Đề tài Giảng dạy số phức ở trường phổ thông

MỞ ĐẦU
1. MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN
Xét trên tập số thực mọi phương trình bậc nhất đều có nghiệm, phương trình bậc hai có biệt thức có hai nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau), nhưng cũng có những phương trình bậc hai đơn giản, chẳng hạn , lại vô nghiệm. Năm 1545 nhà toán học G.Cardano (1501-1576) người Italia đã giải quyết vấn đề nghiệm của phương trình bằng cách đưa vào kí hiệu để biểu diễn nghiệm của phương trình này, dĩ nhiên Tiếp theo đó, ông kí hiệu nghiệm của phương trình () là và nghiệm của phương trình (, ) là Cardano đã gọi là đại lượng ảo, để thể hiện rằng đó là đại lượng không có thực, một đại lượng giả tưởng.
Năm 1572, trong công trình có tên Bologne (Đại số), nhà toán học Italia R.Bombelli (1526-1573) đã định nghĩa các phép toán số học trên các đại lượng ảo. Ông được xem là người sáng tạo nên lí thuyết các số ảo, và cũng là người đầu tiên thấy được lợi ích của việc đem số ảo vào toán học như một công cụ hữu ích.
Nhà toán học Pháp  D’Alembert (1717-1783) vào năm 1746 đã đưa ra dạng tổng quát của số phức, đồng thời chấp nhận nguyên lí tồn tại nghiệm của một phương trình đa thức bậc 
Nhà toán học Thụy Sĩ  L. Euler (1707-1783) đã đề xuất kí hiệu "" để chỉ căn bậc hai của  gọi là đơn vị ảo (imaginary unit number), đến năm 1801 nhà toán học Đức C.F.Gauss (1777-1855) đã dùng lại kí hiệu đó và là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ số phức để chỉ các đại lượng ảo. Tuy nhiên kí hiệu cũng đã gây ra rất nhiều tranh cãi và nghi ngờ trong giới toán học. Nhà bác học I.Newton (1643-1727) người Anh là người đã không thừa nhận số ảo. Đẳng thức đáng ngờ nhất chính là bởi vì nó phá vỡ quan hệ thứ tự quen thuộc trên 
Người có công lao biến số phức từ một con số giả tưởng với tính chất bí hiểm thành một số có thật là nhà bác học Ireland W.R.Hamilton (1805-1865). Năm 1837, Hamilton xây dựng lí thuyết số phức một cách chặt chẽ theo phương pháp tiên đề để từ đó số phức trở thành một số quen thuộc với người làm toán như những số truyền thống.
Càng ngày người ta càng thấy số phức có vai trò vô cùng quan trọng trong toán học và khoa học - kĩ thuật. Nhiều nhà toán học nổi tiếng như Euler, Gauss, G.F.B.Riemann (1826-1866),  A.L.Cauchy (1789-1857), K.T.W. Weierstrass (1815-1897) và nhiều nhà toán học khác ở thế kỉ XX đã có những đóng góp to lớn cho sự phát triển của lí thuyết số phức và giải tích phức. Giải tích phức, đặc biệt là lí thuyết về ánh xạ bảo giác, có nhiều ứng dụng trong cơ khí. Nó cũng được sử dụng trong lí thuyết số giải tích. Ngày nay giải tích phức được nghiên cứu nhiều với những ứng dụng trong động lực phức và fractal. Ứng dụng quan trọng khác của giải tích phức là trong lí thuyết dây.
Ở Việt Nam, nhiều nhà khoa học cũng đã có những đóng góp quan trọng trong nghiên cứu và giảng dạy giải tích phức.
	Đối với chương trình toán học phổ thông, số phức được đưa vào cuối lớp 12. Số phức là một khái niệm mới, việc làm quen, sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Xuất phát từ việc tìm hiểu về lịch sử phát triển của lí thuyết số phức và giải tích phức, hiểu được tầm quan trọng của số phức trong toán học và khoa học - kĩ thuật, xuất phát từ thực trạng dạy - học nội dung số phức trong thời gian qua tại Trường THPT Yên Phong số 2, để giúp bản thân mình cũng như các em học sinh định hình tốt hơn về các dạng toán thường gặp về số phức và một số ứng dụng sơ cấp của số phức, đặc biệt là các dạng toán xuất hiện gần đây ở các đề thi TN THPT, thi ĐH-CĐ, thi HSG, ở các đề thi thử của các địa phương,  tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Giảng dạy số phức ở trường phổ thông”.
	Thông qua việc phân dạng một số dạng toán thường gặp về số phức, giáo viên có cái nhìn toàn diện và sâu sắc hơn về chủ đề số phức trong chương trình toán phổ thông, chọn lựa được những phương án tốt nhất cho bài giảng của mình, giúp học sinh làm quen với số phức, rèn kĩ năng giải toán về số phức và ứng dụng của số phức trong giải quyết một số bài toán sơ cấp đơn giản, phát triển tư duy logic cho học sinh, đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập môn toán, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần đổi mới phương pháp và nâng cao chất lượng dạy - học bộ môn toán nói chung và chủ đề số phức nói riêng.
2. ĐÓNG GÓP CỦA SÁNG KIẾN
	Góp phần nâng cao nhận thức và kĩ năng cho cả người dạy và người học về nội dung số phức, làm rõ một số tính chất của số phức, phân ra một số dạng toán thường gặp về số phức, bước đầu tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học.
CHƯƠNG 1 
CƠ SỞ KHOA HỌC 
1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Khái niệm số phức
Một số phức là một biểu thức dạng z = a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i2=-1, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức. Cách viết z = a+bi được gọi là dạng đại số của số phức.
Tập hợp các số phức được kí hiệu bởi .
Mỗi số thực được coi là một số phức với phần ảo bằng 0, Do đó, có thể xem là một tập con của 
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (số thuần ảo). Đơn vị ảo là một số ảo, số vừa là số thực vừa là số ảo.
Hai số phức được gọi là bằng nhau, và viết , nếu 
Với mỗi số phức tương ứng với một và chỉ một điểm trong mặt tọa độ Ta gọi là biểu diễn hình học của số phức . Những số thực có biểu diễn hình học là các điểm thuộc trục những số ảo có biểu diễn hình học là các điểm thuộc trục Vì thế trục còn được gọi là trục thực, trục còn được gọi là trục ảo. Mặt phẳng được gọi là mặt phẳng phức.
Ta để ý rằng trong mặt phẳng nếu thì . Giả sử các điểm là biểu diễn hình học của số phức và thì khi và chỉ khi 
Giả sử số phức có biểu diễn hình học là điểm
 trong mặt phẳng và lần lượt là điểm đối xứng với qua trục hoành và qua gốc tọa độ. Gọi là các số phức có biểu diễn hình học là tương ứng. Ta gọi là số phức liên hợp của kí hiệu là gọi là số đối của số phức kí hiệu là Như vậy và với Ta dễ dàng kiểm tra được rằng và 
Độ dài của vectơ được gọi là môđun của số phức , và kí hiệu Như vậy Với mọi ta có đẳng thức xảy ra khi 
1.2. Một số phép toán trên 
1.2.1. Phép cộng
a) Tổng của hai số phức
Tổng của hai số phức là số phức . 
Nếu hai số phức có biểu diễn hình học là các điểm trong mặt phẳng điểm là biểu diễn hình học của số phức khi và chỉ khi 
Phép toán tìm tổng của hai số phức được gọi là phép cộng số phức.
b) Tính chất của phép cộng số phức
Phép cộng số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng các số thực.
Tính chất kết hợp Nhờ đó, ta có thể viết để chỉ tổng 
Tính chất giao hoán 
Cộng với 0 (phần tử trung hòa của phép cộng) 
Với mỗi , số đối tồn tại duy nhất, và 
1.2.2. Phép trừ
a) Hiệu của hai số phức
Hiệu của hai số phức và là tổng của với , tức là . Nếu thì 
Nếu hai số phức có biểu diễn hình học là các điểm trong mặt phẳng điểm là biểu diễn hình học của số phức khi và chỉ khi 
Phép toán tìm hiệu của hai số phức được gọi là phép trừ số phức.
b) Tính chất của phép trừ số phức
Phép trừ số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép trừ các số thực.
1.2.3. Phép nhân 
a) Tích của hai số phức
Tích của hai số phức là số phức 
Phép toán tìm tích của hai số phức được gọi là phép nhân số phức.
b) Tính chất của phép nhân số phức
Tính chất giao hoán 
Tính chất kết hợp Để chỉ tích ta có thể viết Với là số nguyên dương, với mọi số phức để chỉ tích ta viết .
Nhân với 1 (phần tử đơn vị của phép nhân) 
Tính chất phân phối 
 Do đó 
 Do đó 
1.2.4. Phép chia cho số phức khác 0
Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số .
 Thương của phép chia số phức cho số phức là tích của với số phức nghịch đảo của , tức là Như vậy, nếu thì và đặc biệt Nhận thấy nên để tính ta chỉ việc nhân cả tử số và mẫu số với số phức liên hợp của mẫu.
Dễ thấy, với mọi ta có và 
1.2.5. Căn bậc n của số phức
Số phức được gọi là một căn bậc của số phức nếu Mỗi số phức luôn có căn bậc (, ) là số phức.
1.3. Phương trình bậc hai
Xét phương trình bậc hai với các hệ số là những số thực hoặc phức, , là biến số phức. Đặt Khi đó
Nếu thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó là một căn bậc hai của .
Nếu thì phương trình (1) có nghiệm kép .
Trong cả hai trường hợp trên ta đều có
Người ta chứng minh được rằng mọi phương trình bậc 
(trong đó là số nguyên dương, hệ số là các số phức, ) luôn có nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt). Hơn nữa, nếu là một nghiệm của phương trình (2) và là các số thực thì cũng nghiệm của (2).
1.4. Dạng lượng giác của số phức
1.4.1. Định nghĩa acgument của số phức khác 0
Cho số phức . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z.
1.4.2. Dạng lượng giác của số phức
	Xét số phức có môđun và là một acgumen. Lúc này có thể viết ở dạng . Ta gọi dạng 
 là dạng lượng giác của số phức 
1.4.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác
Nếu , thì 
 (khi r>0).
1.4.4. Công thức Moa-vrơ
a) Công thức Moa-vrơ
Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra với mọi số nguyên dương 
 và khi ta có
b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.
Từ công thức Moa-vrơ dễ thấy số phức (trong đó ) có hai căn bậc hai là với 
2. CƠ SỞ THỰC TIỄN
	Trong chương trình môn Toán hiện hành ở bậc THPT, nội dung số phức bước đầu được quan tâm. Trong các kì thi TN THPT và thi ĐH-CĐ, các bài toán số phức cũng thường xuyên xuất hiện. Những ứng dụng của số phức ngày càng được nhiều người dạy và học quan tâm, khai thác.
	Trong thời gian giảng dạy tại trường THPT Yên Phong số 2, tiền thân là trường THPT Yên Phong số 3, tôi đã chú ý đến mảng kiến thức này, dành thời gian tự trau dồi những hiểu biết liên quan, dành thời gian hợp lí cho học sinh luyện tập, tự mở rộng kiến thức. 
CHƯƠNG 2 
THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Qua tìm hiểu, tôi nhận thấy việc dạy và học nội dung số phức và áp dụng để giải toán hiện nay có một số điều đáng bàn sau đây
1) Giáo viên còn hạn chế về nhiều kiến thức toán cao cấp liên quan đại số đại cương, do đó cái nhìm tổng quan số phức có phần nào chưa thực sự đầy đủ, điều đó dẫn tới việc áp dụng các kiến thức về số phức vào giải toán cũng có phần hạn chế, có lúc vẫn còn thiếu đi sự linh hoạt, tinh tế.
2) Đây là chủ đề mà lượng kiến thức đưa vào bậc THPT rất sơ lược, dễ gây tâm lí chủ quan đối với cả giáo viên lẫn học sinh. Chính tâm lí chủ quan có thể dẫn tới những sai lầm đáng tiếc.
3) Việc hình thành kĩ năng áp dụng cho học sinh là công việc phải được tiến hành thường xuyên, liên tục, tỉ mỉ, thận trọng. Tuy nhiên một số giáo viên chưa chú trọng việc bồi dưỡng kĩ năng trình bày, bồi dưỡng mảng kiến thức liên quan tới các tập hợp số ngay từ lớp 10, dẫn tới tạo ra độ ì lớn khi học sinh lên lớp 11, 12.
4) Nhiều học sinh học tập một cách thụ động, trông chờ thầy cô cung cấp kiến thức, chỉ làm bài theo mẫu sẵn, thiếu tính sáng tạo.
CHƯƠNG 3
MỘT SỐ GIẢI PHÁP
Chương này, chúng tôi đề xuất phương án phân chia một số dạng toán liên quan tới số phức, ứng dụng của số phức.
1. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia hai số phức được thực hiện như đối với số thực, chỉ lưu ý thêm để tính thương ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của 
VD1. a) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức 
b) Tìm căn bậc hai của số phức 
HD. a) Ta có 
Vậy phần thực của z là , phần ảo là và môđun 
b) Giả sử là căn bậc hai của z. Ta có hay 
Vậy có hai căn bậc 2 của z là 
VD2. 1) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng
2) Tính tổng .
HD. 1) Để ý rằng với k là số tự nhiên thì:
+ nếu k chia hết cho 4;
+ nếu k chia cho 4 dư 1;
+ nếu k chia cho 4 dư 2;
+ nếu k chia cho 4 dư 3.
Ta có và 
So sánh phần thực và phần ảo của số phức theo cả hai cách tính đó, suy ra hay 
2) Xét phương trình x3 – 1 = 0 có ba nghiệm là 
x1 = 1; ;.
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1. Đăt và có các tính chất sau
a)	 + = -1
b) 	
c) 	 
d) 	
e)	 (k – nguyên).
Trở lại bài toán, theo công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
Lấy đạo hàm hai vế của đẳng thức trên
 sau đó nhân hai vế của đẳng thức mới thu được này với x 
Từ đây lần lượt cho ta được
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có
20[219 + (1 + )19 + 2(1 + 2)19 ] = 3S - .
Mặt khác 	(1 + )19 = ,
	 	2(1 +2)19 = .
Vậy 3S = 1 + 20(219 – 2) = 10.220 – 39 nên S = .
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp của số phức z, biết rằng
a) 	
b) 
Bài 2. 1) Cho Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
2) Cho Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
3) Cho Tìm môđun của số phức 
4) Cho là hai nghiệm của phương trình Tính 
5) Cho là hai nghiệm của phương trình Tính 
6) Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn và Tính mô đun .
7) Cho số phức z thỏa mãn Tính .
8) Cho số phức z thỏa mãn Tìm 
9) Tính môđun của số phức z biết rằng 
10) Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện .
Tính .
11) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện tìm số phức có môđun nhỏ nhất, lớn nhất.
12) Tìm giá trị nhỏ nhất của biết là một số thực. 
13) Biết rằng số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của .
14) Cho ba số phức đều có môđun bằng 1. Chứng minh rằng 
15) Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãnthì .
16) Cho số phức z. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau xảy ra 
17) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có
2. BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA MỘT SỐ PHỨC
VD3. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn 
a) 	b) 	c) .
HD. Giả sử là điểm biểu diễn của số phức .
a) 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là đường thẳng có phương trình y = x.
b) 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn là elip 
c) , trong đó Như vậy tập hợp các điểm M chính là elip (E) có hai tiêu điểm và trục lớn bằng 10, 
VD4. Cho số phức z thỏa mãn 
a) Chứng minh rằng 
b) Tìm số phức z có môđun lớn nhất.
HD. a) Gọi và là điểm biểu diễn của z trên mặt phẳng Oxy, vì nên M thuộc hình tròn tâm bán kính (kể cả biên). Xét hình tròn tâm bán kính (kể cả biên). Nhận thấy nên nằm bên trong . Mà M thuộc nên M cũng thuộc , tức là suy ra hay (đpcm).
b) Rõ ràng với O(0;0) và thuộc . Gốc tọa độ O lại thuộc biên của . Do vậy lớn nhất khi M đối xứng với O qua tức là Vậy, trong các số phức z thỏa mãn thì số phức có môđun lớn nhất (khi đó 
VD5. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho số có acgumen bằng .
HD. Gọi z= x+ yi (x,y ) ta có 
Vì số phức có acgumen bằng nên ta có
Từ đó suy ra y>0 (1) và Từ (1) và (2) ta có tập hợp các điểm M là phần đường tròn (2) nằm ở phía trên trục thực Ox.
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 3. Tìm tập hợp các điểm là biểu diễn hình học của số phức z thỏa mãn
5) là số thuần ảo. 	
6) và . 
Bài 4. Cho số phức z thỏa mãn 
a) Chứng minh rằng 
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của 
3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
Phương pháp 1. Sử dụng các phép toán trên tập số phức, các phép biến đổi tương đương, điều kiện để hai số phức bằng nhau ...
VD6. Giải phương trình 
HD. 
Vậy 
Phương pháp 2. Giả sử số phức z cần tìm có dạng đại số , sau đó tìm ra x và y.
VD7. Giải phương trình 
HD. Giả sử thì Phương trình đã cho trở thành	
Vậy 
Phương pháp 3. Để giải phương trình dạng ta có thể tính gọi là một căn bậc hai của khi đó phương trình có nghiệm
VD8. Giải phương trình 
HD. Điều kiện Ta biến đổi phương trình về Khi đó Một căn bậc hai của là (xem VD1b). Dẫn tới hoặc Đối chiếu với điều kiện suy ra phương trình đã cho có một nghiệm z = 2i.
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 5. Giải phương trình 	
Bài 6. 1) Tìm số phức z thỏa mãn và 
2) Tìm số phức z thỏa mãn và là số thuần ảo.
3) Cho số phức z thỏa mãn Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
4) Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện và là một số thuần ảo.
5) Tìm tất cả các số phức z biết .
6) Tìm số phức z biết .
7) Tìm phần ảo của số phức z biết .
8) Tìm số phức z thỏa mãn và z2 là số thuần ảo.
9) Tìm số phức z biết .
10) Tìm phần thực và phần ảo của số phức .
11) Tìm số phức z thỏa mãn và có một acgumen là .
12) Tìm số phức z thỏa mãn và là số thực
13) Tìm phần thực, phần ảo của số phức sau 
.
Bài 7. Giải phương trình 	
4. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC
VD9. Cho số phức z thỏa mãn Tính 
HD. Từ suy ra do đó 
 và 
Vậy 
VD10. Chứng minh rằng
a) .
b) .
HD. a) Đặt hay .
Mặt khác 
Vì nên và , suy ra
Do đó .
b) Xét phương trình . Dễ thấy các nghiệm của phương trình là các căn bậc 7 của số -1. Biểu diễn ở dạng lượng giác và đặt ta có
nên và với Theo định lí Vièt, phương trình có tổng các nghiệm bằng 0 nên tổng phần thực của các nghiệm đó bằng 0. Do đó
VD11. Tính tổng ()
HD. Đặt ta có 
Ta có
Nên
Mặt khác
Vậy
BÀI TẬP THAM KHẢO
Bài 8. Chứng minh công thức
Bài 9. Cho a, b, c là các số thực sao cho
 Chứng minh rằng
Bài 10. Cho số phức z thỏa mãn Tính 
CHƯƠNG 4
KẾT QUẢ KIỂM CHỨNG
Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên, các em học sinh đã hiểu rõ hơn một số tính chất cơ bản của các phép toán số phức, sự giống nhau, điểm khác nhau giữa các phép toán số phức với các phép toán số thực, linh hoạt hơn trong việc dùng kiến thức về số phức để giải toán, góp phần bồi dưỡng niềm ®am mª, yªu thÝch m«n to¸n cho học sinh, n¨ng lùc t­ duy vµ kü n¨ng gi¶i to¸n cña häc sinh ®­îc n©ng lên, nhÊt lµ häc sinh kh¸ giái. Häc sinh dÔ dµng tiÕp thu kiÕn thøc vµ cã kĩ n¨ng gi¶i c¸c bµi to¸n t­¬ng tù, trªn c¬ së ®ã häc sinh cã thÓ gi¶i ®­îc c¸c bµi to¸n tæng hîp. 
§èi víi bµi kiÓm tra c¸c em tr×nh bµy chÆt chÏ logic, kÕt qu¶ cao, víi kÕt qu¶ nh­ sau 
N¨m häc
Líp
SÜ sè
Sè häc sinh ®¹t ®iÓm xi
4
5
6
7
8
9
10
2012 -2013
12A11
45
3
2
11
14
9
6
0
12A3
46
0
3
8
15
9
9
2
2013
-
2014
12A5
48
2
11
10
12
5
6
2
12A9
32
0
1
15
5
3
2
7
KẾT LUẬN
Qua đề tài này, tôi nhận thấy
1) Đây là chủ đề mới đối với học sinh, do đó giáo viên nên có bước chuẩn bị tốt về kiến thức, phương pháp và tâm thế cho riêng mình, hướng dẫn học sinh tiếp cận với kiến thức một cách tự nhiên, nhẹ nhàng.
	2) Các kiến thức lựa chọn để cung cấp cho học sinh cần được giáo viên cân nhắc kĩ lưỡng, căn cứ vào nội dung chương trình, chuẩn kiến thức - kĩ năng, căn cứ vào phạm vi các đề thi ĐH - CĐ và thi HSG, căn cứ vào đối tượng học sinh. Gi¸o viªn nên h­íng dÉn häc sinh gi¶i to¸n b»ng c¸ch ph©n lo¹i c¸c d¹ng to¸n vÒ sè phøc vµ øng dông, từ đó häc sinh n©ng cao ®­îc kh¶ n¨ng t­ duy vµ tÝnh s¸ng t¹o trong gi¶i to¸n, ®ång thêi còng lµm cho häc sinh hiÓu râ ®­îc vai trß vµ ý nghÜa cña ph­¬ng ph¸p. Không nên lựa chọn các vấn đề quá khó hoặc rất ít gặp, gây ra sự quá tải cho học sinh, cũng không nên chỉ đề cập tới các vấn đề đơn giản để tránh sự nhàm chán và tránh thái độ chủ quan ở học sinh.
	3) Giáo viên nên hướng dẫn và khích lệ học sinh phương pháp tự học, tự đọc tài liệu tham khảo, tạo cho học sinh nhận thức rõ động lực học tập của mình, nâng cao sự tự giác, sự sáng tạo trong học tập, có như vậy việc học tập mới có nhiều tiến bộ. Hiện nay, các sách tham khảo về chủ đề này rất nhiều, nếu giáo viên tạo được phong trào tự học, tự đọc tài liệu tham khảo trong học sinh thì việc giảng dạy vừa đỡ vất vả hơn, lại vừa mang lại hiệu quả cao hơn.
4) Ngay từ lớp 10, giáo viên nên hình thành cho học sinh phương pháp áp dụng các kiến thức về tập hợp, tập hợp số để giải toán, từ đó dần dần hình thành cho học sinh những hiểu biết sâu hơn về hệ thông số, giúp cho học sinh lĩnh hội các kiến thức về số phức một cách hệ thống, chủ động và tự nhiên.
Tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của BGH, các đồng nghiệp và các em học sinh trong suốt quá trình tôi giảng dạy tại trường cũng như trong quá trình hoàn thiện đề tài này.
	Tác giả	
NGUYỄN VĂN XÁ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]	Trần Văn Hạo (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban cơ bản, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.
[2]	Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Bộ SGK, SBT, SGV Toán 10, 11, 12, ban KHTN, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.
[3]	Bộ Giáo dục và Đào tạo, Tài liệu hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng, NXB Giáo dục Việt Nam, 2013.
[4]	Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Đổi mới phương pháp dạy học và những ví dụ minh họa, Toán 10, 11, 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2012.
[5]	Trần Thành Minh, Trần Đức Huyên, Nguyễn Văn Minh, Giải toán Nguyên hàm - Tích phân và Số phức 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 1999.
[6]	Võ Anh Dũng (chủ biên), Giải toán Nguyên hàm - Tích phân và Số phức 12, NXB Giáo dục Việt Nam, 2011.
[7]	Đề thi TN THPT, ĐH-CĐ và thi HSG các năm.
[8]	Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, NXB Giáo dục Việt Nam.
[9]	Tài liệu trên internet.
NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CỦA HĐKH
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................