Đề tài Chứng minh các công thức tính momen quán tính của vật rắn quay quanh một trục cố định giúp học sinh hiểu rõ về bản chất của momen quán tính và hình thành kĩ năng giải toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI
CHỨNG MINH CÁC CÔNG THỨC TÍNH MOMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH GIÚP HỌC SINH HIỂU RÕ VỀ BẢN CHẤT CỦA MOMEN QUÁN TÍNH VÀ HÌNH THÀNH KĨ NĂNG GIẢI TOÁN
Người thực hiện: Lê Duy Dũng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Vật Lý
THANH HOÁ NĂM 2014
Trang
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài........................................................................................................................
1
2. Mục đích nghiên cứu.
1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
1
4. Giả thuyết khoa học...
1
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
1
6. Phương pháp nghiên cứu.......
1
7. Đóng góp của đề tài
1
B. NỘI DUNG
I. Một số kiến thức trọng tâm
2
1) Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực...
2
2) Momen quán tính
2
3) Định lí Huyghen (Stainơ - Stenơ).
3
II. Bài tập
PHẦN 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN...
4
PHẦN 2. CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO..
7
PHẦN 3. CÁC BÀI TẬP HỌC SINH TỰ GIẢI.....................................................
11
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.........................................................................................
12
1. Mục đích thực nghiệm sư phạm..................................................................................
12
2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm..................................................................................
12
3. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm...................................................................................
12
4. Kết quả thực nghiệm.............................................................................................................
12
 4.1. Lựa chọn tiêu chí đánh giá..................................................................................
12
 4.2. Đánh giá kết quả.........................................................................................................
12
D. LỜI KẾT..
13
TÀI LIỆU THAM KHẢO...
14
A. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 	Trong chương I Vật lí 12 ban Nâng cao các công thức tính momen quán tính được đưa ra nhưng không được chứng minh, học sinh phải thừa nhận. Một mặt do hạn chế bởi kiến thức toán học của học sinh tại thời điểm này, hoặc có thể là do sự phân bổ kiến thức trong bài.
	Việc áp đặt công thức như vậy không gây được sự hứng thú đối với những học sinh khá giỏi. Với kiến thức toán đã có của học sinh, với các tính chất của momen quán tính đã được trình bày trong sách, ta hoàn toàn có thể hướng dẫn học sinh tự đọc, tự nghiên cứu xây dựng các công thức. Khi đó vấn đề này chỉ còn là một dạng bài tập nâng cao đối với các em mà thôi.
2. Mục đích nghiên cứu
 	 Vận dụng các kiến thức toán học để chứng minh các công thức momen quán tính. 
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu
	- Momen quán tính của các vật rắn có trục quay cố định.
	* Phạm vi nghiên cứu
- Các công thức momen quán tính trong chương 1, Vật lý chất rắn lớp 12 Nâng cao. 
4. Giả thuyết khoa học
- Xem các công thức về momen quán tính trong chương 1, SGK Vật lý lớp 12 Nâng cao như các bài tập để học sinh chứng minh. 
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
	- Tìm hiểu về nội dung kiến thức.
- Tìm hiểu thực trạng dạy học.
6. Phương pháp nghiên cứu
* Nghiên cứu lí luận
	- Nghiên cứu về momen quán tính của vật rắn quay quanh một trục cố định.
* Phương pháp điều tra
	- Tìm hiểu thực tế dạy và học phần momen quán tính.
	- Phân tích kết quả học tập và ý kiến của học sinh.
7. Đóng góp của đề tài
- Chứng minh được các công thức tính momen quán tính của các vật rắn có trục quay cố định.
B. NỘI DUNG
I. Các kiến thức trọng tâm
r
m
(Hình 1.1)
1) Mối liên hệ giữa gia tốc góc và momen lực.
Ta xét trường hợp đơn giản nhất: Vật rắn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m gắn vào đầu một thanh rất nhẹ, có độ dài r. Vật chỉ có thể quay trên mặt phẳng nhẵn nằm ngang xung quanh một trục thẳng đứng đi qua đầu O của thanh 
( Hình 1.1). Tác dụng vào quả cầu một lực theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo tròn của quả cầu. Lực gây ra cho vật gia tốc tiếp tuyến là : Ft = mat (1.2) Momen của lực đối với trục quay qua O: M = Ft. r (1.3)
Thay (1.2) vào (1.3) ta được: M = m.at .r = m(r)r; M = (mr2) (1.4)
Chú ý: at = r
Bây giờ, ta hãy xét trường hợp vật rắn gồm nhiều chất điểm khối lượng mi, mj ,  ở cách trục quay những khoảng cách ri, rj,  khác nhau. 
Momen lực tác dụng lên mỗi chất điểm liên hệ với gia tốc góc bằng phương trình: Mi = (miri2) (1.5)
Vì các chất điểm của chất rắn có cùng gia tốc góc, nên tổng các momen lực tác dụng lên toàn bộ vật rắn liên hệ với gia tốc góc bằng phương trình: 
 (1.6)
2) Momen quán tính.
Phương trình (1.6) cho thấy với cùng momen lực M tác dụng, vật rắn nào có lớn thì gia tốc góc nhỏ, nghĩa là trong chuyển động quay, vật đó có quán tính lớn hơn.
Đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật quay và được gọi là momen quán tính, kí hiệu là I.
 Momen quán tính I = trong phương trình (1.6) có vai trò như khối lượng m trong phương trình F = ma
Momen quán tính I đối với một trục là đại lượng đặc trưng cho
mức quán tính của vật rắn trong chuyển động quay quanh trục ấy.
I = (1.7)
- Độ lớn của momen quán tính của một vật rắn không chỉ phụ thuộc khối lượng của vật rần mà còn phụ thuộc vào cả sự phân bố khối lượng xa hay gần trục quay. 
- Momen quán tính có đơn vị là: kg.m2.
Δ
l
Momen quán tính I của một số vật rắn đồng chất khối lượng m có trục quay là trục đối xứng Δ
 - Vật rắn là thanh có chiều dài l, tiết diện nhỏ: 
R
Δ
 - Vật rắn là vành tròn hoặc trụ rỗng bán kính R: 
 I = mR2	
Δ
R
 - Vật rắn là đĩa tròn mỏng hoặc hình trụ đặc bán kính R:
Δ
R
- Vật rắn là khối cầu đặc bán kính R: 
3) Định lí Huyghen (Stainơ - Stenơ)	IO = IG + md2
Momen quán tính đối với trục đã cho bằng momen quán tính đối với trục đi qua khối tâm song song với trục đó cộng với tích khối lượng của vật và bình phương khoảng cách 2 trục.
II. Bài tập
Phần 1: CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1.	 Một thanh dài đồng chất, tiết diện nhỏ, có khối lượng m, chiều dài của thanh là l quay quanh trục đi qua điểm chính giữa của thanh và vuông góc với thanh (thanh dài đồng chất, tiết diện nhỏ quay quanh trung trực). Tìm momen quán tính của thanh.
Δ
l
r
dr
Giải
Chia thanh thành nhiều phần bằng nhau, mỗi phần xem như một chất điểm. Xét phần tử cách trục quay một đoạn r, dài dr có khối lượng 
Momen quán tính của phần tử này là: 
Momen quán tính của thanh là:
Bài 2.	 Một thanh dài đồng chất, tiết diện nhỏ, có khối lượng m, chiều dài của thanh là l quay quanh trục đi qua một đầu thanh và vuông góc với thanh. Tìm momen quán tính của thanh.
Δ
l
r
dr
Giải
Cách 1: 
Chia thanh thành nhiều phần bằng nhau, mỗi phần xem như một chất điểm. Xét phần tử cách trục quay r, dài dr có khối lượng 
Momen quán tính của phần tử này là	
Momen quán tính của thanh là	
Cách 2:	Dựa vào công thức Huyghen và kết quả bài 1 ta có: 
α
dm
O
dα
I = 
Bài 3.	 Tìm momen quán tính của vành tròn mỏng khối lượng m, bán kính R đối với trục quay vuông góc với mặt phẳng của vành tại tâm.
Giải
Cách 1:
Chia vành tròn thành nhiều phần bằng nhau, mỗi phần xem như một chất điểm. Xét phần tử có momen quán tính đối với trục vuông góc với mặt phẳng của vòng tại tâm là: 
Momen quán tích của cả vòng đối với trục nói trên là:
Cách 2: Sử dụng tính chất cộng của momen quán tính
Xét phần tử Dm trên vòng, có DI = DmR2
Þ	
Bài 4.	 Tìm momen quán tính của ống trụ mỏng đồng chất, khối lượng m, bán kính R đối với trục quay trùng với trục của hình trụ 
Giải
Nhận xét: Tương tự bài 3, ta chia ống trụ trên thành nhiều phần bằng nhau, mỗi phần là một vành tròn mỏng khối lượng Dm, bán kính R trục quay vuông góc với mặt phẳng của vành tại tâm.
Xét một vòng tròn vuông góc với trục, có khối lượng Dm, có momen quán tính DI = DmR2 (theo bài 3)
Sử dụng tính chất cộng của momen ta có momen quán tính của cả ống:
R
Bài 5.	 Tìm momen quán tính của đĩa tròn mỏng đồng chất, khối lượng m, bán kính R đối với trục vuông góc với mặt đĩa tại tâm.
Giải
Nhận xét: Tương tự bài 3, ta chia đĩa tròn trên thành nhiều phần, mỗi phần là một vành tròn mỏng khối lượng dm, bán kính r và bề rộng là dr rất nhỏ, có trục quay vuông góc với mặt phẳng của vành tại tâm.
r
dr
O
R
Xét một vành tròn bán kính r, rộng dr, có khối lượng:
dm = 
Momen quán tính của một vành tròn là: 
Vậy momen quán tính của đĩa tròn là:	
Bài 6. Tìm momen quán tính của hình trụ đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R đối với trục quay trùng với trục của hình trụ.
Giải
Nhận xét: Chia hình trụ thành nhiều phần như nhau, mỗi phần là một đĩa tròn mỏng, khối lượng , bán kính R, trục quay trùng với trục của hình trụ. 
Theo bài 5, mỗi một đĩa có momen quán tính là: 
Sử dụng tính chất cộng của momen
 Þ 
Bài 7.	 Tìm momen quán tính của quả cầu rỗng đồng chất, khối lượng m, bán kính R quay quanh đường kính bất kì.
O
R
r
j
Giải
Coi quả cầu rỗng gồm vô số các vành tròn bán kính: r = R.cosj, có khối lượng: dm = r.2pr.dr
dm = 
dI = 
I = = I = = 
Bài 8.	 Tìm momen quán tính của quả cầu đặc đồng chất, khối lượng m, bán kính R quay quanh đường kính bất kì.
Giải
Coi quả cầu đặc gồm các vỏ cầu rỗng đồng tâm bán kính r, khối lượng
dm = 
dI = 
I = = 
Chú ý: 
- Có thể dựa vào bài 5, coi quả cầu đặc gồm nhiều đĩa đặc đồng trục, bán kính Rcosj. 
- Hoặc giải trực tiếp bằng cách xét phần tử dm có thể tích dV = r2sinj.cosj.dj nhưng nặng toán học hơn.
Phần 2. CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 9.	 Tìm momen quán tính của vòng tròn đồng chất, có khối lượng m, bán kính R, quay quanh một trục bất kỳ Oz đi qua tâm và nằm trong mặt phẳng của vòng tròn.
Giải
O
z
R
r
dm
j
Chia vòng tròn thành nhiều phần bằng nhau, mỗi phần xem như một chất điểm. Xét một chất điểm có khối lượng: dm = rR.dj 
Momen quán tính của chất điểm đó:
dI = dm.r2 = rR.dj(Rcosj)2 
 dI = rR3cos2j.dj = rR3
 dI = .	
Lấy tích phân từ 0 đến 2 ta được momen quán tính của vòng tròn
I = rR3j| + sin2j| = rR3j| = rR3 = R3 = mR2
Bài 10. Tìm momen quán tính của vành tròn mỏng đồng chất, khối lượng m, bán kính trong và ngoài lần lượt là R1 và R2 đối với trục quay vuông góc với mặt phẳng của vòng tại tâm.
Giải
Cách 1:
Chia vành tròn trên thành nhiều vành tròn. Xét vành tròn mỏng bán kính r, bề dày dr (rất nhỏ), khối lượng dm = r.2r.dr có momen quán tính	
j
Momen quán tính của ống trụ:
 = 	(1)
Với:	
Thay vào (1), được	
Cách 2:
Xét phần tử cách tâm r, dày dr, rộng rdj, có khối lượng dm = r.r.dr.dj
j
dI = r.r3dr.dj Þ 
 = 
 I = = 
Bài 11. Tìm momen quán tính của ống trụ dày, đồng chất, bán kính trong là R1, bán kính ngoài là R2. Ống quay quanh trục giữa. 
R1
R2
Giải
Nhận xét: Chia ống trụ dày thành nhiều ống trụ mỏng có cùng trục quay. Xét ống trụ mỏng bán kính r, dày dr, khối lượng dm = r.2.l.r.dr (l là chiều ống trụ) 
Momen quán tính của một ống trụ mỏng: 
Momen quán tính của ống trụ
 = (1)
Với: 	
Thay vào (1), được	
O
dz
z
h
z
R
r
Bài 12. Tính momen quán tính của một hình nón đặc, đồng chất, khối lượng m phân bố đều, bán kính đáy là R, đối với trục đối xứng của nó.
Giải
Chia hình nón thành các đĩa khối lượng dm vuông góc với trục quay, có khối lượng:
Mỗi đĩa có momen quán tính: với 
Lấy tích phân ta được momem quán tính của vật:	I = 
O1
O2
O
R/2
Bài 13. Một đĩa bằng đồng, mật độ đều, khối lượng riêng = 8,9.103kg/m3 có bề dày b = 4.10-3m, bán kính R = 5.10-2m. Đĩa bị khoét thủng 2 lỗ bán kính như hình vẽ. Tìm momen quán tính của đĩa đã bị khoét đối với trục vuông góc với đĩa và đi qua tâm O của đĩa.
Giải
* Momen quán tính của đĩa đặc đối với trục quay qua tâm, vuông góc với mặt đĩa:	
I = mR2 = IG = 
* Momen quán tính của đĩa đặc đối với trục vuông góc đĩa tại mép
Iz = IG + md2 = mR2 + mR2 = = 
IG = I + 2IO 	Þ	I = IG - 2IO = - 2= = 2,2.10-4 kgm2
a
Bài 14. Xác định momen quán tính của một thanh dài L, khối lượng m phân bố đều đối với trục đi qua điểm giữa của thanh và tạo với thanh một góc a. 
Giải
a
dx
x
Ta xét 1 phần tử dm có chiều dài dx thì momen quán tính của nó đối với trục quay là: dI = r2 dm = x2sin2a
Lấy tích phân ta được momen quán tính của vật:
Bài 15. Xác định momen quán tính của 1 tấm mỏng hình quạt tròn tâm O, bán kính R, góc ở tâm 2a đối với trục quay vuông góc với mặt phẳng tấm quạt tại O. Khối lượng phân bố đều với mật độ s
Giải
Xét phần tử cách tâm đoạn r, rộng rdj, dài dr, nặng dm = sr.dr.dj có momen quán tính: dI = r2dm = sr3drdj
Tích phân với j [0; 2a]; r[0; R]	 ta được momen quán tính của vật	
Þ	I = 2sa
Nếu gọi là khối lượng phân bố theo diện tích mặt quạt:
s = m/R2 thì I = asR4/2.
Phần 3. CÁC BÀI TẬP HỌC SINH TỰ GIẢI
Bài 16. Xác định momen quán tính của một thanh dài l đồng chất, khối lượng m đối với
	a.	trục song song với thanh và cách thanh một đoạn d.
	b.	trục vuông góc với thanh và cách điểm giữa của thanh một đoạn d.
	c.	trục thẳng góc với thanh và đi qua tâm của thanh.
Bài 17. Xác định momen quán tính của đĩa tròn đồng chất khối lượng m, bán kính R đối với trục là đường kính bất kì.
Bài 18. Tìm momen quán tính của Trái Đất đối với trục quay của nó. Coi Trái đất là khối cầu đồng chất bán kính 6400 km, khối lượng riêng trung bình 5,5.103 kg/m3.
Bài 19. Xác định momen quán tính của một vật đồng chất và đặc, khối lượng riêng r; có hình dạng là bán cầu bán kính R đối với một trục nằm trên đường kính của bán cầu.
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả. Thực nghiệm sư phạm nhằm trả lời các câu hỏi sau:
a. Yêu cầu học sinh tự tìm ra công thức tính momen quán tính có phát huy tính sáng tạo của học sinh không?
b. Bài tập đã xây dựng có tác dụng nâng cao chất lượng dạy và học không?
2. Đối tượng thực nghiệm sư phạm
Học sinh lớp 12A2, ban KHTN năm học 2013 - 2014 trường THPT Đông Sơn 2.
3. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm
- Đánh giá tính khả thi và hiệu quả của sáng kiến. Từ đó có sự điều chỉnh, bổ sung và hoàn thiện.
4. Kết quả thực nghiệm
4.1. Lựa chọn tiêu chí đánh giá
a) Đánh giá chất lượng và hiệu quả của quá trình
	Để đánh giá chất lượng và hiệu quả của quá trình tôi dựa vào mức độ lĩnh hội kiến thức và mức độ tư duy sáng tạo của HS.
	b) Đánh giá thái độ học tập của học sinh.
	Để đánh giá thái độ học tập của học sinh tôi dựa vào: 
	- Không khí lớp học, số học sinh tham gia làm bài có hiệu quả.
	- Ý thức làm bài tập của học sinh.
c) Tính khả thi của phương pháp đã nêu.
	Tính khả thi của quá trình được dựa vào tiêu chí sau đây:
	- Tính hiệu quả: Đối với sáng kiến trên đã phát huy được hiệu quả của quá trình dạy học.
	- Khả năng của học sinh: Việc vận dụng sáng kiến giúp HS tổng hợp kiến thức tốt, học sinh có thể giải nhiều dạng toán khác nhau, phát triển tư duy .
4.2. Đánh giá kết quả
a) Đánh giá định tính
	Việc xử sáng kiến đã xây dựng có tác dụng lớn trong việc bồi dưỡng tư duy cho học sinh, đặc biệt là kỹ năng tổng hợp kiến thức giúp học sinh nâng cao hiệu quả học tập. 
b) Đánh giá định lượng
	Các bài kiểm tra của lớp thực nghiệm sau khi thực hiện, được tiến hành chấm, xử lí kết quả theo phương pháp thống kê toán học cho kết quả tốt. 
 D. KẾT LUẬN
Xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân, từ thực tế nhiều năm giảng dạy ở trường THPT, bản thân tôi đúc rút thành kinh nghiệm mong rằng sẽ giúp cho học sinh tường minh hơn, hiểu sâu hơn và không nhớ máy móc các công thức về momem quán tính vốn chỉ nêu ra trong sách giáo khoa.
	Đề tài này đã được áp dụng cho học sinh lớp 12A2 - Trường THPT Đông Sơn 2, năm học 2013 – 2014, hầu hết học sinh đã nắm được cách tự tìm ra công thức tính momen quán tính và vận dụng rất tốt trong việc giải các bài tập liên quan. 
Trong các đề thi học sinh giỏi hiện nay có sử dụng các kiến thức toán khó như tích phân, phương trình vi phân... Để có đủ kĩ năng tính toán đòi hỏi phải có sự chuẩn bị cẩn thận cho học sinh. Dạng bài tập này là một trong những dạng bài tập mà ngoài việc giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất, tính chất của momen quán tính, vai trò của trục quay, sự phân bố khối lượng xa gần trục quay ... còn giúp hình thành kĩ năng giải toán, tránh được sự lúng túng khi gặp các bài toán khó.
Do thời gian có hạn nên đề tài này chưa được áp dụng rộng rãi và chắc chắn không tránh được những thiếu sót. Vì vậy rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn và được áp dụng phổ biến hơn trong những năm học tới. 
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hoá, ngày 20 tháng 05 năm 2014
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(ký, ghi rõ họ tên)
Lê Duy Dũng
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi HSG Thanh Hóa các năm từ 1999 - 2014.
2. Nguyễn Trần Trác - 289 bài toán cơ học lớp 12, nhà xuất bản trẻ, 1997
3. Vũ Thanh Khiết - Tuyển tập các bài toán cơ bản và nâng cao vật lý 12 trung học phổ thông – NXB ĐHQG, Hà Nội, 2008
4. Phạm Đức Cường - Tuyển tập các dạng bài tập trắc nghiệm vật lí 12 – NXB Hải Phòng, 2006.
5. Đề thi Vũ Thanh Khiết, Nguyễn Thế Khôi – Bài tập Vật lý 12 Nâng cao – NXB Giáo dục, 2008.