Đề mẫu soạn dành cho kỳ thi chung quốc gia 2015 môn: Toán. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đơn vị: THPT chuyên Hoàng Lê Kha
ĐỀ MẪU SOẠN DÀNH CHO KỲ THI CHUNG QUỐC GIA 2015
Môn: TOÁN. Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2.0 điểm) (GV Huỳnh Quốc Hào soạn)
Cho hàm số .
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b/ Tìm các giá trị m để đường thẳng (d): cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng .
Câu 2a. (0.5 điểm) (GV Huỳnh Thị Kim Nga soạn)
Thu gọn 
 	b. (0.5 điểm) (GV Nguyễn Ngọc Duệ soạn)
Cho số phức . Tìm m để 
Câu 3. (0.5 điểm) (GV Huỳnh Thị Kim Nga soạn)
 	Giải phương trình: 
Câu 4. (1.0 điểm) (GV Huỳnh Thị Kim Nga soạn)
Giải hệ phương trình:
Câu 5. (1.0 điểm) (GV Nguyễn Ngọc Duệ soạn)
	Tính tích phân 
Câu 6. (1.0 điểm) (GV Nguyễn Hoài Phúc soạn)
Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa và mặt bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa và AC với I là trung điểm AB.
Câu 7. (1.0 điểm) (GV Nguyễn Hoàng Khanh soạn)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm . Chân đường cao hạ từ B, C của ABC lần lượt là . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết rằng tung độ điểm A dương.
Câu 8. (1.0 điểm) (GV Nguyễn Thành Liêm soạn)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác IMN có diện tích bằng .
Câu 9. (0.5 điểm) (GV Nguyễn Ngọc Duệ soạn)
Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được cả 3 viên bi đều màu đỏ.
Câu 10. (1.0 điểm) (GV Huỳnh Thị Kim Nga soạn)
Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
--- Hết ---
ĐÁP ÁN CHI TIẾT VÀ THANG ĐIỂM.
Câu 1: Cho hàm số .
 a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
 1 điểm
Tập xác định: 
Sự biến thiên:
 + Chiều biến thiên: 
 + Hàm số nghịch biến trên các khoảng và 
 + Hàm số không có cực trị.
0.25
 + Giới hạn và tiệm cận: 
 Do ; nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là: 
 ; nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là:
0.25
 + Bảng biến thiên:
0.25
Đồ thị
0.25
 b/Tìm các giá trị m để đường thẳng (d): cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm tam giác OAB nằm trên đường thẳng .
 1 điểm
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đt (d): 
 (1)
Đường thẳng (d) cắt (C) tại A, B khi chỉ khi: 
 (*)
0.25
Khi đó gọi tọa độ giao điểm là:, x1, x2 là nghiệm pt(1)
Tọa độ trọng tâm tam giác OAB là: 
0.25
G thuộc nên: 
0.25
So với điều kiện (*) ta có kết quả bài toán là: 
0.25
Câu 2a. Thu gọn 
0.5 điểm
0.25
0.25
Câu 2b. Cho số phức . Tìm m để 
0.5 điểm
Ta có 
0.25
Do đó 
0.25
Câu 3. Giải phương trình: 
0.5 điểm
PT Û cos2x + cos8x + sinx = cos8x 
 Û 1- 2sin2x + sinx = 0
0.25
Û sinx = 1 v 
Û 
0.25
Câu 4. Giải hệ phương trình:
 1 điểm
0.25
0.25
Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x + y > 0. Thế (3) vào (2) ta được 
0.25
Giải hệ 	(nhận)
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1;0) và (-2;3).
0.25
Câu 5. Tính tích phân: 
1 điểm
Đặt . Ta có: Với 
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa và mặt bằng . Tính theo a thể tích khối lăng trụ và khoảng cách giữa và AC với I là trung điểm AB.
1 điểm
Ta có : 
Suy ra góc giữa CA’ và chính là góc giữa CA’ và IA’ và bằng góc 
Do đó ; với 
Suy ra: 
0.25
Vậy (đvtt)
0.25
Kẻ . Khi đó 
0.25
Kẻ tại E và tại F. 
Ta chứng minh được: 
Ta có: 
Và: 
Vậy: 
0.25
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm . Chân đường cao hạ từ B, C của ABC lần lượt là . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết rằng tung độ điểm A dương.
1 điểm
•	
•Chứng minh IA ⊥ HK.
•Phương trình IA:
•Lấy 
•⇒.
0.25
• AB:
•AC:.
•BH:.
•CK:.
0.25
•Tọa độ thỏa .
•Tọa độ thỏa .
0.25
•Đường tròn (C) ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm _trung điểm BC, bán kính .
•Vậy (C):
0.25
Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng . Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d và viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I, cắt đường thẳng d tại hai điểm phân biệt M, N sao cho tam giác IMN có diện tích bằng .
 1 điểm
Do . Khi đó, ta có và đường thẳng d có vectơ chỉ phương .
Mặt khác vì H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d nên ta có 
Suy ra .
0.25
Theo tính toán phần trên ta có .
Lại vì tam giác IMN cân tại I nên ta có .
0.25
Từ đó, suy ra mặt cầu (S) có bán kính 
0.25
Vậy phương trình mặt cầu (S) có dạng: 
0.25
Câu 9. Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất để lấy được cả 3 viên bi đều màu đỏ.
0.5 điểm
- Gọi là tập hợp tất cả các cách lấy ra 3 viên bi trong số 12 viên bi. 
Ta có: 
- Gọi A là biến số “lấy được 3 viên bi màu đỏ”. Số các cách lấy ra 3 viên bi màu đỏ trong 7 viên bi màu đỏ là 
0.25
- Vậy xác suất P(A) để lấy ra được 3 viên bi màu đỏ là :
0.25
Câu 10. Cho các số thực dương x, y, z. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 1 điểm
 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có
	(1)
0.25
Tương tự ta có
	(2) 
	 	(3)
0.25
Cộng 3 bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được
0.25
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z.
Vậy Max P = 1 khi x = y = z.
0.25
--- Hết ---