Đề ôn tập kiểm tra môn Toán Lớp 8 - Chuyên đề: Số nguyên tố, hợp số

SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ
1. Định nghĩa số nguyên tố: Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó.
P là số nguyên tố 
Vd : 2, 3, 5, 7, .
2. Định nghĩa hợp số : Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước
3. Các tính chất 
a. Số 0, 1 không phải số nguyên tố, không phải hợp số
b. Số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất
c. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất
d. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn
e. Mọi hợp số đều có thể phân tích ra thừa số nguyên tố và kết quả phân tích đó là duy nhất
f. Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng : 
g. Tập hợp các số tự nhiên bao gồm : Số 0, 1, số nguyên tố, hợp số
h. Nếu a.b chia hết cho p ( p là số nguyên tố ) thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p
i. Số ước số của hợp số
Giả sử 
 Số nguyên tố 
số ước số của n là : 
Vd : có : ước.
*) Phương pháp kiểm tra một số là số nguyên tố hay hợp số
Với ta kiểm tra theo các bước sau :
- Tìm STN k sao cho : 
- Kiểm tra xem n có chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng k không ?
+) Nếu có chia hết thì n là số hợp số
+) Nếu không chia hết thì n là hợp số
Bài 1: Tìm số tự nhiên n, sao cho
a. là số nguyên tố 
b. là số nguyên tố 
c. là số nguyên tố 
d. là số nguyên tố 
Lời giải
a. Nếu là hợp số
Nếu là số nguyên tố. Vậy n = 0
b. 
+) là hợp số
Vậy n = 0 hoặc n = 3.
c. 
d. Ta có: 
Bài 2: Các số sau là số nguyên tố hay hợp sô, biết p là số nguyên tố
a. b. 
c. d. 
Lời giải
a. là số chẵn nên A là hợp số vì A lớn hơn 2 
b. là số chẵn lớn hơn 2 nên là hợp số
c. 
+) là hợp số
+) là hợp số
 +) dư 1 là hợp số vì 2000 chia 3 dư 2
d. Tổng các chữ số của D là : 2017 + 2 + 2017 chia hết cho 3 nên D chia hết cho 3 và D > 3 nên D là hợp số
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì không phải số nguyên tố 
Lời giải
Dùng phương pháp hệ số bất định phân tích được : 
Ta có : là hợp số
Bài 4: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( Tự nhiên ) (a,b) sao cho a4 + 4b4 là số nguyên tố
Lời giải
Ta có: 
+) Nếu cặp số nguyên không cần xét a, b = 0
+) Nếu cặp số tự nhiên, ta phải xét a, b = 0
- Nếu a = 0 thì A = 4a4 ( loại )
- Nếu b = 0 thì A = a4 ( không là số nguyên tố )
- Nếu 
Để A là số nguyên tố 
DẠNG TOÁN: PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ ĐỂ TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
Bài toán: Tìm số nguyên tố p để 2 hoặc nhiều số phụ thuộc vào p cũng là số nguyên tố
- Tính chất : Cho q là một số nguyên tố, k là số tự nhiên khác 0, k không chia hết cho q. Khi đó mọi dãy số cách đều gồm bốn số hạng, khoảng cách giữa các số hạng bằng k thì tồn tại duy nhất 1 số chia hết cho q.
Vd : q = 2 , k = 3 ( k không chia hết cho q )
n ; n + 3
+) q = 3 , k = 2 
n ; n + 2 ; n + 4 , chẳng hạn 
+) q = 5, k = 4
n, n + 4, n + 8, n + 12, n + 16 
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng đồng thời là số nguyên tố
a. p + 2 và p + 10	b. p + 4 và p + 8
c. p + 10 và p + 20 	d. p + 8 và p + 10
e. p + 10 và p + 14
Lời giải
a. Ta có : p p + 2, p + 10 là số nguyên tố
Xét dãy số : p + 2, p + 6, p + 10 luôn tồn tại một số chia hết cho 3
Mà : 
P + 2 và p + 10 là số nguyên tố > 3 
Thử lại : p + 2 = 5, p + 10 = 13 là các số nguyên tố.
Cách 2 : ( lớp 8) xét mod 3
+) Nếu 
+) Nếu 
+) Nếu 
Vậy p = 3. Thử lại thấy thỏa mãn
b. Xét dãy số : 
c. 	d. 
d. 
Bài 2: Tìm ba số tự nhiên lẻ liên tiếp và đều là các số nguyên tố
Lời giải
Gọi ba STN thỏa mãn bài toán là : ( p lẻ )
Trong ba số p, p + 2, p + 4 có duy nhất 1 số chia hết cho 3
Có số 3 là số nguyên tố duy nhất chia hết cho 3
Bài 3: Tìm số nguyên tố p, sao cho các số sa đồng thời là số nguyên tố
a. b. 
c. 
Lời giải
a. Xét dãy số : tồn tại 1 số chia hết cho 5
+) 
+) 
+) 
b. 
c. 
+) p = 2, 3, 5 ( loại )
+) thử lại đúng
Bài 4: Tìm số nguyên tố p sao cho
a. đều là các số nguyên tố 
b. là các số nguyên tố
Lời giải
a. Vì là số nguyên tố nên p > 2
+) Nếu p = 3 thỏa mãn
+) p > 3, xét dãy số : có 1 số chia hết cho 3 
Cách khác : Xét số dư
+) 
+) 
+) 
Vậy p =3
b. Xét dãy số p, p + 47, p + 94 có 1 số chia hết cho 3
+) 
Vậy p =3
Bài 5: Chứng minh rằng : không thể đồng thời là số nguyên tố 
Lời giải
Giả sử số là số nguyên tố
Xét dãy số : có 1 số chia hết cho 3 
+) 
Bài 6: Cho số nguyên tố p sao cho 8p2 + 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng 8p2 – 1 cũng là số nguyên tố
Lời giải
Ta đi tìm số nguyên tố p sao cho : 8p2 + 1 là số nguyên tố
+) 
+) là số nguyên tố
+) , khi đó : không là số nguyên tố
Hoặc xét : p = 3k + 1 ; p = 3k + 2
Do đó p = 3 là số nguyên tố.
DẠNG TOÁN: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN NHỜ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT SỐ NGUYÊN TỐ
A. Kiến thức
Trong nhiều trường hợp khi giải phương trình nghiệm nguyên dẫn đến việc xét các số nguyên tố của số dạng .
Một số tính chất của ước số nguyên tố của số n để sử dụng vào giải phương trình:
a. Mệnh đề 1. Nếu số nguyên tố với các số nguyên dương t, k và k lẻ, là ước của số thì p là ước số chung của a và b.
Chứng minh: 
+ Giả sử p không là ước số của số a thì p cũng không là ước số của số b 
. Theo định lí nhỏ Fermat thì hay (mod p).
+ Tương tự (mod p) suy ra (mod p) *
Mặt khác sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ ta có trong đó k lẻ và M là số nguyên.
Theo giả thiết , mâu thuẫn với *. 
Tương tự p không là ước của số p thì p không là ước của số a cũng dẫn đến mâu thuẫn. Vậy số nguyên tố p phải là ước số chung của số a và số b.
b. Mệnh đề 2: Giả sử a và b nguyên tố cùng nhau thì mọi ước số nguyên tố lẻ của a2 + b2 chỉ có dạng 4m + 1 (mà không có dạng 4m + 3) trong đó m là số nguyên dương.
Chứng minh: 
+ Xét ước số nguyên tố p = 4m + 3 = 2(2m + 1) +1. Theo mệnh đề 1 nếu p là ước số nguyên tố của n = a2 + b2 thì p là ước số chung của a và b , mâu thuẫn. Vì p lẻ nên p chỉ có dạng p = 4m + 1.
+ Ta thử vận dụng các tính chất trên vào giải một số phương trình nghiệm nguyên dưới đây.
Bài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên (1)
Lời giải
Phương trình (1) (2) 
Nếu y chẵn thì vế phải của (2) chia hết cho 4 lẻ, không chia hết cho 4, mâu thuẫn.
Vậy y là số lẻ, nên nó phải có ước số nguyên tố lẻ dạng 4m + 3 (vì tích các số dạng 4m + 1 lại có dạng 4k + 1). 
Suy ra có ước số nguyên tố dạng p = 4m + 3, trái với mệnh đề 2. 
Vậy phương trình (1) không có nghiệm nguyên.
Bài 2.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương () sao cho là số nguyên dương và là ước số của 1995.
Lời giải
Giả sử nguyên dương và k là ước số của 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n = 3.7.19. Các số nguyên tố 3, 7, 19 đều có dạng 2(2m + 1) + 1 = 4m +3
Gọi ước chung lớn nhất của là thì với (. 
Theo giả thiết (1).
Xét hai trường hợp:
1) k là ước số của n có ước số nguyên tố dạng 4m + 3.
Áp dụng mệnh đề 2 vào (1) thì không chứa các ước số nguyên tố của k nên k là ước số của d . Từ (1) có , do đó (1) vô nghiệm.
2) k = 5m với m là ước số của m. Lúc đó (1) trở thành . Lập luận như trên thì m là ước số của d. Suy ra d = m.t. Từ đó ta có (2)
Từ (2) có 
 (3)
Mặt khác 
Kết hợp với (3) phải có A= 0. 
Điều này xảy ra chỉ khi và v=1, nghĩa là và 
Từ A = 0 và (2) suy ra . Các số phải tìm là hoặc trong đó m là ước của n = 3.7.19, nghĩa là m lấy 8 giá trị sau: 1, 3, 7, 19, 21, 57, 133, 399.
Bài 3. Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phương dạng 15a + 16b và 16a -15b với a, b là các số nguyên dương nào đó.
Lời giải
Giả sử 15a + 16b = m2 và 16a -15b = n2 (1) với m, n là các số nguyên dương.
Khi đó: 
 hay (2)
Các số nguyên tố 13 và 37 đều có dạng với k lẻ.
 Giả sử với (u,v) =1 
=> (2) trở thành (3)
 Vì (u,v) = 1 nên không chứa các ước số nguyên tố 13 và 37 do đó 481 là ước của d 
. Để cho m, n nhỏ nhất, ta lấy t = 1. 
Lúc đó (3) trở thành (4)
 Từ (1) có hay (5).
Có thể chọn để m, n nhỏ nhất, lúc đó a = 31b và . 
Từ đó có b = 481 và a = 31.481 suy ra m = n = 481.
Bài 4. Tìm số có 3 chữ số mà có đúng 5 ước.
Lời giải
Giả sử p và q là hai số nguyên tố khác nhau, khi đó pq có 4 ước đó là 1, p, q, pq và số p2q có 6 ước đó là 1, p, p2, q, pq, p2p. Do đó số phải tìm có dạng pn.
Vì số pn có n + 1 ước nên muốn có đúng 5 ước thì rõ ràng n = 4. Số p4 là số có 3 chữ số khi p = 5. 
Vậy số phải tìm là 54 = 625.
Bài 5. Tìm 3 số nguyên tố biết rằng một trong ba số đó bằng hiệu các lập phương của hai số kia.
Lời giải
Gọi ba số nguyên tố đó là a, b, c. Ta có chẳng hạn. 
=> .
Muốn c là số nguyên tố thì a - b = 1, điều này chỉ xảy ra khi các số nguyên tố là a = 3, b = 2. Suy ra: c = 27 - 8 = 19.
 Vậy ba số nguyên phải tìm là 2; 3; 19.
Bài 6. Xét dãy số nguyên tố từ nhỏ đến lớn: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17;... ta lập hai dãy số 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; 12 = 5 + 7; 18 = 7 + 11; 24 = 11 + 13; ... và 6 = 2.3; 15 = 3.5; 35 = 5.7; 77 = 7.11; 143 = 11.13; ... Có hay không một số hạng nào đó của dãy thứ nhất bằng một số hạng nào đó của dãy thứ hai.
Lời giải
Nhận xét: 
+ Ở dãy thứ nhất các số hạng theo thứ tự là tổng của hai số nguyên tố liền nhau và tất cả số hạng của dãy (trừ số hạng đầu là 5) đều là chẵn.
+ Ở dãy thứ hai các số hạng theo thứ tự là tích của hai số nguyên tố liền nhau và tất cả số hạng của dãy (trừ số hạng đầu là 6) đều là lẻ.
Do đó ta có thể kết luận rằng: không có một số hạng nào của dãy thứ nhất bằng một số hạng của dãy thứ hai.
Bài 7. Tìm số nguyên tố p biết rằng p + 2 và p +4 cũng là số nguyên tố. 
Lời giải
 Do vì 1 không phải là số nguyên tố, nên p có thể có dạng p = 3k.
 Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 là hợp số. 
 Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 cũng là hợp số.
Do đó p chỉ có thể bằng 3 và p + 2 = 3 + 2 =5 là số nguyên tố, p + 4 =3 +4 =7 là số nguyên tố. 
Bài 8. Có bao nhiêu số có ba chữ số mà mỗi chữ số của nó là ước nguyên tố của chúng?
Lời giải
Các ước nguyên tố có 1 chữ số là: 2; 3; 5 và 7. 
Nếu số phải tìm bắt đầu bằng chữ số 2 thì nó phải chia hết cho 2 và tận cùng bằng 2. Chữ số thứ hai phải là 2, vì số 232 không chia hết cho 3, số 252 không chia hết cho 5 và số 272 không chia hết cho 7. Vậy số phải tìm là 222.
 Tương tự số phải tìm mà bắt đầu bằng chữ số 5 thì đó là số 555.
 Bây giờ nếu bắt đầu bằng 3 thì hai chữ số cuối phải tạo thành một số chia hết cho 3, do đó chúng chỉ có thể là 3 và 3 hoặc 5 và 7.
 Thử lại thấy rằng chỉ có số 333 là thích hợp. 
Cuối cùng nếu bắt đầu bằng 7 thì hai chữ số cuối phải tạo thành một số chia hết cho 7. Thử lại thấy rằng chỉ có hai số 777 và 735 là thích hợp.
 Tóm lại có 5 số thỏa mãn bài ra là: 222; 333; 555; 735; 777.
Bài 9. Một xí nghiệp điện tử trong một ngày đã giao cho một cửa hàng một số máy tivi. Số máy này là một số có ba chữ số mà nếu tăng chữ số đầu lên n lần, giảm các chữ số thứ hai và thứ ba đi n lần thì sẽ được một số mới lớn gấp n lần số máy đã giao. Tìm n và số máy tivi đã giao.
Lời giải
Giả sử số máy tivi đã giao là . Ta có:
hay .
Từ đó ta được: .
Nhưng 89 là số nguyên tố nên hoặc n - 1 phải bằng 1 hoặc n phải chia hết cho n-1. Trong cả hai trường hợp ta đều tìm được n =2 và .
Vậy số máy tivi đã giao là 178.
Bài 10. Những số nguyên tố nào có thể là ước của số có dạng 111...11?
Lời giải
Trước hết ta nhận xét rằng số có dạng 111...11 không chia hết cho 2 số nguyên tố 2 và 5.
 Giả sử p là số nguyên tố khác 2 và 5. Ta hãy xét p + 1 số sau:
1, 11, 111, 1111, ....,111...11.
ít nhất hai trong các số trên khi chia cho p có số dư giống nhau, thế thì hiệu của chúng 11...1100..0 chia hết cho p.
vậy số có dạng 111...11 có ước là tất cả số nguyên tố trừ hai số nguyên tố 2 và 5. 
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1: Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó là tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố
Lời giải
Gọi số nguyên tố cần tìm là : a
Theo bài ra ta có : a = b + c = d – e ( a, b, c, d là các số nguyên tố )
Dễ thấy : a = b + c > 2 là số nguyên tố lẻ khác tính chẵn lẻ
Giả sử b > c 
Có : 
Vậy a = b + 2 = d – 2 là số nguyên tố 
Vậy a = 5 là số nguyên tố cần tìm
Bài 2: Giả sử p và p2 + 2 đều là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 cũng là số nguyên tố
Lời giải
+) là hợp số
+) là hợp số
+) là hợp số
Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên dương sao cho các số đều là các số nguyên tố. CMR : Trong ba số p, q, r có ít nhất hai số bằng nhau
Lời giải
Trong ba số a, b, c có ít nhất 2 số có cùng tính chất chẵn lẻ, chẳng hạn b và c cùng lẻ
 là số chẵn 
 Khi đó 
Tương tự các trường hợp còn lại
Bài 4: Tìm ba số nguyên tố liên tiếp sao cho cũng là số nguyên tố
Lời giải
+) Nếu p, q, r > 0 
Vậy có ít nhất 1 trong 3 số chia hết cho 3 số đó là 3 
Bài 5: Tìm tất cả bộ ba số nguyên tố a, b, c sao cho : abc < ab + bc + ca
Lời giải
Vì a, b, c có vai trò như nhau, không mất tính tổng quát : Giả sử 
+) 
+) 
Vậy bộ ba số là : 
+) (2,2,p) : Với p là số nguyên tố
+) (2,3,3) hoặc ( 2,3,5)
Bài 6: Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn
a. b. c. 
Lời giải
a. Nếu x chẵn 
Nếu x lẻ 
b. Nếu y lẻ 
+) Nếu y chẵn 
c. Không xét được tính chẵn lẻ
+) Với 
+) Với y > 2 
Đặt x = 2k + 1, thay vào (1), được : 
Vì x > 7 
Vậy x = 7, y = 2
Bài 7: Tìm các số nguyên tố p, q sao cho 7p + q và pq + 11 là các số nguyên tố
Lời giải
Ta có : pq + 11 > 3 nên là số nguyên tố lẻ 
+) 
Nếu q = 3k + 1 
Nếu q = 3k + 2 
+) 
Xét số dư chia cho 3 
Bài 9: Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn bằng chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm bằng chữ số hàng chục và số đó viết được dưới dạng tích của ba số nguyên tố liên tiếp
Lời giải
+) TH1 : 
+) TH2 : 
+) TH3 : 
Bài 10: Tìm các số nguyên tố x, y, z thỏa mãn: 
Lời giải
+) Nếu x lẻ do z > 2 vì 
 mà 
+) Nếu y lẻ 
Ta có: 
Bài 11: Tìm ba số nguyên tố p, q, r sao cho : 
Lời giải
+) Có : 
Nếu p, q lẻ khác tính chẵn lẻ
Giả sử p chẵn, q lẻ 
+) Nếu 
q > 3 nên q không chia hết cho 3 nên q2 chia 3 dư 1 
Vậy 
Vậy p = 2, q = 3, r = 17 hoặc p = 3, q= 2, r = 17
Hoặc cách khác
Bài 12: Tìm tất cả các số x, y sao cho
a. b. 
Lời giải
a. khác tính chẵn lẻ
+) 
b. 
+) 
+) 
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỢP SỐ
A. Lý thuyết
- Hợp số là số có nhiều hơn 2 ước
- Chứng minh số A là hợp số
+) Ta đi chứng minh và ( trong đó p là số nguyên tố )
B. Bài tập
Bài 1: 
a. Cho p là số nguyên tố, hỏi là số nguyên tố hay hợp số
b. Cho p và p + 4 là các số nguyên tố ( p > 3). Chứng minh p + 8 là hợp số
Lời giải
a. Nếu là số nguyên tố
- Nếu là hợp số
b. là dãy số cách đều 4 đơn vị có 1 số chia hết cho 3
Vì là số nguyên tố là hợp sô
Bài 2: Cho p và 8p + 1 là các số nguyên tố ( p > 3). Chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số
Lời giải
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 có dạng 
- Nếu là hợp số ( loại)
- Nếu là hợp số ( loại)
Bài 3: Chứng minh rằng các số sau là hợp số :
Lời giải
Ta có: 
 là hợp số
 Bài 4:
a) Cho p và p + 2 là số nguyên tố ( p > 3). CMR: p + 1 là hợp số và 
b) Cho p và p + 4 là số nguyên tố. CMR: p + 2021 là hợp số 
Lời giải
a) Xét dãy 
Lại có 
Từ 
b) Ta có: 
Xét dãy 
+) là hợp số
+) là hợp số
+) là hợp số loại 
Bài 5: Một số nguyên tố chia cho 42 có số dư là hợp số. Tìm số dư đó
Lời giải
Gọi p là số nguyên tố theo đầu bài, khi đó: 
Vì r là hợp số 
Vì p là số nguyên tố có thể là số nguyên tố hoặc bằng 25 là giá trị cần tìm
Bài 6: Một số nguyên tố chia cho 60 có số dư là r. Tìm số dư, biết rằng r là số nguyên tố
Lời giải
Giả sử p là số nguyên tố: 
 hoặc r là số nguyên tố hoặc là hợp số và không chia hết cho 2, 3, 5
 hoặc r là số nguyên tố khác 2 3, 5 hoặc r = 49 
Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của ba số nguyên tố lớn hơn 3 luôn là một hợp số
Lời giải
Giả sử: p, q, r là ba số nguyên tố lớn hơn 3
 chia cho 3 có dư là 1 là hợp số
ĐỊNH LÍ FERMAT
 A. Nội dung định lý
Với p là số nguyên tố và (a, p) = 1 thì (mod p).
B. Vi dụ
Bài 1. Nhà toán học Pháp Fermat đã đưa ra công thức để tìm các số nguyên tố với mọi n tự nhiên.
1. Hãy tính giá trị của công thức này khi n = 4.
2. Với giá trị này hãy chứng tỏ ba tính chất sau:
a) Tổng hai chữ số đầu và cuối bằng tổng các chữ số còn lại.
b) Tổng bình phương các chữ số là số chính phương.
c) Hiệu giữa tổng các bình phương của hai chữ số đầu và cuối với tổng các bình phương của các chữ số còn lại bằng tổng các chữ số của số đó.
Lời giải
1. Ta thay n = 4 vào công thức Fermat và được: là số nguyên tố.
2. Số nguyên tố 65537 có ba tính chất sau:
a) Tổng hai chữ số đầu và cuối 6 + 7 = 13 đúng bằng tỏng ba chữ số còn lại 5+5+3=13.
b) Tổng bình phương các chữ số là số chính phương vì .
c) Tổng bình phương của hai chữ số đầu và cuối là . Tổng các bình phương của ba chữ số còn lại là . Tổng các chữ số đó là .
Ta nhận thấy rằng . Hiệu này đúng bằng tổng các chữ số của số nguyên tố 65537.
Bài 2: Cho , chứng minh rằng: và là những hợp số
Lời giải
Ta chứng minh với mọi .
Ta có: .
Theo định lý Fermat: .
Mặt khác: nên là hợp số với mọi .
Ta chứng minh: với mọi .
Bài 3: Tìm số nguyên tố p sao cho chia hết cho p
Lời giải
Giả sử p là số nguyên tố thỏa: .
Theo định lý Fermat: .
Với p = 3 ta có .
Bài 4: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng minh rằng có vô số số tự nhiên n thỏa chia hết cho p
Lời giải
Ta có , ta tìm sao cho .
Ta có: .
Vậy, với thì .
Bài 5: Cho p là số nguyên tố, chứng minh rằng số chỉ có ước nguyên tố có dạng .
Lời giải
Gọi q là ước nguyên tố của thì q lẻ, nên theo định lí Fermat:
, vì nếu thì, vô lí.
Mặt khác: q-1 chẵn suy ra .
Bài 6: Giả sử p là số nguyên tố lẻ và . Chứng minh rằng m là hợp số lẻ không chia hết cho 3 và (mod m).
Lời giải
Ta có: , với .
a, b đều là các số nguyên lớn hơn 1 nên m là hợp số.
Mà và p lẻ nên m lẻ và (mod 3).
Theo định lí Fermat, ta có: .
 nên .
Vì nên , khi đó: . (đpcm).
Bài 7: Chứng minh rằng dãy số với chứa vô hạn số là lũy thừa của cùng một số nguyên tố.
Lời giải
Giả sử tồn tại số nguyên tố p sao cho:
 (1).
Trong đó k,n là các số nguyên dương nào đó.
Từ (1) dễ thấy p không chia hết cho số nguyên tố 23 nên (p,23)=1.
Theo định lí nhỏ Fermat thì chia hết cho 23, suy ra có dạng với mọi số nguyên dương t.
Từ đó hay với mọi 
Bài toán được giải đầy đủ khi ta chỉ ra sự tồn tại số nguyên tố p thõa mãn (1). Chẳng hạn:
Với p = 2 có 
Với p = 3 có 
Với p = 4 có 
Với p = 2003 thì tồn tại k theo định lí Fermat thỏa mãn .
Bài 8: Tìm bảy số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừa bậc sáu của bảy số đó.
Lời giải
Gọi bảy số nguyên tố là . 
Ta có: (*)
Ta cần dùng định lí Fecma nhỏ:
Nếu số nguyên a không chia hết cho 7 thì .(Có thể chứng minh trực tiếp điều này thông qua việc biến đổi với mọi r thỏa mãn , còn t là số nguyên)
Giả sử trong bảy số nguyên tố trên có k số khác 7 với 
+ Nếu k = 0, nghĩa là cả bảy số trên đều bằng 7 thì ta có 
7. 7. 7. 7. 7. 7. 7 = 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76 thỏa mãn (*).
+ Nếu k = 7, nghĩa là cả bảy số trên đều là số nguyên tố khác 7 thì vế trái của (*) không chia hết cho 7, còn vế phải của (*) chia hết cho 7 theo định lí Fec ma, điều này không xảy ra.
Vậy chỉ xảy ra bảy số nguyên tố trong đề bài đều là 7.