Đề ôn tập môn Toán Lớp 11: Quan hệ vuông góc

QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, 
a) Chứng minh rằng: 
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: 
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: 
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: 
Giải: a) Ta có: 
Mặt khác, vì 
Từ (1) và (2) suy ra: 
b) Ta có: 
Theo a) 
Từ (3) và (4) suy ra: 
c) Ta thấy: 
Theo b) 
Trong mp(ADE) kẻ . Vì 
Từ (5) và (6) suy ra: hay 
d) Từ 
Theo c) . Từ (7) và (8) suy ra: 
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều, . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: 
Giải: Ta có: 
Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó, từ đó ta có: 
Hay 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông
Giải: Ta có: 
+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông. Do đó, (*). Mặt khác, là tam giác vuông cân tại I nên: (*).
Từ (*) và (**) suy ra: hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra: hay ∆SCD vuông tại C
Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: 
Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: 
Mặt khác, 
Mà (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)
Từ (*) và (**) ta có: 
Từ (1) và (2) ta có: 
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: 
Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là trung điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH. 
 Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có: AB=BC, BN=CP. Suy ra, mà hay (1)
Vì ∆SAD đều nên: . 
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay 
Từ (*) và (**) suy ra: 
Từ (1), (2) suy ra: 
Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng: 
Giải:+ Ta có: (1) (giả thiết)
+ Mặt khác, (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác)
+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên 
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, , . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: 
Giải:
 + Ta có: . 
+ Xét tam giác vuông ABM có: . Xét tam giác vuông ACD có: . Ta có: 
Hay . 
+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên 
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, . Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC?
Giải: Ta có: BC//AD và . Do đó, .
Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có: 
Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600
Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, . Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?
Giải: Gọi H là trung điểm của BC
Ta có: 
Hay, 
Xét tam giác A’B’H có , , .
Do đó, 
 Vậy 
Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
Giải: + Ta có: , . 
Vì nên tam giác SAH vuông tại A hay mà . Do đó, và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD). 
+ Ta có: , . Vậy góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là góc có tang bằng .
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, . Tính sin của góc giữa:
SC và (SAB)
AC và (SBC)
Giải: 
Ta có: và (vì ) do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB) . Ta có: .
+ Trong mp(SAB) kẻ . Theo a) nên hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC) . 
+ Xét tam giác vuông SAB có: 
+ Vậy 
Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C)
Giải: + Kẻ (1)
+ Mặt khác, ta có: , (2)
Từ (1) và (2) suy ra: . Do đó, .
+ Xét tam giác vuông BCA’ có: 
+ Ta có: . Vậy 
Câu 13: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc α. Tính theo a và α.
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.
+ Ta có: và 
+ Kẻ mà nên . Do đó, 
+ Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có: 
Vậy, 
Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, , SA=2a,
a) Tính 
b) Tính 
Giải: a) Kẻ 
Ta có: và . Từ (*) và (**) suy ra: .
Từ (1) và (2) ta có: hay 
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAB có: .
Vậy, 
b) Gọi 
 Kẻ 
Ta có: và . Từ (*) và (**) suy ra: .
Từ (1) và (2) ta có: hay 
+ Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có: .
Vậy, .
Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều, . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Tính 
Giải: Gọi 
+ Kẻ 
+ Ta có: 
+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI=DF, AD=DC. Suy ra, mà hay (**)
+ Từ (*) và (**) ta có: (2). Từ (1) và (2) suy ra: hay 
+ Ta có: 
Do đó, . Vậy, 
Câu 16: Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD là hình chữ nhật, . Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính 
Giải: + Gọi O là giao điểm của AC và BD. 
Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD). Do đó, + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ . Mặt khác, 
Từ (1) và (2) suy ra: 
+ Xét tam giác vuông BCD có: .
Vậy: 
Câu 17: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, , là tam giác đều cạnh a, . Tính 
Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC. Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD và AB. Lúc đó, CD//(SAB) hay + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ 
Mặt khác, ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác SIJ có: . Với: , , . 
Do đó: . Vậy 
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB=AD=a, CD=2a, , SD=a.
a) Tính 
b) Tính 
Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC.
a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ . 
 + Vì Tam giác BCD vuông tại B hay . Mặt khác, vì . Từ (*) và (**) ta có: . Từ (1) và (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác vuông SBD có: . 
Vậy, 
b) Ta có: .
Vậy, 
Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, . Tính 
Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ ; trong mặt phẳng (SMN) kẻ . Suy ra, 
+ Ta có: , , . Xét tam giác vuông SMN có: 
+ Mặt khác, ta có: 
Vậy .
Câu 20: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a. Tính 
Giải: 
+ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.
+ Vì ACD và ACD là các tam giác đều nên: Mặt khác, nên tam giác AIB cân tại I. Do đó, 
+ Từ (1), (2) suy ra: IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.
+ Ta có: .
Vậy 
Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM, . Tính 
Giải: + Trong mp(SCH) kẻ .
+ Mặt khác, 
Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN, AD=DC. Từ đó ta có: hay .
Từ (*), (**) suy ra: .
Từ (1), (2) suy ra: HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC.
+ Ta có: .
Xét tam giác vuông SHC ta có: 
Vậy 
Câu 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, . Tính 
Giải: + Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và A’B’.
+ Ta có: + Trong mp(CIJ) kẻ 
Ta có: (vì ABC. A’B’C’ là hình lăng trụ đứng) và (vì ∆ABC là tam giác đều) nên .
Từ (1), (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác vuông CIJ có: 
Vậy 
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng . Tính 
Giải: + Vì + Gọi O là giao điểm của AC và BD. I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
+ Trong mp(SIJ) kẻ .
Theo giả thiết ta có: Từ (1), (2) suy ra: hay 
+ Xét tam giác SIJ có: . Với: IJ=a, . Suy ra: 
Vậy 
Câu 24: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính 
Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD. Gọi O là giao điểm của AC và BD; I, M lần lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm của d và IM.
+ Ta có: 
+ Trong mp(SMN) kẻ 
Theo giả thiết: Mặt khác ta có: . Từ (*), (**) suy ra: . Từ (1), (2) suy ra: .
+ Xét tam giác SMN có: với . Do đó, . Vậy 
Câu 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính 
Giải: + Gọi I là trung điểm của BC.
Do MN//BC nên N là trung điểm của AC. Do đó, IN//AB hay .
+ Trong mp(ABC) kẻ 
Trong mp(SAJ) kẻ 
+ Theo giải thiết ta có: 
Từ (*), (**) ta có: . Từ (1), (2) ta có: .
+ Ta có: ; .
+ Xét tam giác vuông SAJ có: .
Vậy