượng khảo sát : học sinh lớp 8 ,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập . Luyện thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS ...
3 . Phương pháp tiến hành :
- Học sinh có kiến thức cơ bản , đưa ra phương pháp giải, vận dụng các bài tập áp dụng , chỉ ra được các sai lầm hay gặp .
- Học sinh về nhà làm bài tập .
4 . Dự kiến kết quả của đề tài :
- Khi chưa thực hiện đề tài này : Học sinh chỉ giải một số bài tập về bất đẳng thức đơn giản , hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập về bất đẳng thức .
- Nếu thực hiện đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng thức , làm bài tập tốt hơn , tự giải quyết được các bài tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế được nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức .
IV . Phương pháp nghiên cứu :
- Nghiên cứu tài liệu về lí luận
- Tham khảo , thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp
- Thử ngiệm sư phạm
- Kiểm tra , khảo sát chất lượng học sinh , nghiên cứu hồ sơ giảng dạy ,điều tra trực tiếp thông qua các giờ học 
- Tổng kết , rút kinh nghiệm ,tự đánh giá chất lượng giảng dạy của bản thân từ đó nâng cao hơn trình độ chuyên môn nghiệp vụ .
B . Giải quyết vấn đề
Chương i : Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn
I . Cơ sở lí luận
 Trong điều kiện hiện nay , cùng với sự phát triển chung của đất nước,ngành giáo dục đã từng bước thay đổi chương trình , sách giáo khoa , phương pháp giảng dạy để phù hợp với thực tế .Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cần thiết đối với mỗi giáo viên .
Người thầy đóng vai trò chủ đạo , hướng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức . Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , tư duy lô gic của học sinh trong học tập và cuộc sống là điều rất cần thiết , đó là điều mà trong dạy học Toán dễ dàng thực hiện được
 Việc trang bị cho học sinh những kiến thức Toán không chỉ gồm khái niệm, tính chất, định lí , qui tắc ... mà cả những kĩ năng , phương pháp giải bài tập và vận dụng vào thực tế cuộc sống . Vì thế trong quá trình giảng dạy ngoài việc hướng dẫn học sinh tìm tòi tri thức còn phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm. Khi giải bài toán không chỉ đòi hỏi học sinh linh hoạt trong việc áp dụng lí thuyết mà còn khai thác , phát triển bài toán theo chiều hướng thuận lợi nhất cho việc giải nó
Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy đều muốn đem tâm huyết và vốn kiến thức của mình truyền thụ cho học sinh mong các em hiểu bài và yêu thích môn Toán hơn . Việc giảng bài và tìm ra phương pháp giải sao cho phù hợp với đối tượng học sinh đã kích thích lòng ham mê ở các em, từ đó tìm ra những học sinh có năng khiếu và bồi dưỡng trở thành học sinh giỏi
Giải bài toán bất đẳng thức, bất phương trình rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp, phát huy được tính tích cực chủ động trong tư duy
II . Cơ sở thực tiễn 
 Bài toán về bất đẳng thức có mặt hầu hết trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của THCS, THPT 
 Qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là tương đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phương trình là mới lạ và khó ... và thực tế cho thấy :
- Học sinh lúng túng trước vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hướng nào . 
-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác , lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , tư duy suy luận chưa cao . 
-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế của bất đẳng thức, bất phương trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng thức ,bất phương trình .
-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh thường bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua .
- Tài liệu dùng cho học sinh còn ít dẫn đến việclựa chọn và giải bài tập còn nhiều hạn chế
CHƯƠNG II : GIảI QUYếT VấN Đề
I . Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
Hai biểu thức A và B của các số hoặc chữ thay số , liên hệ với nhau bởi một trong các quan hệ lớn hơn ( > ) ; bé hơn ( < ) ; lớn hơn hoặc bằng ( ) ; bé hơn hoặc bằng ( ) ; khác ( ) gọi là bất đẳng thức . Viết là :
 A > B ; A < B ; A B ; A B ; A B
 1 . Tính chất 1 : Nếu a và b là hai số thực nếu a > b b < a
 2 . Tính chất 2 : Nếu a > b và b > c thì a > c
 3 . Tính chất 3 : Nếu a > b và c bất kì thì a + c > b + c
 4 . Tính chất 4 : Nếu a > b + c thì a - b > c
 5 . Tính chất 5 : Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
 Nếu a > b và c b - d
 6 . Tính chất 6 : Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
 Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
 7 . Tính chất 7 : Nếu a > b 0 và c > d 0 thì ac > bd
 8 . Tính chất 8 : Nếu a > b , ab > 0 thì < 
 9 . Tính chất 9 : a > b > 0 an > bn ( n > 0)
 a > b an > bn ( n lẻ )
 > an > bn ( n chẵn ) 
10.Tính chất 10: Nếu a > b > 0 và n là một số nguyên dương thì > .
II.Những bài toán về bất đẳng thức và phương pháp giải 
 1. Phương pháp 1 : Dùng phép biến đổi tương đương
 * Phương pháp : A B A - B 0
 Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh đúng .
 * Ví dụ :
Bài 1 : Cho các số dương a và b thoả mãn điều kiện a + b = 1 . Chứng minh rằng : ( 1 + )( 1 + ) 9 .
 Giải : Ta có : ( 1 + ) ( 1 + ) 9 ( 1 )
 . 9 
 ab + a + b + 1 9ab ( vì ab > 0 ) 
 a + b + 1 8ab 
 2 8ab ( vì a + b = 1 )
 1 4ab ( a + b )2 4ab ( vì a + b = 1 )
 ( a + b )2 0 ( 2 ) 
Bất đẳng thức ( 2 ) đúng ,mà các phép biến đổi trên là tương đương , vậy bất đẳng thức ( 1 ) đúng . ( đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b . 
 Bài 2 : Cho a , b , c , d , e là các số thực . Chứng minh rằng : 
 a , a2 + b2 + 1 ab + a + b
 b , a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e )
 Giải :
 a , Ta có : a2 + b2 + 1 ab + a + b,
 2 ( a2 + b2 + 1 ) - 2 ( ab + a + b ) 0
 ( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) 0
 ( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 0
 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b . Nên ta có điều phải chứng minh . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
 b , Ta có : 
 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e ) 
 a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 0
 4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
 (a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0
 ( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e . Nên ta có điều phải chứng minh . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e .
Bài 3 : Cho ab 1 . Chứng minh rằng : 
 + 
Giải : Ta có : + ( 1 )
 ( - ) + ( - ) 0
 + 0
 + 0
 0
 0
 0
 0 ( 2 )
Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab 0 .Do đó bất đẳng thức ( 1 ) được chứng minh 
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho ba số a , b , c bất kì . Chứng minh rằng :
 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Bài 2 : Cho hai số a, b bất kì . Chứng minh rằng :
a , ( a2 + b2 )( a4 + b4 ) ( a3 + b3 )2
b , ( a + b )( a3 + b3 ) 2 ( a4 + b4 )
Bài 3 : Cho hai số a, b > 0. Chứng minh :
a , 2( a3 + b3 ) ( a + b )( a2 + b2 )
b , 4( a3 + b3 ) ( a + b )3
2 . Phương pháp 2 : Dùng phương pháp phản chứng 
 * Phương pháp :
Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng . Ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí .
 Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một điều đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngược nhau . Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng .
* Ví dụ :
Bài 1 : Cho a2 + b2 2 . Chứng minh rằng : a + b 2
Giải : Giả sử a + b > 2, bình phương hai vế (hai vế đều dương ) ta được :
 a2 + 2ab + b2 > 4 (1)
Mặt khác ta có : 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2( a2 + b2 )
Mà 2( a2 + b2) 4 ( giả thiết) , do đó a2 + 2ab + b2 4 mâu thuẫn với (1)
Vậy điều giả sử là sai. Vậy a + b 2 
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a1a2 2( b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai phương trình x2 + a1x + b1 = 0
 x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm .
Giải : Giả sử cả hai phương trình đã cho vô nghiệm 
 Khi đó : 1 = a12 - 4b1 < 0
 2 = a22 - 4b2 < 0
 => a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < 0
 a12 + a22 < 4( b1 - b2 )
Theo giả thiết ta có 2( b1 - b2 ) a1a2 => 4( b1 - b2 ) 2a1a2 
Do đó : a12 + a22 2a1a2 
 => a12 + a22 - 2a1a2 0
 => ( a1 - a2)2 0 ( vô lí )
Vậy ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm .
Bài 3 : Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất đẳng thức đúng : a2 + b2 
 b2 + c2 
 c2 + a2 
Giải : Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai . Ta có :
 a2 + b2 < (1)
 b2 + c2 < (2)
 c2 + a2 < (3)
Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta được :
 a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 < 
 4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca
 2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0
( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0
( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0 ( vô lí )
Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng .
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho a3 + b3 = 2. chứng minh rằng a + b 2
Bài 2 : Cho ba số a , b ,c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại một trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )2
Bài 3 : Chứng minh rằng nếu a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > 0 thì 
a > 0, b > 0 , c > 0
3 . Phương pháp 3 : Dùng bất đẳng thức trong tam giác 
* Phương pháp : 
Nếu a , b , c là số đo ba cạnh của một tam giác thì a , b , c > 0 và 
|b - c| < a < b + c
|a - c| < b < a + c
| a - b| < c < a + b Trong một số bài toán mà các đại lượng trong biểu thức ở các vế của bất đẳng thức là không âm , khi đó sẽ tồn tại một tam giác mà các cạnh là giá trị của các đại lượng đó và ta có thể vận dụng các bất đẳng thức trên để chứng minh .
* Ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có : a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca )
Giải :
Vì a , b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có :
 0 a2 < a( b + c )
 0 b2 < b( a + c )
 0 c2 < c( a + b )
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được :
 a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b )
 a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca ) (đpcm)
Bài 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
 + + < 2
Giải : Giả sử a b c > 0 thì a + b a + c b + c 
 Ta có = 
Cộng vế theo vế ta được :
 + + 
Hay + + + 1 < 1+ 1 = 2
Vậy + + < 2
Bài 3 : Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác với a < b < c . Chứng tỏ rằng : a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0
Giải :
Ta có : a3( b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2)
 = a3 + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2)
 = - a3( a2 - b2) + a3( a2 - c2) - b3(a2 - c2) + c3( a2 - b2)
 = -( a2 - b2)(a3 - c3) + ( a2 - c2) ( a3 - b3)
 = ( a - b )( a - c ) [ -( a + b)( a2 + ac + c2) + ( a + c)( a2 + ab + b2)]
 = ( a - b )( a - c) (ab+ bc - ac- bc)
 = ( a - b )( a - c)
 = (a - b)(a - c)( b - c)( ab + bc + ca) < 0 (vì a , b , c N* và a < b < c)
Vậy a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0 (đpcm).
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh 
( a + b + c ) + + <( a + b + c )
Bài 2 : Chứng minh rằng nếu a , b, c là độ dài các cạnh của một tam giác với
 a b c thì ( a + b + c ) 2 9bc
Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
 a3 + b3 + c3 + 3abc > ab( a + b ) + bc( b + c ) + ac( a+ c ) 
4 . Phương pháp 4 : Dùng bất đẳng thức Cauchy
* Bất đẳng thức Cauchy : 
Cho n số không âm a1 , a2 , a3 ,...,an
Ta có bất đẳng thức :
Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
 Trong trường hợp này ta thường đề cập đến một số bài toán mà chỉ sử dụng trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy :
 Cho hai hoặc ba số không âm ta có :
 	 ; 
 * Ví dụ :
 Bài 1 : Chứng minh rằng a , b là hai số dương ta luôn có :
 3a3 + 7b3 > 9ab2
 Giải : 
 Ta có : 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3
 áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có :
 3a3 + 3b3 + 4b3 3
=> 3a3 + 7b3 3ab2 > 9ab2
Vậy 3a3 + 7b3 > 9ab2 (đpcm)
Bài 2 : Cho a, b, c là các số dương . Chứng minh bất đẳng thức :
 + + 
Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số , không âm ta có :
 + 2 = 2 . = a
Suy ra a - 
Tương tự b - 
 c - 
Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được :
 + + ( a + b + c ) - = 
Vậy + + (đpcm)
Bài 3 : Cho a, b, c > với + = 
Chứng minh rằng : + 4
Giải : Ta có + = => b = 
Khi đó : = = 
Và = = 
Do đó :
 + = + = + . + + . = 1 + ( + ) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm và ta có:
 + 2 = 2
Nên 1 + ( + ) 1 + 2. = 4 
Vậy : + 4 (đpcm)
Bài 4 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
 ( 1 + )( 1 + )( 1 + ) 64
Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy :
 1 + = = 
 1 + 4
Chứng minh tương tự : 1 + 4 
 1 + 4
Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được :
( 1 + )( 1 + )( 1 + ) 43 
( 1 + )( 1 + )( 1 + ) 64
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = ( đpcm)
* Bài tập vận dụng :
Bài 1: Cho a, b, c là các số không âm và a + b + c = 1. Chứng minh:
 + + < 3,5
Bài 2 : Cho các số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :
 + + > 2
Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm
 + a + b 
Bài 4 : Cho a, b 1 . Chứng minh rằng a + b ab
5 . Phương pháp 5 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
Cho n cặp số bất kì a1 , a2 , ...,an , b1 , b 2 , ...,bn ta có bất đẳng thức 
( a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ( a12 + a22+...+ an2)( b12 + b22+...+ bn2)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi k : ai = kbi ( * )
(Nếu bi 0 thì ( * ) được viết = = ... = )
Ta chỉ đề cập đến trường hợp :
Cho hai hoặc ba số bất kì : a1 , a2 ; b1 , b2 hoặc a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta có :
( a1b1 + a2b2 )2 ( a12 + a22)( b12 + b22)
( a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ( a12 + a22+ a32)( b12 + b22+ b32)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ chi : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 ( k R )
* Ví dụ :
Bài 1 : Cho x2 + y2 = 1 . Chứng minh rằng : |2x + 3y| 
Giải : 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số 2 ,3 ; x , y ta có : 
 |2x + 3y| = 
Vậy |2x + 3y| 
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi : = => = = = 
Hoặc x = ; y = hoặc x = ; y = 
Bài 2: Cho a . b, c là ba số không âm và a + b +c = 1. Chứng minh :
 + + 
Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗp xki cho ba bộ số :
 1 ;1 ;1 và , , 
Ta có :
(1.+1.+1.)(1+1+1) 	 (++) 3( a + b + b + c + c + a) = 6
 + + (đpcm)
Bài 3 : Cho a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Chứng minh rằng :
( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + 1 )2 ( x R )
Giải : 
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba bộ số 
Ta có (x2 + ax + b)2 ( x2 + a2 + b2) ( x2 + x2 + 1)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba bộ số 
Ta có (x2 + cx + d)2 ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1)
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta được : 
 ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2 + x2 + c2 + d2)
 ( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + 1 )( 2x2 + 1 ) = ( 2x2 + 1 )2
 ( vì a2 + b2 + c2 + d2 = 1 ) (đpcm) 
Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
 ab + bc + ca 
 ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (đpcm)
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho x + y = 1. Chứng minh rằng : x2 + y2 = 1
Bài 2 : Chứng minh mọi số nguyên dương n :
 + + ++ n.
Bài 3 : Chứng minh rằng nếu : a + b = 1 thì a2 + b2 
Bài 4 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng : 
 + + 
6 . Phương pháp 6 : Dùng tính chất tỉ số và giá trị tuyệt đối 
* Tính chất :
- Tính chất tỉ số : Cho a , b ,c > 0 khi đó :
 Nếu < 1 thì < 
 Nếu > 1 thì > 
- Giá trị tuyệt đối : | x | < 1 -1 < x < 1
 Nếu | x | 1 thì x2 | x|
* Ví dụ :
Bài 1: Cho a+ b > 1 . Chứng minh rằng a4 + b4 > 
Giải: Ta có : a + b > 1 > 0 (1)
Bình phương hai vế : ( a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1 (2)
Mặt khác : ( a - b)2 0 a2 + 2ab + b2 0 (3)
Cộng từng vế của (2) và (3) :
 2( a2 + b2 ) > 1 a2 + b2 > (4)
Bình phương hai vế của (4) : a4 + 2a2b2 + b4 > (5)
Mặt khác : ( a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0 (6)
Cộng từng vế của (5) và (6) ta có :
2( a4 + b4) > a4 + b4 > (đpcm)
Bài 2 : Cho a , b, c là số đo ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
 | + + | < 1 
Giải : 
áp dụng | x | < 1 -1 < x < 1
Vì a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác nên a - b < a + b Do đó < 1
Theo tính chất của dãy tỉ số ta có : < 
Tương tự : < 
 < 
Cộng vế thao vế ba bất đẳng thức trên ta được :
 + + < = 1
Từ đó suy ra : | + + | < 1 (đpcm)
Bài 3 : Cho a , b, c, d > 0 . Chứng minh rằng :
1 < + + + < 2
Giải :
Ta luôn có : < < 1 ( 1 )
áp dụng tính chất của tỉ số ta có : 
 < (2)
Từ (1) và (2) ta có :
 < < 
Tương tự ta có :
 < < 
 < < 
 < < 
Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức kép trên ta được : 
 < + + + < 
Vậy 1 < + + + < 2 (đpcm)
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức :
 + + + + 
Bài 2 : Cho x 0 , y 0 , z 0 . Chứng minh rằng :
 ( x + y )( y + z )(z + x ) 8xyz
7 . Phương pháp 7 : Phương pháp làm trội, làm giảm :
* Phương pháp :
Dùng tính chất bất đẳng thức để đưa ra một bất đẳng thức cần chứng minh về dạng để tính được tổng hữu hạn .
Phương pháp để tính tổng hữu hạn :
n = u1 + u2 + ...+ un ta biểu diễn số hạng tổng quát uk về hiệu hai số hạng liên tiếp nhau :
uk = ak - ak-1khi đó :
n = ( a1 - a2) + ( a2 - a3) + ...+ ( an- an+1) = a1 - an+1
* Ví dụ : 
Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức sau với n là số nguyên dương :
 + + +...+ < 
Giải : Ta biến đổi số hạng tổng quát :
 = < = ( - )
Với k =1 ta có : < ( 1 - )
Với k = 2 ta có : < ( - )
Với k = 3 ta có : < ( - )
......
Với k = n ta có : < ( - )
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta được :
 + + +...+ < ( 1 - ) < 
Vậy + + +...+ < (đpcm)
Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ta có :
 + + ...+ < 2
Giải :
 Ta biến đổi số hạng tổng quát :
 = = ( - ) 
= ( - )( +) < .( - ) = 2 ( - )
Với k = 1 ta có : < 2( 1 - )
Với k = 2 ta có : < 2( - )
......
Với k = n ta có : < 2( - )
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được :
 + + ...+ < 2( 1 - ) < 2 
Vậy + + ...+ < 2 (đpcm)
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức sau với n N, n 2
2 - 3 < + + ...+ < 2 - 2
Bài 2 : Chứng minh mọi số nguyên dương n :
 + + + ...+ < 2
8 . Phương pháp 8 : Dùng phương pháp hình học 
* Sử dụng bất đẳng thức tam giác :
Với ba điểm A ,B ,C bất kì ta có : AB + BC AC
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi B nằm giữa B và C
* Sử dụng diện tích 
Bài 1 : Chứng minh rằng với mọi a , b ta đều có :
 + + 5
Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với :
Trên mặt phẳng toạ độ lấy : A(0 ; -1) ; B(a ; 1) ; C(b ; 2) ; D(3 ; 3)
Ta có : AB = 
 BC = 
 CD = 
Từ bất đẳng thức AB + BC + CD AD ta có : 
Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi A,B,C,D thẳng hàng và xếp theo thứ tự đó (đpcm)
Bài 2 : Cho a , b , c thoả mãn điều kiện a > c > 0 và b > c > 0
Chứng minh rằng : + 
Giải : 
Theo giả thiết a , b, c > và đồng thời a > c , b > c 
A
nên tồn tại tam giác ABC có các cạnh AB = ,
 AC = và đường cao AH = 
áp dụng định lí Py ta go cho 
C
 B
H
hai tam gíac vuông AHB và AHC ta có : 
BH = 
CH = 
Do đó diện tích ABC là :
S = ( + ) = ( + 
Mặt khác S = sinA 
 (do sinA 1 ) + + 
Từ đó suy ra :( + ) 
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ABC vuông tại A tức là khi 
 = + = + (đpcm)
* Bài tập vận dụng :
Bài 1 :Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phương pháp hình học :
 . b( a + c ) với các số dương a, b , c
Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c, d > 0
 + ( a + b)( c + d ) trong đó a, b, c, d là những số thực dương 
CHƯƠNG III : THựC NGHIệM SƯ PHạM
1. Mục đích thử nghiệm
 Tôi muốn thử nghiệm đề tài của mình để kiểm tra tính khả thi của nó , kiểm tra xem khả năng giải bất phương trình , bất đẳng thức của học sinh có tiến bộ không.Từ đó cần điều chỉnh để đề tài được hoàn thiện hơn. Nếu có hiệu quả tốt tôi sẽ nhân rộng cho các giáo viên khác
2 . Nội dung thử nghiệm
 Trong quá trình giảng dạy , bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã đưa ra các bài toán trong đề tài , hướng dẫn học sinh giải sau đó cho học sinh áp dụng giải các bài tiếp theo dựa vào từng phương pháp cụ thể
 3 . Phương pháp thử nghiệm
 - Hướng dẫn học sinh cách áp dụng đối với từng trường hợp
 - Cho học sinh áp dụng làm bài cụ thể đối với từng trường hợp
 - Ra bài tập về nhà và yêu cầu học sinh tìm tòi thêm các bài tập tương tự
 - Kiểm tra mức độ tiếp thu , vận dụng của học sinh
 4 . Kết quả thử nghiệm
 Trước khi áp dụng đề tài : 15% HS tiếp cận và giải khá khoa học
 30% HS hiểu bài
 Sau khi áp dụng đề tài : 50% HS tích cực phát hiện và giải khoa học
 35% HS hiểu bài
C . KếT LUận và kiến nghị
Có thể nói rằng chuyên đề bất đẳng thức là một phần khó và đóng một vai trò quan trọng trong chương trình đại số THCS
Tuy nhiên , do tính đa dạng của các bài toán nên tôi chỉ nghiên cưú một số phương pháp cơ bản , hy vọng sẽ góp phần trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi
Trong thực tế hiện nay khi dạy cho học sinh đại trà cũng như quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đã thu được kết quả bước đầu: Học sinh tiếp thu bài nhanh và dễ hiểu hơn , các em tránh được những sai sót cơ bản , có kĩ năng vận dụng tốt , chất lượng bài làm nâng lên .
Tất nhiên trong quá trình làm chắc không tránh khỏi sai sót . Vì vậy , tôi rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy , các cô để đề tài được hoàn thiện hơn .
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
Mục lục :
Phần Trang 
A . Đặt vấn đề 1 - 3
B . Giải quyết vấn đề 
Chương I : Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn 4 - 5
Chương II : Giải quyết vấn đề 5 - 21
Chương III : Thực nghiệm sư phạm 	22
C . Kết luận và kiến nghị 23
Tài liệu tham khảo :
1 . Phương pháp dạy học Toán ( Nguyễn Bá Kim )
2 . Một số vấn đề phát triển Toán 8 - 9
3 . Nâng cao và phát triển Toán 8 - 9 ( Vũ Hữu Bình )
4 . Một số đề thi HSG các năm cấp THCS
5 .Tuyển tập các bài toán thi vào các trường chuyên (Võ Giang Giai)