Đề tài Các dạng toán thi học sinh giỏi giải toán trên máy tính điện tử khoa học

CÁC DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI 
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ KHOA HỌC 
(Tập I: Trung học Cơ sở) 
Biên soạn: PGS TS Tạ Duy Phượng 
LỜI NÓI ĐẦU 
Tài liệu này được biên soạn cho lớp tập huấn giáo viên Giải toán trên máy tính 
điện tử năm học 2011-2012 của Sở Giáo dục và Đào tạo Hà Nội. Tài liệu được 
biên soạn dựa theo bản thảo cuốn sách Các dạng toán thi học sinh giỏi Giải 
toán trên máy tính điện tử khoa học, Tập I: Trung học Cơ sở. 
Tài liệu tập hợp các đề thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử và 
được chia làm tám Chương: Số nguyên, Số học, Đại số, Thống kê, Dãy số, 
Lượng giác, Hình học, và Các bài toán khác. Tác giả cố gắng phân loại tương 
đối đầy đủ và tỉ mỉ các dạng toán trong mỗi Chương. Các đề thi trong mỗi 
dạng được sắp xếp theo theo tiêu chí: Từ dễ đến khó, ưu tiên các đề thi những 
năm gần đây. Tuy nhiên, sắp xếp này có tính chất chủ quan và tương đối. Bạn 
đọc có thể sắp xếp lại theo quan điểm cá nhân. Do khuôn khổ của Tài liệu, các 
đề thi không có lời giải. Bạn đọc có thể tự giải hoặc xem lời giải chi tiết của 
phần lớn các đề thi trong Tài liệu tham khảo [1]-[10]. 
Tài liệu (và bản thảo cuốn sách) được biên soạn dựa trên các bài giảng tại các 
lớp Bồi dưỡng giáo viên từ năm 2000 đến nay. Xin chân thành cám ơn Bộ Giáo 
dục Đào tạo, các Sở Giáo dục Đào tạo các tỉnh, thành phố, đã tạo điều kiện để 
tác giả thực hiện các bài giảng và hoàn thiện bản thảo cuốn sách này. 
Do hạn chế về khuôn khổ của Tài liệu cũng như hạn chế về thời gian, thông tin 
và kiến thức của tác giả, Tài liệu chưa thể được gọi là hoàn chỉnh. Xin chân 
thành cảm ơn những ý kiến đóng góp. Thư từ trao đổi xin được gửi về địa chỉ: 
Tạ Duy Phượng, Viện Toán học, 18 Hoàng Quốc Việt, Hà Nội. 
Điện thoại: 0983605756; E-mail: tdphuong@math.ac.vn 
Hà Nội, tháng 9 năm 2012 
Tác giả 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 2
CÁC DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI 
GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆNTỬ KHOA HỌC 
(Tập 1: TRUNG HỌC CƠ SỞ) 
Chương 1 SỐ NGUYÊN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ 
Dạng toán 1 Học mà chơi – Chơi mà học 
Ngay cả học sinh lớp 4, lớp 5 cũng có thế sử dụng máy tính để nghiên cứu toán 
(phát hiện các qui luật ẩn tàng trong các số tự nhiên). Dưới đây là một số ví dụ. 
Bài 1.1 Hãy tính trên máy: 
1) 9 + 9 = (18) và 9 × 9 = (81); 
2) 24 + 3 = (27) và 24 × 3 = (72); 
3) 47 + 2 = (49) và 47 × 2 = (94); 
4) 263 + 2 = (265) và 263 × 2 = (526); 
5) 497 + 2 = (499) và 497 × 2 = (994). 
Điều thú vị ở đây là: Tổng và tích các số trong mỗi cặp chỉ khác nhau về vị trí 
các chữ số. Còn các số như vậy không?- Chưa có câu trả lời. 
Bài 1.2 Dùng máy tính để kiểm tra: 
2012×9999=20117988; 1909×9999=19088091. 
Qui luật: Nhân một số có bốn chữ số với 9999 được một số có 8 chữ số, bốn 
chữ số đầu chính là số đó bớt đi 1 đơn vị, bốn chữ số sau phụ với bốn chữ số đã 
cho để được 9999. 
Hãy kiểm tra trên máy tính và chứng minh qui luật trên. 
Bài 1.3 Dùng máy tính để phát hiện điều thú vị sau: 
3×4=(12); 
33×34=(1122); 
333×334=(111222); 
3333×3334=(11112222); 
33333×33334=(1111122222) 
Chứng minh rằng (mỗi nhóm có k chữ số 3): 
N N NN3 3 3 34 1 12 2 .
k k k k
⎛ ⎞ ×  =  ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bài 1.4 Dùng máy tính để kiểm tra bảng “cửu chương” sau và chứng minh: 
1) 123456789×9=111111111; 2) 123456789×18=222222222; 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 3
3) 123456789×27=333333333; 4) 123456789×36=444444444; 
5) 123456789×45=555555555; 6) 123456789×54=666666666; 
7) 123456789×63=777777777; 8) 123456789×9=888888888; 
9) 123456789×9=999999999. 
Bài 1.5 Hãy kiểm tra trên máy tính: Những cặp số sau đây có tích không đổi 
khi ta đổi chỗ các các chữ số trong mỗi thừa số. Có hay không những cặp số 
tương tự?- Chưa có câu trả lời. 
1) 12 × 42 = 21 × 24 = 504. 2) 12×63 = 21×36 = 756. 
3) 12 × 84 = 21 × 48 = 1008. 4) 13 × 62 = 31 × 26 = 806. 
5) 13 × 93 = 31 ×39 = 1209. 6) 14 ×82 = 41 ×28 = 1148. 
7) 23 × 64 = 32 × 46 = 1472. 8) 23×96 =32 ×69 = 2208. 
9) 24 × 63 = 42 × 36 = 1512. 10) 24 ×84= 42 ×48=2016. 
11) 26 × 93 = 62 × 39=2418. 12) 34 ×86 = 43 ×68 =2924. 
13) 36 × 84 = 63×48 = 3024. 14) 46 ×96=64 ×69= 4416. 
Bài 1.6 Viết chín số 1, 2, 3,..., 8, 9 thành bốn số: một số có ba chữ số và ba số 
có hai chữ số sao cho có thể chia bốn số đó thành hai cặp số có tích bằng nhau. 
Người ta mới chỉ biết 10 trường hợp sau đây: 
158×23 = 79×46=3634; 138×27=69×54=3726; 134×29=67×58=3886; 
174×23=69×58=4002; 146×29=58×73=4234; 186×27=54×93=5022; 
174×32 = 96×58=5568; 158×32=64×79=5056; 584×12=73×96=7008; 
532×14=98×76=7448. 
Đã chứng minh được rằng tích 532×14=98×76=7448 là lớn nhất có thể được, 
nhưng vẫn còn chưa biết tích 158×23 = 79×46=3634 có phải là nhỏ nhất 
không. Và cũng chưa biết còn số nào nữa có tính chất trên không. 
Hãy dùng máy tính để kiểm tra tính đúng đắn của các tích số trên và tìm thêm 
(hoặc chứng tỏ không còn) những số như vậy. 
Bài 1.7 1) Tách 9801 hoặc 3025 chia thành số có hai chữ số, cộng lại và đem 
bình phương, ta lại được chính số đó: 
 2 29801 (98 01) 99 .= + = 
2) Tương tự: 2 23025 (30 25) 55 .= + = 
Hãy kiểm tra trên máy tính. Còn các số như vậy không? 
Bài 1.8 Lấy số 37 nhân với tổng các chữ số của nó, mặt khác tìm tổng các lập 
phương của các chữ số đó, ta sẽ được hai kết quả như nhau: 
 3 337.(3 7) 3 7 .+ = + 
Tương tự, 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 4
 3 348.(4 8) 4 8 ;+ = + 3 3147.(14 7) 14 7 ;+ = + 
3 3111.(11 1) 11 1 ;+ = + 3 3 31.2.3.(1 2 3) 1 2 3 .+ + = + + 
Hãy kiểm tra trên máy tính. Còn có các số khác có tính chất này không? 
Bài 1.9 Hãy kiểm tra trên máy tính: Những số sau đây có tổng (tổng bình 
phương, tổng lập phương) các chữ số của chúng bằng tổng (tổng bình phương, 
tổng lập phương) của các chữ số viết theo thứ tự ngược lại (các số đối xứng với 
các số đã cho): 
1)12 32 43 56 67 87 18211 78 76 65 34 23 21.+ + + + + = = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 212 32 43 56 67 87 18211 78 76 65 34 23 21 .+ + + + + = = + + + + + 
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 312 32 43 56 67 87 1248885 78 76 65 34 23 21 .+ + + + + = = + + + + + 
2) 13 42 53 57 68 97 330 79 86 75 35 24 31.+ + + + + = = + + + + + 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 213 42 53 57 68 97 22024 79 86 75 35 24 31 .+ + + + + = = + + + + +
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 313 42 53 57 68 97 1637460 79 86 75 35 24 31 .+ + + + + = = + + + + + 
Bài toán: Tìm tất cả các bộ 6 số có hai chữ số thỏa mãn điều kiện trên. 
Bài 1.10 Kiểm tra trên máy tính các tổng sau và rút ra qui luật: 
1+2=3; 4+5+6=7+8; 9+10+11+12=13+14+15; 
16+17+18+19+20=21+22+23+24+25. 
Qui luật: Lấy số đầu tiên là 2n , cộng liên tiếp với n số tiếp theo 
( 2 1n + ,, 2n n+ ), kết quả bằng tổng của n số tiếp theo: 
( 2 1n n+ + ,, 2 2n n+ ). Nghĩa là, với mọi n ta có: 
2n +( 2 1n + )++( 2n n+ )=( 2 1n n+ + )++( 2 2n n+ ). (*) 
Bài 1.11 Trong các đẳng thức sau, vế trái và vế phải đều có những chữ số 
giống nhau: 
42: 3 = 4.3+2; 63: 3=6.3+3; 95: 5=9+5+5; (2+7).2.16=272+16 
102 2 1022− = ; 2(8 9) 289+ = ; 82 1 128− = ; 3 34.2 4 : 2 34 : 2.= = 
Hãy dùng máy tính để kiểm tra. Còn có các số khác có tính chất này không? 
Bài 1.12 Tổng của các số lẻ đầu tiên Hãy tính trên máy: 
1 + 3 = = (2); 1 + 3 + 5 = = (3); 
1 + 3 + 5 + 7 = = (4); 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = = (5). 
Chứng minh công thức tổng các số lẻ đầu tiên sau bằng qui nạp toán học: 
21 3 5 ... (2 1) .n n+ + + + − = 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 5
Dạng toán 2 Tính đúng kết quả vượt quá khả năng hiển thị trên màn 
hình của máy tính khoa học (kết quả vượt quá 10 chữ số) 
Một hạn chế của máy tính điện tử khoa học là khả năng hiển thị trên màn hình 
thường chỉ là 10 hoặc 12 chữ số. Vì vậy, nhiều bài toán không thể tính được 
trên máy tính điện tử khoa học, nếu không có sáng tạo trong sử dụng máy tính. 
Thí dụ sau đây minh họa điều đó. 
Bài 2.1 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2007-2008) 
Tính giá trị của biểu thức: 
2 2A 135791 246824 .= + 
Bài 2.2 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, lớp 9, 2004) 
Tính kết quả đúng của các tích sau: 
20032003 20042004;M = × 2222255555 2222266666.N = × 
Bài 2.3 (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế, Trung học Cơ sở, 01.02. 2007) 
Tính kết quả đúng (không sai số) của các tích sau: 
1) P = 11232006×11232007; 2) Q = 7777755555×7777799999 
Bài 2.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, Lớp 8-9, 2005) 
Tính kết quả đúng của các tích sau: 
3344355664 3333377777;M = × 3123456 .N = 
Bài 2.5 (Thi chọn đội tuyển Phú Thọ, Lớp 12 THBT, 2005) 
Tìm số các chữ số của: 3659893456789325678 342973489379256.P = × 
Bài 2.6 (Chọn đội tuyển thi Khu vực, Sở GD ĐT Lâm Đồng, 2004) 
Tính tổng các chữ số của (999 995)2 . 
Bài 2.7 (Phòng Giáo dục và Đào tạo Đông Triều, 2011-2012) 
Tính A = 999 999 9993 . 
Bài 2.8 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, THCS, 01.02.2007) 
Tính chính xác giá trị của biểu thức sau (nêu quy trình bấm phím) : 
P 3 33 333 ... 33...33,= + + + + 
trong đó chữ số cuối cùng gồm 13 chữ số 3. 
Bài 2.9 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010) 
Tính đúng tổng: 
 S = 5 5 5 51 2 3 ... 75 .+ + + + 
Tính đúng tích: 
 M = 1.2.319.20 (M=20!). 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 6
Dạng toán 3 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a cho 
một số tự nhiên b 
Dạng toán 3.1 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a có không 
quá 10 chữ số cho một số tự nhiên b trên máy tính điện tử 
Bài 3.1 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, lớp 6-7-8, 2001) 
1) Viết một qui trình bấm phím để tìm số dư khi chia 18901969 cho 2382001. 
2) Tìm số dư khi chia 18901969 cho 2382001. 
3) Viết qui trình bấm phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047. 
Bài 3.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, 2002-2003) 
Tìm thương và số dư của phép chia: 
(Lớp 12 Trung học phổ thông) số 123456789 cho 23456. 
(Lớp 12 Trung học Bổ túc) số 3456789 cho 23456. 
Bài 3.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, 2001-2002) 
(Lớp 6) Chia 6032002 cho 1905 có số dư là 1r . Chia 1r cho 209 có số dư là 
2r . Tìm 2.r 
(Lớp 8) Chia 19082002 cho 2707 có số dư là 1r . Chia 1r cho 209 có số dư là 
2r . Tìm 2.r 
(Lớp 8) Viết qui trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 19052002 cho 
20969. 
(Lớp 9) Viết qui trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 26031931 cho 
280202. 
Bài 3.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, lớp 9, 2002-2003) 
Viết qui trình bấm phím tìm phần dư của phép chia 21021961 cho 1781989. 
Bài 3.5 (Chọn đội tuyển. Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh, 3) 
Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng số đó khi chia cho 5 dư 3 và khi chia 
cho 619 dư 237. 
Dạng toán 3.2 Tìm thương và số dư khi chia một số tự nhiên a vượt quá 
10 chữ số (vượt quá khả năng hiển thị của máy) cho một số tự nhiên b 
Bài 3.6 (Bộ Giáo dục và Đào tạo. Trung học Cơ sở, 2006) 
Tìm số dư trong mỗi phép chia sau: 
a) 103103103: 2006; 
b) 30419753041975: 151975; 
c) 103200610320061032006: 2010. 
Bài 3.7 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh, THCS, 2000-2001) 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 7
Tìm số dư trong phép chia: 
a) 1234567890987654321:123456; b) 157 : 2001. 
Bài 3.8 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở, 2007-2008) 
Tìm các số a và b biết 686430 8a b chia hết cho 2008. 
Bài 3.9 (Trường Phổ thông Trung học Trần Đại Nghĩa, lớp 6, 2001) 
Tìm số dư trong phép chia 175 : 2001. 
Bài 3.10 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, lớp 12, 2003) 
Tìm số dư khi chia số 20102001 cho số 2003. 
Bài 3.11 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010) 
Tìm số dư khi chia 20102009 cho 2008. 
Bài 3.12 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, 28.11.2010) 
Tìm số dư trong phép chia 2811 cho 2010. 
Bài 3.13 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2009-2010) 
Tìm số dư (trình bày cách giải) trong các phép chia sau: 
1) 20092010: 2011; 
2) 22009201020112012: 2020; 
3) 1234567890987654321: 2010. 
Bài 3.14 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 9, 2009-2010) 
Tìm số dư khi chia S = 25 + 210 + 215+ + 245 + 250 cho 30. 
Bài 3.15 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi, lớp 9, 2009-2010) 
1) Tìm số dư trong phép chia 22010 cho 49. 
2) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số biết rằng: Số đó chia cho 17 dư 2, 
chia cho 29 dư 5. 
Dạng toán 4 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố 
Bài 4.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, lớp 9 Trung học Cơ sở, 10.2.2009) 
Phân tích ra thừa số nguyên tố số P = 2450250. 
Bài 4.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, Trung học Cơ sở, 2003-2004) 
Phân tích các số 20387 và 139231 ra thừa số nguyên tố. 
Bài 4.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, THCS, 01.02.2007) 
Phân tích số 9405342019 ra thừa số nguyên tố. 
Bài 4.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, lớp 9, 01.12. 2006) 
Phân tích thành thừa số nguyên tố các số sau: 
252633033 và 8863701824. 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 8
Bài 4.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010) 
Phân tích số 311875250 thành tích các thừa số nguyên tố. 
Bài 4.6 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, Trung học Cơ sở, 2003-2004) 
Phân tích các số 20387 và 139231 ra thừa số nguyên tố. 
Bài 4.7 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, THCS, 2005-2006) 
Phân tích các số 252633033 và 8863701824 ra thừa số nguyên tố. 
Bài 4.8 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, Trung học Cơ sở, 2007-2008) 
Phân tích các số 8563513664 và 244290303 ra thừa số nguyên tố. 
Bài 4.9 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, Lớp 9, 2003) 
Hãy tìm tất cả các ước số của –2005. 
Bài 4.10 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, 2001. Đề chính thức) 
(Lớp 10-11) Tìm các ước nguyên tố nhỏ nhất và lớn nhất của số 2 2215 314+ . 
(Lớp 10) Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 
1 2 3 4x y z mà chia hết cho 7. 
(Lớp 11) Tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong các số tự nhiên có dạng 
1 2 3 4x y z mà chia hết cho 13. 
Bài 4.11 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh, Lớp 9, 11.1.2009) 
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên là bội của 2009 có dạng 7 *13*1. 
Bài 4.12 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, Lớp 12, 2002-2003) 
Số 112 1− là hợp số hay nguyên tố? 
Dạng toán 5 Tìm ước số chung lớn nhất (USCLN) và bội số chung nhỏ 
nhất của hai hay nhiều số 
Bài 5.1 (Đề chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính. Sở Giáo 
dục Đào tạo Thái Nguyên, lớp 9, 2002- 2003) 
Tìm ước số chung lớn nhất của 7729 và 11659. 
Bài 5.2 (Đề chọn đội tuyển thi học sinh giỏi Giải toán trên máy tính, Sở Giáo 
dục và Đào tạo Thái Nguyên, lớp 12, 2004) 
Tìm USCLN của hai số 1754298000a = và 75125232.b = 
Bài 5.3 (Sở Giáo dục Đào tạo Cần Thơ, 2002- 2003) 
(Lớp 9) Tìm ước số chung lớn nhất của hai số 11264845 và 33790075. 
(Lớp 9) Tìm ước số chung lớn nhất của hai số sau: 1582370a = và 
1099647.b = 
Bài 5.4 (Bộ Giáo dục Đào tạo, lớp 12, 2002) 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 9
Tìm ước số chung lớn nhất của hai số sau đây: 
a = 24614205, b = 10719433. 
Bài 5.5 (Sở Giáo dục Đào tạo Cần Thơ, lớp 6, lớp 8, 2001- 2002) 
Tìm các ước chung của bốn số sau: 222222; 506506; 714714; 999999. 
Bài 5.6 (Sở Giáo dục Đào tạo Thp Hồ Chí Minh, Trung học cơ sở, 2000-2001) 
Tìm USCLN và BSCNN của: 
a) 9148 và 16632; b) 75125232 và 175429800. 
Bài 5.7 (Trung học Cơ sở, Sở Giáo dục và Đào tạo Hòa Bình, 2005-2006) 
Tìm USCLN và BSCNN của hai số a =457410, b =831615. 
Bài 5.8 (Trung học Cơ sở, Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, 2004-2005) 
Tìm USCLN và BSCNN của hai số 
1) a =9148, b =16632; 2) a =75125232, b =175429800. 
Bài 5.9 (Tạp chí Toán Tuổi thơ 2, số 25 và 27, tháng 3 và tháng 5, 2005) 
Tìm USCLN và BSCNN của hai số a =3022005, b =7503021930. 
Bài 5.10 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, tháng 11, 2004 và tháng 1, 2005) 
Tìm USCLN và BSCNN của hai số a =1234566, b =9876546. 
Bài 5.11 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh, Lớp 9, 2001) 
Tìm USCLN và BSCNN của hai số: 
1) 4047 và 8316. 2) 150250464 và 350859600. 
Bài 5.12 (Chọn đội tuyển. Sở Giáo dục và Đào tạo thp Hồ Chí Minh, 2003) 
Tìm UCLN và BCNN của hai số 2419580247 và 3802197531. 
Bài 5.13 (Phòng GD và ĐT huyện Bố Trạch, Quảng Bình, lớp 9, 4.7.2008) 
Tìm USCLN của 40096920, 9474372 và 51135438. 
Bài 5.14 (Sở Giáo dục Đào tạo Thừa Thiên-Huế, lớp 8, 9, 11, 2005) 
Cho ba số A =1193984; B =157993; C =38743. 
Tìm UCLN của ba số , ,A B C ; 
Tìm BCNN của ba số , ,A B C với kết quả đúng. 
Bài 5.15 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010) 
Tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của ba số a = 9200191; 
b=2729727; c = 13244321. 
Dạng toán 6 Bài tập về các chữ số trong một số 
Bài 6.1 (Chọn đội tuyển. Sở Giáo dục và Đào tạo thp Hồ Chí Minh, 2003) 
1) Tìm chữ số hàng đơn vị của số : 172002 
2) Tìm chữ số thập phân thứ 456456 sau dấu phẩy trong phép chia 13 cho 23. 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 10
Bài 6.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi, lớp 9, 2009-2010) 
1) Viết quy trình bấm phím liên tục tìm chu kỳ của phần thập phân trong kết 
quả phép chia 85 cho 47. 
2) Chữ số thập phân thứ 2010 sau dấu phảy của phép chia ở câu 2) là số nào? 
Bài 6.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, lớp 9, 01.12. 2006) 
Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 112007 kể từ dấu phẩy của số thập phân vô hạn 
tuần hoàn của số hữu tỉ 
10000
29
. 
Bài 6.4 (Chọn đội tuyển thi Khu vực, Sở GD ĐT Lâm Đồng, 2004) 
Tính tổng của 12 chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy của 
121
11
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
Bài 6.5 (Sở Giáo dục Đào tạo Thp Hồ Chí Minh, Trung học cơ sở, 2000-2001) 
Chữ số thập phân thứ 2001 sau dấu phẩy là chữ số nào khi ta: 
a) chia 1 cho 49; b) chia 10 cho 23. 
Bài 6.6 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 9, 2009-2010) 
Tìm chữ số thập phân thứ 242010 sau dấu phẩy trong phép chia 1 cho 49. 
Bài 6.7 (Sở Giáo dục Đào tạo thành phố Hồ Chí Minh, THPT, 2000-2001) 
Có bao nhiêu chữ số khi viết số 300300 . 
Bài 6.8 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, lớp 12 Trung học Phổ thông, 11.3.2011) 
Tìm số các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số 20109 . 
Bài 6.9 (Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai, lớp 9, 2004-2005) 
Tìm ba chữ số tận cùng của số 
999 . 
Bài 6.10 (Bộ Giáo dục Đào tạo, Lớp 9, 2002. Đề dự bị) 
1) Tìm hai chữ số cuối cùng của số 1999 2000 20012 2 2 .+ + 
2) Chứng minh toán học (kết hợp với máy tính) cho khẳng định trên. 
Bài 6.11 (Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Đông Triều, Lóp 9, 2011-2012) 
Tìm hai chữ số tận cùng của tổng D = 22001 + 22002 + 22003. 
Bài 6.12 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010) 
Tìm chữ số thập phân thứ 252010 sau dấu phẩy trong phép chia 17 cho 19. 
Bài 6.13 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, lớp 9, 2009-2010) 
Trong hệ thập phân, số A được viết bằng 100 chữ số 3, số B được viết bằng 
100 chữ số 6. 
1. Tích AB có bao nhiêu chữ số ? 
2. Tìm 8 chữ số tận cùng của hiệu 20092010.C AB= − 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 11
Dạng toán 7 Phương trình nghiệm nguyên 
Bài 7.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh, lớp 9, 2008-2009) 
Cho phương trình 
1657 367 23x y− = ( với ,x y∈] ) (1) 
1) Viết công thức tổng quát nghiệm nguyên của phương trình (1) 
2) Tìm 8 nghiệm nguyên của phương trình (1). 
Bài 7.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 8, 2009-2010) 
Tìm x sao cho 15 + 25 + 35 + ...+ x5 = 10923365376. 
Bài 7.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Tây Ninh, lớp 9, 2008-2009) 
Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 
2 6 5 3041994.xy x y− − = 
Bài 7.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh, Lớp 9, 11.1.2009; Sở Giáo 
dục và Đào tạo Quảng Nam, lớp 9, 2009-2010) 
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thoả mãn phương trình: 
 x4 – x2y + y2 = 81001. 
Bài 7.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, lớp 9, 2008-2009) 
Tìm các cặp số ( x, y) nguyên dương nghiệm gần đúng của phương trình: 
 5 25 20(72 ) 16277165.x x y− − = 
Dạng toán 8 Máy tính điện tử trợ giúp giải toán 
Bài 8.1 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Trung học Cơ sở, 2008-2009) 
1) Số chính phương P có dạng P 17712ab81.= 
 Tìm các chữ số a, b biết rằng a b 13.+ = 
2) Số chính phương Q có dạng Q 15cd26849.= 
 Tìm các chữ số c,d biết rằng 2 2c d 58.+ = 
3) Số chính phương M có dạng M 1mn399025= chia hết cho 9. 
 Tìm các chữ số m, n. 
Bài 8.2 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, lớp 9, 01.12. 2006) 
Tìm các chữ số sao cho số 567abcda là số chính phương 
Bài 8.3 (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế, Lớp 8, 01.02. 2007) 
1) Tìm số tự nhiên bé nhất mà lập phương số đó có 4 chữ số cuối bên phải đều 
là chữ số 3. Nêu quy trình bấm phím. 
2) Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có ba chữ số abc sao cho 
3 3 3abc a b c .= + + 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 12
Có còn số nguyên dương nào thỏa mãn điều kiện trên nữa không? Nêu sơ lược 
cách tìm. 
Bài 8.4 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thp Hồ Chí Minh, Lớp 9, 11.1.2009) 
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số abc biết rằng 5 .abc c ab= + 
Bài 8.5 (Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Đông Triều, Lóp 9, 2011-2012) 
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có ba chữ số abc sao cho 3 3 3abc a b c= + + . 
Có còn số nguyên dương nào thỏa mãn điều kiện trên nữa không? 
Nêu sơ lược cách tìm. 
Bài 8.6 (Bộ Giáo dục và đào tạo, Trung học Cơ sở, 11.3.2011) 
Một số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái 
của số đó và viết thêm chữ số 8 vào bên phải của số này thì được một số mới 
có sáu chữ số đồng thời số này bằng 34 lần số ban đầu. 
Tìm số đó. Trình bày tóm tắt cách giải. 
Bài 8.7 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, lớp 9, 01.12. 2006) 
Tìm các số tự nhiên n (2000 < n < 60000) sao cho với mỗi số đó thì 
3
na 54756 15n= + cũng là số tự nhiên. Nêu quy trình bấm phím. 
Bài 8.8 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên-Huế, Lớp 9, 01.02.2007) 
Tìm hai số nguyên dương x bé nhất sao cho khi lập phương mỗi số đó ta được 
một số có 2 chữ số đầu (bên phải) và 2 chữ số cuối (bên trái) đều bằng 4, nghĩa 
là 3x 44......44.= Nêu quy trình bấm phím. 
Bài 8.9 (Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Bảo Lâm, Lâm Đồng, 2004) 
Cho 
2 2 2 2 2 2M=12 +25 +37 +54 +67 +89 ; 2 2 2 2 2 2N=21 +78 +34 +76 +23 +Z 
Tìm Z để 3M=2N. 
Bài 8.10 (Sở Giáo dục và Đào tạo Quảng Ngãi, lớp 9, 2009-2010) 
Tính .1 + 2 + 3 +...+ 23 + 24A ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 
Bài 8.11 (Sở Giáo dục Đào tạo Cần Thơ, Lớp 6, 2001-2002) 
Có bao nhiêu số chia hết cho 9 gồm năm chữ số được viết bởi các chữ số 1,2,3. 
Bài 8.12 (Sở Giáo dục Đào tạo Cần Thơ, Lớp 6, 2001-2002) 
Có bao nhiêu số chia hết cho 9 gồm 6 chữ số được viết bởi các chữ số 2, 3, 5? 
Bài 8.13 (Sở Giáo dục Đào tạo Phú Yên, Trung học Cơ sở, 10.2.2009) 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 13
Tìm các số x, y sao cho khi chia xxxxx cho yyyy có thương là 16 dư là r, còn 
khi chia xxxx cho yyy cũng có thương là 16 nhưng có số dư là r 2000.− 
Nêu cách giải. 
Bài 8.14 (Thi chọn đội tuyển Trường THCS Đồng Nai-Cát Tiên, 2004) 
1) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất mà a2 bắt đầu bởi chữ số 15 và kết thúc 
bởi 56? 
2) Cho số tự nhiên n (5050 n≤ ≤ 8040) sao cho an = 80788 7n+ cũng là số 
tự nhiên. 
2a) an phải nằm trong khoảng nào? 
2b) Chứng minh rằng an chỉ có thể là một trong các dạng sau: an = 7k + 1 hoặc 
an= 7k – 1 (với k∈N). 
Bài 8.15 (Sở Giáo dục Đào tạo Cần Thơ, Lớp 6, 2002-2003) 
Số 123 1− chia hết cho hai số tự nhiên nằm trong khoảng 70 đến 79. Tìm hai số 
đó. 
Bài 8.16 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, lớp 12 Trung học Phổ thông, 11.3.2011) 
Phép tính nâng lên lũy thừa rồi lấy modulo của các số nguyên theo số nguyên 
,p tức là tính ( )mod ,kC N p≡ là không khó khăn, ngay cả với những số cực 
lớn. Nhưng phép tính ngược lại, tức là tìm ra N khi biết , , ,C k p thường được 
gọi là “phép khai căn” bậc k modulo ,p lại là việc vô cùng khó khăn. Trong 
trường hợp tổng quát, với các số nguyên lớn, bài toán này là không thể giải 
được ngay cả với các siêu máy tính mạnh nhất hiện nay. Tuy nhiên, khi p là số 
nguyên tố và k không có ước chung với 1p − thì nhờ Định lí Fermat nhỏ, 
người ta phát hiện ra rằng có thể thực hiện được phép “khai căn” này bằng cách 
tìm số d sao cho 
( )1mod 1dk p≡ − và tính ra N bằng công thức ( )mod .dN C p≡ Để kiểm 
nghiệm điều nói trên, em hãy: 
1) Tìm số ( )230512345 mod 54321 ;C ≡ 
2) Tìm số N sao cho ( )52209 mod89897 56331.N = 
Chương 2 SỐ HỌC TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ 
Dạng toán 1 Tính toán với các phân số 
Bài 1.1 (Sở Giáo dục Đào tạo Đồng Nai, Trung học Cơ sở, 1998; Phòng Giáo 
dục Đào tạo huyện Bảo Lâm, Lâm Đồng, 2004) 
Tính (kết quả được ghi bằng phân số và số thập phân): 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 14
123 581 5213 2 4 .
52 7 28
A = + − 
Bài 1.2 (Sở Giáo dục Đào tạo Cần Thơ, Trung học Cơ sở, 1998) 
1) Tính: 
1 3 5 7 9 11 13 15
2 4 8 16 32 64 128 256
A = + + + + + + + . 
2) Tính 
1994 1993 2 1993 19941994 212121
1992 1992 1994 19931993 1994 434343
B × − ×= − ++ × × . 
3) So sánh các phân số sau: 
19
27
; 
1919
2727
;
191919
272727
;
19191919
27272727
. 
Bài 1.3 (Sở Giáo dục và Đào tạo Phú Yên, lớp 9, 2009-2010) 
Cho biểu thức: A = 
1 1 3 2 5 7 1 13 .
3 4 8 9 12 18 24 36
A = + + + + + + + 
Bỏ số nào trong tổng trên để A = 2? 
Bài 1.4 (Sở Giáo dục và đào tạo Phú Yên, lớp 9 Trung học Cơ sở, 10.2.2009) 
1) Tính biểu thức: 
2 2 2
2
2 3 2 3
3
2 3 2 3
2 2 2 1 1 12 11 2008200820087 7 7 3 3 3: : .1 1 1 2 2 22 2009200920091 2
7 7 7 3 3 3
A
⎛ ⎞− + − + + +⎜ ⎟= ×⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
2) Tìm số hữu tỷ x biết: 
5 5 5 10 10 105 1012345679 43434317 89 113 23 243 611: .11 11 11 3 3 3333333333 51515111 3
17 89 113 23 243 611
x
⎛ ⎞+ + − + + −⎜ ⎟× − =⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − + + −⎝ ⎠
Dạng toán 2 Tính toán với số thập phân 
Bài 2.1 (Thi thi thử vòng Tỉnh, Trường THCS Đồng Nai, 2004) 
Thực hiện phép tính 
 A = 6712,53211 : 5,3112 + 166143,478 : 8,993 
Bài 2.2 (Thi chọn đội tuyển Trường THCS Đồng Nai-Cát Tiên, 2004) 
Thực hiện phép tính (kết quả viết dưới dạng hỗn số) 
 A = 5322,666744:5,333332+17443,478:0,993. 
Bài 2.3 (Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Bảo Lâm, Lâm Đồng, 2004) 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 15
1) Tìm h biết: 3 3 3 3
1 1 1 1= + + .
h 3,218 5,673 4,815
2) Tính 
3 2 41,6: 1 .1,25 1,08- :
25 25 7C= + +0,6.0,5: .1 5 1 2 50,64- 5 -2 .2
25 9 4 17
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Bài 2.4 (Phòng GD và ĐT huyện Bố Trạch, Quảng Bình, lớp 9, 4.7.2008) 
Tính giá trị của x từ phương trình sau 
3 4 4 10,5 1 1, 25 1,8 3
7 5 7 2 35, 2 2,5 .
3 1 3 415, 2 3,15 2 4 1,5 0,8
4 2 4
:
:
:
x× ×
× × ×
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ = −⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠− +⎜ ⎟⎝ ⎠
Bài 2.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo, Cần Thơ, lớp 6, 2001-2002) 
1) Tính và làm tròn đến 6 chữ số thập phân: 
3 : 0,4 0,09 : (0,15 : 2,5) (2,1 1,965) : (1,2 0,045) .
0,32 6 0,03 (5,3 3,88) 0,67 0,00325 : 0,013
C − − ×= +× + − − + . 
2) Tính và làm tròn đến 5 chữ số thập phân: 
13 7 7 1 1( 1,4 2,5 ) : 2 4 0,1 : (70,5 528 : 7 )
84 180 18 2 2
D ⎡ ⎤= × − × + × −⎢ ⎥⎣ ⎦ . 
3) Tìm x và làm tròn đến 4 chữ số thập phân: 
[ ]1 1 1 1 1( ... ) 140 1,08: 0,3 ( 1) 11.
21 22 22 23 23 24 28 29 29 30
x+ + + + + × + × − =× × × × × 
Dạng toán 3 Liên phân số (phân số liên tục) 
Bài 3.1 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, lớp 9, 01.12. 2006) 
Cho dãy số (biểu thức có chứa n tầng phân số) : 
1
1u 2
2
= + ; 2 1u 2 12
2
= +
+
; 
3
1u 2 12 12
2
= +
+
+
;; n
1u 2 12... 12 12
2
= +
+
+
. 
Tính giá trị chính xác của u5, u9, u10 và giá trị gần đúng của u15, u20. 
Bài 3.2 (Sở GD và ĐT Thừa Thiên Huế, Lớp 8, 01.02. 2007) 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 16
Cho liên phân số: 
12 12 ... 12
1
nu
x
= +
+
+ +
(biểu thức có chứa n tầng phân số). 
Tìm x biết 20
1687u
1696
= (kết quả lấy với 4 chữ số ở phần thập phân). 
Nêu quy trình bấm phím. 
Bài 3.3 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Lóp 6, 7, 2002) 
Tính giá trị của biểu thức và viết kết quả dưới dạng phân số: 
1) 
53 42 52 42 52
3
A = +
+
+
+
+
. 2) 
17 13 13 13
4
B = +
+
+
+
. 
Bài 3.4 (Phòng Giáo dục Đào tạo huyện Bảo Lâm, Lâm Đồng, 2004) 
Tính 4D=5+ 46+ 47+ 48+ 49+
10
Bài 3.5 (Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng, 2003-2004) 
Cho 
1230 .510
2003
A = +
+
Hãy viết A dưới dạng liên phân số [ ]0 1, ,..., .nA a a a= 
Bài 3.6 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, 2001-2002) 
Tính: 
1) (Lớp 6) 
11 .11 11 11 11 11
1 1
+
+
+
+
+
+ +
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 17
2) (Lớp 7) 
12 12 12 12 12 12 12 12
2
+
+
+
+
+
+
+
+
. 
3) (Lớp 8) 
13 13 13 13 13 13
3
+
−
+
−
+
−
. 
4) (Lớp 9) 
11 12 13 14 15 16 17 18
9
+
+
+
+
+
+
+
+
Bài 3.7 (Sở Giáo dục và Đào tạo Cần Thơ, Lóp 9, 2002-2003) 
Tính: 
19 .28 37 46 55 64 73 82
9
C = +
+
+
+
+
+
+
+
Bài 3.8 (Vô địch New York, 1985. Câu hỏi tiếp sức) 
Biết: 
15 1 ,117 1 1a
b
=
+
+
 trong đó a và b là các số dương. Hãy tính .b 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 18
Bài 3.9 (Phòng Giáo dục và Đào tạo Đông Triều, 2011-2012) 
Tìm x trong đẳng thức sau, kết quả viết dưới dạng phân số. 
1 1 1 . 43 2 12 3 15 3 14 5 17 4 26 7
8 9
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= + +⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠+ +
Bài 3.10 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thái Nguyên, Lóp 9, 2002-2003) 
1) Viết quy trình bấm phím để tính: 
3 117 .12 51 231 11 312 117 7
2002 2003
A = + +
+ +
+ +
+ +
2) Giá trị tìm được của A là bao nhiêu? 
Bài 3.11 (Sở Giáo dục và Đào tạo Sóc Trăng, lớp 9, 2008-2009) 
Tìm nghiệm của phương trình: 
5 1 5( 3 3 .7 43 21 2 1 6 5(7 ) 4 24 1 5 43 1 3 5 21 4 55 3 6 21 3 33 7
4 7
x
+ − + = +⎛ ⎞ − − +⎜ ⎟+ − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − − +⎝ ⎠ + − + +
+ − −
Bài 3.12 (Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Nai, lớp 9, 2004-2005) 
Tìm số dương x thỏa mãn phương trình: 
12005 .12005 12005 12005 12005
x
x
= +
+
+
+
+
Bài 3.13 (Phòng GD và ĐT huyện Bố Trạch, Quảng Bình, lớp 9, 4.7.2008) 
Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e biết (chỉ ghi kết quả): 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 19
5584 1 .11051
1
1
a
b
c
d
e
= +
+
+
+
Bài 3.14 (Sở Giáo dục và Đào tạo Thừa Thiên Huế, lớp 9, 01.12. 2006) 
Tìm các số tự nhiên a, b, c, d, e, f, g biết 
20062007
2008
1a 1b 1c 1d 1e 1f
g
= +
+
+
+
+
+
Bài 3.15 (Bộ Giáo dục và đào tạo, Trung học Cơ sở, 11.3.2011) 
Tìm x thỏa mãn đẳng thức sau đây (2,5 điểm) 
4 .2011 61993 632010 31994 112009 20111995 20081996 20071997 20061998 20051999 20042000 20032001
2002
x =
− +
+ −
−
+
−
+
−
+
−
Bài 3.16 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Lóp 6-7, 2001. Đề dự bị) 
1) Lập quy trình bấm phím tính giá trị của liên phân số: 
11 11 12 11 12 11 12
1
M = +
+
+
+
+
+
+
. 
2) Tính 3 .M− 
WWW.VNMATH.COM
WWW.VNMATH.COM
 20
Bài 3.17 (Bộ Giáo dục và Đào tạo, Lóp 6-7, 2001) 
1) Lập quy trình bấm phím tính giá trị của liên phân số: