Đề ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán - Số 14

ĐỀ ÔN TẬP THI VÀO 10 – SỐ 14.
Bài 1. 
Cho . Tính giá trị của biểu thức: .
Cho là hai số thực thỏa mãn .
	Chứng minh rằng .
Bài 2. 
Giải phương trình .
Giải hệ phương trình 
Bài 3. 
Tìm các số nguyên thỏa mãn .
Tìm các số nguyên k để là số chính phương.
Bài 4. Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định không đi qua tâm. Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A khác B). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) (M và N là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của BC.
Chứng minh A, O, M, N, I cùng thuộc một đường tròn và IA là tia phân giác của góc .
Gọi K là giao điểm của MN và BC. Chứng minh .
Đường thẳng qua M và vuông góc với đường thẳng ON cắt (O) tại điểm thứ hai là P. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để AMPN là hình bình hành.
Bài 5. Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện . 	Chứng minh bất đẳng thức .
HƯỚNG DẪN GIẢI.
BÀI
NỘI DUNG
1
Cho . Tính giá trị của biểu thức:
2
Pt . ĐK: 
Đặt (hoặc )
PTTT hoặc 
TH1. giải ra vô nghiệm hoặc kết hợp với ĐK bị loại
TH 2. . Giải pt tìm được (TM)
Vậy pt có nghiệm duy nhất 
ĐK: 
TH 1. (Không TM hệ)
TH 2. . Đưa pt thứ nhất về dạng tích ta được
. Do nên 
Thay vào pt thứ 2 ta được 
Do nên 
Vậy (TMĐK)
3
Ta có 
Ta thấy 
Vì nên ta xét các trường hợp sau
+ TH1. 
Với , ta có 
 (t.m)
+ TH2. 
 (loại)
+ TH3. (loại)
+ TH4. 
Với , ta có 
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên là :
Đặt 
Ta có 
M là số chính phương khi và chỉ khi hoặc là số chính phương.
TH 1. .
TH 2. là số chính phương, đặt 
Vì nên
 hoặc 
 Vậy hoặc thì là số chính phương
4
Hình vẽ
Theo giả thiết 5 điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO
 (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
 cân tại A 
 đpcm
(Do )
 đồng dạng với 
 đồng dạng với 
Tam giác vuông tại M có đường cao MH 
. Do 
Ta có 
Do đó AMPN là hình bình hành 
Tam giác đồng dạng với 
TH 1. 
Đặt .
PTTT 
Do (Loại)
TH 2. 
Đặt .
PTTT 
Do 
Vậy A thuộc BC, cách O một đoạn bằng 2R thì AMPN là hbh
5
Ta có . Đặt thì
Do nên . Vậy 
Chứng minh được thỏa mãn 
Thật vậy, BĐT 
. Do nên BĐT này đúng
Tiếp theo ta sẽ CM thỏa mãn 
Đặt ta được 
. BĐT này đúng 
Vậy . Đẳng thức xảy ra .