Đề ôn tập môn Toán Lớp 9 - Chủ đề: Tương giao giữa 2 đồ thị

1 
CHỦ ĐỀ 
TƯƠNG GIAO GIỮA 2 ĐỒ THỊ 
Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) VÀ đường thẳng (d): y = bx + c (b ≠ 0) 
A/ PHƯƠNG PHÁP & CÂU HỎI THƯỜNG GẶP. 
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d): 
ax2 = bx + c Hay ax2 - bx - c = 0 (1) 
1. Tìm giao điểm của hai đồ thị: (P): y = ax2 (a  0) và (d): y = bx + c. 
 Giải (1) tìm hoành độ giao điểm x => Tung độ giao điểm y => Tọa độ giao điểm. 
VD: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y=x+6. 
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng 1 hệ trục tọa độ. 
b) Hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính. 
 Tìm giao điểm của hai đồ thị: (P): y = ax2 (a  0) và (d): y = bx + c. 
2. CÂU HỎI thường gặp khi phương trình (1) có chứa tham số m: 
ax2 = bx + c Hay ax2 - bx - c = 0 (1) 
  Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt? 
 Viết biểu thức ∆ của phương trình (1) 
 Biến đổi rồi chỉ ra ∆ là một biểu thức dương => Điều phải chứng minh. 
VD2: Cho (P): y=2x2 và (d) y=(m+3)x – m 
Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m 
Giải: pthđ của (P) và (d) là: 2x2 = (m+3)x – m 2x2 - (m+3)x + m = 0 (1) (a=2; b=-(m+3); c=m 
b) pt hoành độ giao điểm của (P) và (d): 
x2 = x + 6 x2 – x – 6 = 0 
∆= . 
x1 = 3 => y1=9 
x2 =-2 => y2 = 4 
vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là A(3; 9) và B(-2; 4) 
2 
Ta có ∆=b2-4ac = [-(m+3)]2 – 4.2.m = m2 + 6m + 9 – 8m = (m2 – 2m + 1) + 8 = (m-1)2 +8 >0 với mọi m 
 Pt (1) luôn có 2 n0 p/b với mọi m 
Vây (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. 
 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? 
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt  
a 0
0


 
 Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) (d cắt (p) tại điểm duy nhất)? 
 (d) tiếp xúc với (P)  Phương trình (1) có nghiệm kép  0 = 
VD3: Cho (P): y=x2 và (d): y=-2(m+1)x –(m2-3). 
a) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? 
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) 
c) Với giá trị nào của m thì (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ x1 ; x2 t/m x1
2 + x22 =4. 
Giải: pthđ của (P) và (d) là: x2 = -2(m+1)x –(m2-3)  x2 + 2(m+1)x +(m2-3) = 0 (1) 
(a=1; b=2(m+1) ; c= m2-3) 
∆’= (m+1)2 – 1(m2-3) = m2+2m+1-m2+3 = 2m+4 
a) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì pt (1) có 2 nghiệm p/b  ∆’>0 2m+4>0m>-2 (*) 
b) Để (d) tiếp xúc với (P) thì pt (1) có nghiệm kép  ∆’=0 2m+4=0m=-2 (*) 
c) Theo câu a) với m>-2 pt (1) có 2 nghiệm p/b 
theo Vi-ét ta có: x1 + x2 = -2(m+1) 
 x1x2 = m
2 – 3 
theo bài ra x1
2 + x22 =4  (x1+x2)2 - 2 x1x2 =4  4(m+1)2 – 2(m2-3) = 4 
  2m2 + 8m + 6 =0 
Pt có a-b+c = 2-8+6 = 0 =>m1=-1 (t/m); m2 = -c/a = -3 (loại) 
Vậy với m=-1 thì (d) cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ x1 ; x2 t/m x1
2 + x22 =4. 
3 
 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm (hai điểm phân biệt nằm bên trái trục 
tung)? 
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ âm 
 Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt  
1 2
1 2
a 0
0
x x 0
x .x 0

 

+ 
 
 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương? (hai điểm phân biệt nằm bên phải trục 
tung)? 
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương 
 Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt  
1 2
1 2
a 0
0
x x 0
x .x 0

 

+ 
 
 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu? (hai điểm phân biệt nằm hai phía 
trục tung)? 
 (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu 
 Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  
1 2
a 0
x .x 0



  Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho ∆ AOB vuông tại O. 
 B1: Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) 
 Định lý viet cho hoành độ giao điểm xA , xB 
 B2: Phương trình đường thẳng OA là y = a1x đi qua điểm A(xA, yA) => a1 = A
A
y
x
 Phương trình đường thẳng OB là y = a2x đi qua điểm B(xB, yB) => a2 = B
B
y
x
 B3: ∆ AOB vuông tại O => a1.a2 = - 1  A
A
y
x
. B
B
y
x
= - 1 
 Từ (P) thay yA ; yB vào phương trình, kết hợp viet => m 
 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm A, B sao cho ∆ AOB cân tại O. 
 B1: Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB) 
 Định lý viet cho hoành độ giao điểm xA , xB 
 B2: Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B lên trục hoành 
∆ AOB cân tại O hay OA = OB  OA2 = OB2  AH2 + OH2 = BK2 + OK2 
4 
 2 2 2 2A A B Bx y x y+ = + 
 Từ (P) thay yA ; yB vào phương trình, kết hợp viet => m 
 Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn hệ thức f(x1 , x2) ? 
 Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm (1). Rồi đi tìm m để (1) có hai nghiệm phân biệt. 
 Bước 2: Với điều kiện m tìm được ở Bước 1, ta viết biểu thức Viet cho x1 và x2. 
 Bước 3: Biến đổi hệ thức f(x1 ; x2) theo tổng x1 + x2 và tích x1.x2 
 Bước 4: Thay biểu thức Viet vào hệ thức f(x1 ; x2), rồi giải phương trình ẩn m sẽ tìm được tham 
số m. 
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG 
Bài 1: Cho Parabol (P): 2
2
1
xy = và đường thẳng (d) có phương trình: y = 2x - 2. Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) 
và parabol (P) có điểm chung duy nhất. Xác định toạ độ điểm chung đó. 
Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + 6 và parabol (P): y = x2. 
 a) Tìm tọa độ các giao điểm của (d) và (P). 
 b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB. 
Bài 3: Cho hai hàm số (P): 2
1
4
=y x và đường thẳng (d): 
1
2
2
= − +y x 
 a) Vẽ đồ thị (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ. 
 b) Tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d). 
Bài 4: Biết rằng đường cong trong hình vẽ bên là một parabol y = ax2. 
a) Tìm hệ số a. 
b) Gọi M và N là các giao điểm của đường thẳng y = x + 4 với parabol. Tìm 
tọa độ của các điểm M và N. 
Bài 5: Tìm toạ độ giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y = 2x + 3 và y = x2. Gọi D và C lần lượt là hình chiếu 
vuông góc của A và B trên trục hoành. Tính SABCD. 
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x + 3 
a) Chứng minh rằng (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt 
b) Gọi A và B là các điểm chung của (d) và (P) . Tính diện tích tam giác OAB ( O là gốc toạ độ) 
Bài 7: Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d) đi qua điểm M (1;2) có hệ số góc k  0. 
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị k  0. đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B. 
b/ Gọi xA và xB là hoành độ của hai điểm A và B. Chứng minh rằng − −A B A Bx + x x .x 2 = 0 
Bài 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P): y = -x2 và đường thẳng (d): y = mx + 2 (m là tham số). 
Tìm m để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất. 
Bài 9: Cho Parabol (P): 
2
4
1
xy −= và đường thẳng (d) có phương trình: y = x + m 
5 
a) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) có điểm chung duy nhất. 
b) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt. 
c) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung 
Bài 10: Cho Parabol (P): 2xy = và đường thẳng (d) có phương trình: y = ax+b. Tìm a và b để đường thẳng (d) 
và parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1) 
Bài 11: Cho Parabol (P): 2
4
1
xy = 
a) Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua điểm M(1,5;-1) 
b) Tìm k để đường thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau 
c) Tìm k để đường thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại hai điểm phân biệt 
Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đương thẳng (d): y = mx + 5 
 a) Chứng minh rằng (d) luôn đi qua điểm A(0; 5) với mọi giá trị của m? 
 b) Tìm tất cả giá trị của m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y = x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ 
lần lượt x1 ; x2 (với x1 |x2|? 
Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2, và đường thẳng (d): y = 3x + m2 - 1 
a) Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt 
b) Gọi x1, x2 là hoành độ các giao điểm của (d) và (P) . Tìm m để: (x1+1)(x2+1) = 1 
Bài 14: Cho parabol (P): 
21y x
2
= và đường thẳng (d): 2
1
y mx m m 1
2
= − + + 
a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B của ( d) và ( P) 
b) Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 sao cho: 1 2x x 2− = 
Bài 15: Cho parabol (P) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = 2x – m2 + 9. 
 a) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 
 b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. 
Bài 16: Cho Parabol (P): y = - x2 và đường thẳng (d) y = mx - 1 
a) CMR với mọi m thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 
b) Gọi x1,x2 là các hoành độ giao điểm của (d) và (P). Tìm m để : x12x2 + x22x1 - x1x2 = 3. 
Bài 17: Cho parabol (P): y = 
21 x
4
 và đường thẳng (d): y = mx + 1 
a) Chứng minh với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 
b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m ( O là gốc toạ độ ). 
Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x -m +1 và parabol (P): 
21y = x
2
. 
a) Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3). 
6 
b) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ (x1; y1) , (x2; y2) sao cho ( )1 2 1 2x x y + y 48 0+ = 
Bài 19: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình: y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: 
y = 2mx – 2m + 3 (m là tham số) 
a) Tìm toạ độ các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng bằng 2 
b) Chứng minh rằng (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m. Gọi 1 2y , y là các tung độ giao 
điểm của (P) và (d), tìm m để 1 2y y 9+  
Bài 20: Cho Parbol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = (m +2)x – m + 6. Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol 
(P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. 
Bài 21: Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số. 
 1/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại điểm có tung độ bằng 9. 
 2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa hai điểm này bằng 6 
Bài 22: Cho parabol (P) và đường thẳng (d) có phương trình lần lượt là 2y mx= và ( )2 1y m x m= − + − (m là 
tham số, m  0). 
 a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). 
 b) Chứng minh rằng với mọi m  0 đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 
Bài 23: Cho parapol ( ) 2:P y x= và đường thẳng ( ) 2: 2 1d y x m= + + (m là tham số). 
1/ Xác định tất cả các giá trị của m để ( )d song song với đường thẳng ( ) 2 2' : 2d y m x m m= + + . 
2/ Chứng minh rằng với mọi m, ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt A và B. 
3/ Ký hiệu ;A Bx x là hoành độ của điểm A và điểm B. Tìm m sao cho 
2 2 14A Bx x+ = . 
Câu 24: Cho parabol (P): 
21y x
2
= và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 (với m là tham số). 
 a) Vẽ (P). 
 b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ dương. 
 c) Với m tìm được ở câu b), hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P) và (d). 
Câu 25: Cho parabol (P): y = − x2 và đường thẳng (d): y = (3 − m)x + 2 − 2m (m là tham số). 
 a) Chứng minh rằng với m ≠ −1 thì (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. 
 b) Gọi yA, yB lần lượt là tung độ các điểm A, B. Tìm m để |yA − yB| = 2. 
Câu 26: Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = x + 2 − 2m (m là tham số). Tìm m để (d) cắt (P) tại 
hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác AOB vuông tại O.