Đề ôn tập học kì 2 môn Toán Lớp 11 (Có lời giải)

ĐỀ 1 - ÔN TẬP HỌC KÌ 2
Biết ; ; . Khi đó bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: 
Mà nên .
Giá trị của bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Với , ta có .
Cho hình chóp là hình thang vuông tại và . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có
+ . Do đó phương án B đúng.
+ . Do đó phương án D đúng.
+ Gọi là trung điểm thì từ giả thiết suy ra tứ giác là hình vuông và . Suy ra . Dó đó phương án C đúng.
Cho hàm số có đồ thị và điểm . Khi đó tiếp tuyến của tại điểm có hệ số góc là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hệ số góc là .
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A. Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với các mặt đáy.
B. Hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật được gọi là hình hộp chữ nhật.
C. Hình hộp có các cạnh bằng nhau gọi là hình lập phương.
D. Hình lăng trụ đứng có đáy là một đa giác đều được gọi là hình lăng trụ đều.
Lời giải
Chọn C vì Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có các cạnh bằng nhau.
Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: 
(Do ).
Cho hàm số có đạo hàm trên tập số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng.
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Vì hàm số có đạo hàm tại nên .
Tính đạo hàm của hàm số .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có .
Cho hàm số . Tính ?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải:
Ta có .
Trong không gian cho đường thẳng và điểm . Qua có bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng ?
A. .	B. .	C. vô số.	D. .
Lời giải
Gọi là mặt phẳng qua và vuông góc với đường thẳng . Khi đó mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng qua đều vuông góc với đường thẳng , vậy có vô số đường thẳng qua và vuông góc với đường thẳng .
Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và đường thẳng khác . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
A. Đường thẳng thì .	B. Đường thẳng thì .
C. Đường thẳng thì .	D. Đường thẳng thì .
Lời giải
Chọn B
Cho hàm số . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số liên tục tại .	B. Hàm số không liên tục tại các điểm .
C. Hàm số liên tục tại mọi .	D. Hàm số liên tục tại .
Lời giải
ĐKXĐ: 
Nên hàm số không liên tục tại các điểm .
Cho hàm số thỏa mãn và . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. .	B. .
C. .	D. Không tồn tại .
Lời giải
Vì và 
Nên không tồn tại .
Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng ?
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Ta có: .
.
.
.
Cho hình hộp (tham khảo hình vẽ). Tính tổng ba vectơ ta được
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Theo quy tắc hình hộp, ta có .
Cho hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông tại (tham khảo hình vẽ). Hỏi đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nào được liệt kê ở bốn phương án dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có .
Mệnh đề nào sau đây sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Mệnh đề sai vì .
Tính giới hạn .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có .
Đạo hàm của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: 
Vậy .
Hàm số có đồ thị như hình dưới đây, hàm số gián đoạn tại điểm có hoành độ bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Dựa vào đồ thị hàm số , suy ra hàm số gián đoạn tại điểm có hoành độ .
Cho hàm số . Tìm để hàm số liên tục trên .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
TXĐ: 
Hàm số liên tục trên .
Ta có: ;
.
Để hàm số liên tục trên thì .
Vậy với thì hàm số đã cho liên tục trên .
Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình . Trong đó tính bằng giây (s) và tính bằng mét (m). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: ; .
Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu, suy ra .
Với .
Cho hàm số . Tính giá trị của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có 
Vậy 
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có . Với thì .
Phương trình tiếp tuyến là .
Đạo hàm của hàm số tại bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có .
Hàm số có đạo hàm là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: .
Biết rằng phương trình có nghiệm duy nhất , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Đặt .
Hàm số xác định và liên tục trên nên hàm số xác định và liên tục trên . Phương trình đã cho là . Ta có .
Suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc .
Theo đề bài, phương trình có duy nhất nghiệm nên nghiệm phải thuộc .
Đạo hàm của hàm số là
A. .	B. .
C. .	D. .
Lời giải
Chọn B
Ta có: 
Một chất điểm chuyển động có phương trình với tính bằng giây (s) và tính bằng mét (m). Hỏi vận tốc của chuyển động tại thời điểm bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Ta có vận tốc của chuyển động được tính theo công thức .
Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm là .
Đạo hàm của hàm số là
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Ta có: .
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật và các cạnh bên bằng nhau. Gọi là giao điểm của hai đường chéo của đáy. Tìm mặt phẳng vuông góc với .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Tam giác cân tại nên .
Tam giác cân tại nên .
Do đó .
Hình chóp có đáy là hình vuông, hai mặt bên và vuông góc với mặt đáy. lần lượt là đường cao của tam giác , tam giác . Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Hai mặt bên và vuông góc với mặt đáy nên .
 nên đáp án B đúng.
 nên đáp án C đúng.
Mặt khác nên suy ra .
Tương tự, ta cũng được nên hay nên đáp án A cũng đúng.
Cuối cùng, nếu , mà nên , điều này mâu thuẫn với giả thiết là hình vuông, vậy đáp án D sai.
Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều cạnh và . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Vì là hình lăng trụ đứng nên hình chiếu của trên mặt phẳng là .
Lại có: nên góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là .
Ta có: . Vậy .
Cho hàm số . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song với đường thẳng ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Ta có: . Gọi là tọa độ tiếp điểm. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng nên .
+) Tại  : Tiếp tuyến có phương trình là (loại).
+) Tại : Tiếp tuyến có phương trình là (nhận).
Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu.
Cho hình chóp có các cạnh , , đôi một vuông góc và . Gọi là trung điểm của . Khi đó góc giữa hai đường thẳng và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Giả sử .
Gọi là trung điểm . Khi đó đều. nên . Nên góc giữa đường thẳng bằng 
TỰ LUẬN
Câu 1: Tính giới hạn sau: .
Lời giải
.
Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số tại .
Lời giải
Có nên hàm số liên tục tại .
Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số sau: 
 a) b) .
Lời giải
Lời giải
.
Câu 4: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ .
Lời giải
Ta có: 
 Với 
 Phương trình tiếp có dạng: .
Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng .
Lời giải
Gọi là tiếp tuyến cần tìm.
Ta có .
Tiếp tuyến .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại là: .
Vậy phương trình tiếp tuyến tại là: 
Câu 6: Trong không gian cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh và .
Chứng minh .
Tính góc giữa và .
Tính góc giữa và .
Lời giải
Chứng minh .
 Ta có (đpcm).
Tính góc giữa và .
Ta có: Góc giữa và là .
Tính 
Ta có vuông tại 
Ta có: Góc giữa và là .
Tính 
.    
.
Ta có vuông tại 
-------------- HẾT --------------