Đề Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2016 - 2017 môn: Toán học thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề

 Tên : Trƣơng Quang An 
 Giáo viên Trƣờng THCS Nghĩa Thắng 
 Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi 
 Điện thoại : 01208127776 
ĐÈ NĂM NAY QUÁ DỄ ,TÔI LÀM ĐƢỢC 10 ĐIỂM .NĂM NAY HỌC 
SINH QUẢNG NGÃI QUÊ TÔI KHÔNG CÓ NHÂN TÀI .CAO NHẤT 
TRONG KỲ THI LÀ 7 ĐIỂM .CÓ LẼ TRÌNH ĐỘ HỌC SINH ĐANG ĐI 
XUỐNG VÌ GIÁO VIÊN CẤP 2 HIỆN NAY TRÌNH HẠN CHẾ VÀ CŨNG 
DO HỌC SINH KHÔNG CHỊU HỌC .ĐỀ THI CHƢA CÓ CÂU HỆ 
PHƢƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC ,KHÔNG GIÁ PHƢƠNG TRÌNH 
VÔ TỶ ,KHÔNG CÓ BẤT ĐẲNG THỨC ,RA HAI CÂU NGHIỆM 
NGUYÊN LÀ QUÁ DỞ . ĐỀ THI KHÔNG HỢP VỚI MỘT CÁI ĐỀ 
CHUYÊN TOÁN ,BÀI RÚT GỌN VÔ CÙNG KHÓ VỚI HỌC SINH .BÀI 
TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC DỰA VÀO NGHIỆM KHÔNG HỢP VỚI 
TRÌNH ĐỘ HS QUẢNG NGÃI .BÀI HÌNH CÂU C NÊN CHUYỂN QUA 
TÌM MIN MAX TRONG HÌNH HỌC SẼ DỄ HƠN .Bài tìm điểm cố định là 
không hợp lý ,chuyên toán không nên ra .Bài tìm nghiệm nguyên quá nhiều 
tới 3 câu 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
 TỈNH QUẢNG NGÃI 
 ----------------------------- 
 ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
 NĂM HỌC 2016-2017 
 MÔN: TOÁN (Chuyên) 
Thời gian: 150 phút không kể thời gian 
giao đề 
Bài 1 :( 1 điểm ) 
a)Tìm tập hợp nghiệm nguyên của phƣơng trình :4x+7y=15 
b)Cho a ,b là các số nguyên dƣơng thỏa mãn a(2a+1)=b(3b+1).Chứng minh rằng 
M=2a+2b+1 là một số chính phƣơng . 
Bài 2 :( 1,5 điểm ) 
a)Cho x là các số thực thỏa mãn 0<x<1.Rút gọn biểu thức 
22
1 1 1 1
1
1 1 1 1
x x
A
x xx x x x
   
              
b)Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình (m+1)x-2(m-3)y=5m+2 chứng minh rằng 
đƣờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi .Tìm tọa độ của điểm 
cố định đó 
Bài 3 :( 2,5 điểm ) 
a)Cho a là nghiệm của phƣơng trình 2 1008 0x x   .Tính giá trị của biểu thức 
44 8068 1M a a   . 
b)Tìm cặp nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình 2 2 2( )( 2)x y x y x y     . 
c)Cho phƣơng trình 2 ( 3 1) 2 3 0kx k x k     .tìm tất cả các giá trị tham số k để 
phƣơng trình có nghiệm nguyên . 
Bài 4 :( 3,5 điểm ) 
Cho đt tâm O bán kính R và dây BC= 3BC R ,A thuộc cung lớn BC sao cho tam 
giác ABC có 3 góc nhọn ,các đc BD ,CE cắt nhau tại H .DE cắt O tại M,N (M 
thuộc cung nhỏ AB).I là trung điểm day BC . 
Tính độ dài DE theo R 
Tam giác AMN cân và BM.CN=2EM.DN 
K là hình chiếu của H trên đt AI .Chứng minh rằng khi A chuyển động thì K thuộc 
1 đ tròn cố định 
Bài 5 :( 1,0 điểm ) 
Cho dãy số tự nhiên 1,2,3,...2017 .Mỗi lần xóa đi 2 số bất kỳ của dãy số và ghi 
thêm vào dãy số còn lại giá trị tuyệt đối hiệu hai số đó .Cứ làm nhƣ vậy cho đến 
khi dãy số còn 100 số .Hỏi tổng của 100 số đó có bằng 2016 đƣợc hay không ?Vì 
sao ? 
Bài làm 
Bài 1 :( 1 điểm ) 
a)Tìm tập hợp nghiệm nguyên của phƣơng trình :4x+7y=15 
b)Cho a ,b là các số nguyên dƣơng thỏa mãn a(2a+1)=b(3b+1).Chứng minh rằng 
M=2a+2b+1 là một số chính phƣơng . 
Bài làm 
a)Ta có 4x+7y=15 hay 4x+7y=4.2+7.1 nên x=2 ,y=1 là một nghiệm của phƣơng 
trình . 
Mặt khác ta có 4x+7y=4.2+7.1 hay 4(x-2)=7(1-y) . 
Vì (4,7)=1 nên x-2=7t (với t là một số nguyên bất kỳ ) hay x=7t+2 .Lúc đó ta có 
y=17-28t 
Vậy nghiệm nguyên của phƣơng trình là (2,1) và (7t+2,17-28t) (với t là một số 
nguyên bất kỳ ). 
b) 2 22 3a a b b   2( )(2 2 1)a b a b b     (*) 
Gọi d là ƣớc chung của (a - b, 2a + 2b + 1) ( *Nd ). Thì 
   2
2 2
( )
2 2 1
(2 2 1)
a b d
a b a b d
a b d
b d b d

   
 
 
Mà ( ) (2 2 )a b d a d a b d    mà (2 2 1) 1 1a b d d d     
Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta đƣợc a b và 2 2 1a b  là số chính phƣơng 
=> 2 2 1a b  là số chính phƣơng. 
Bài 2 :( 1,5 điểm ) 
a)Cho x là các số thực thỏa mãn 0<x<1.Rút gọn biểu thức 
22
1 1 1 1
1
1 1 1 1
x x
A
x xx x x x
   
              
b)Cho đƣờng thẳng d có phƣơng trình (m+1)x-2(m-3)y=5m+2 chứng minh rằng 
đƣờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi .Tìm tọa độ của điểm 
cố định đó . 
 Bài làm 
22
1 1 1 1
1
1 1 1 1
x x
A
x xx x x x
   
              
2
22 2
(1 )1 1 1
1
1 1 1 (1 )
xx
A
x xx x x x
  
               
2
2
(1 )1 1 1
1
1 1 1 ( 1 1 )
xx
A
x xx x x x x
  
                
2 2
2
1 (1 ) 1 1
1
1 ( 1 1 )
x x
A
x xx x x
    
            
2
1 ( 1 1 ) 1 1
1
1 ( 1 1 )
x x x
A
x xx x x
     
           
2
1 1 1 1
1
1 1
x x
A
x xx x
    
          
 
2
2
1 1 1 1
1
2
x x
A
x x x
    
    
 
2
2
2 2 1 1 1
1
2
x
A
x x x
  
    
 
2
1 1
1A
x x
 
    
 
2
1 1
1
x x
 
   
 
2 2
1 1
1 1A
x x
     
Ta có (m+1)x-2(m-3)y=5m+2 hay m(x-2y-5)+ (x+6y-2) =0 . Để đƣờng thẳng d 
luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi thì 
23
2 5 0 4
36 2 0
8
x
x y
x y
y

   
 
    

. 
Vậy tọa độ điểm cố định đó là : 
23 3
;
4 8
 
 
 
. 
Bài 3 :( 2,5 điểm ) 
a)Cho a là nghiệm của phƣơng trình 2 1008 0x x   .Tính giá trị của biểu thức 
44 8068 1M a a   
b)Tìm cặp nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình 2 2 2( )( 2)x y x y x y     
c) Cho phƣơng trình 2 (3 1) 2 3 0kx k x k     .tìm tất cả các giá trị tham số k để 
phƣơng trình có nghiệm nguyên 
Bài làm 
a)Ta có 4 2 24 8068 1 (2 1) 4.1008M a a a      
Mà a là nghiệm của phƣơng trình 2 1008 0x x   nên 
2 21008 0 (2 1) 1008.4 1a a a       . 
Nên 
4 2 2 2 24 8068 1 (2 1) 4.1008 1008.4 1 4.1008 (2.1008 1) 2.1008 1 2017M a a a             
b) Ta có 2 2( 2) ( 2) 0x y    với mọi x,y nguyên dƣơng .Lúc đó ta sẽ có tiếp 
2 2( 2) ( 2) 0 4( 2)(1)x y x y x y         
Mà với x,y nguyên dƣơng ta có : 2 2 22( ) ( ) (2)x y x y   
Nhân hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có : 2 2 2( )( 2)x y x y x y     . 
Dấu bẳng xảy ra khi và chỉ khi x=y=4. 
c) 2 6 1k k    .Để phƣơng trình có nghiệm thì 2 6 1k k    có giá trị là một số 
chính phƣơng .Lúc đó thì 
2 26 1 ( 9 )( 9 ) 8 ( 2).( 4) ( 1).( 8)k k n k n k n                 
Ta có các trƣờng hợp sau : 
TH1 : 
9 2 6
9 4 1
k n k
k n n
     
 
    
 (thỏa mãn ). 
TH2 : 
9 4 6
9 2 1
k n k
k n n
     
 
    
 (thỏa mãn ). 
TH3 : 
9 2 12
9 4 1
k n k
k n n
      
 
      
 (thỏa mãn ). 
TH4 : 
9 4 12
9 2 1
k n k
k n n
      
 
     
 (thỏa mãn ). 
TH5 : 
9
9 1 2
9 8 7
2
k
k n
k n
n

   
 
     

 ( không thỏa mãn ). 
TH6 : 
9
9 8 2
9 1 7
2
k
k n
k n
n

   
 
     

 ( không thỏa mãn ). 
TH7 : 
27
9 1 2
9 8 7
2
k
k n
k n
n

    
 
      

 ( không thỏa mãn ). 
TH8 : 
27
9 1 2
9 8 7
2
k
k n
k n
n

    
 
      

 ( không thỏa mãn ). 
Thử lại không có giá trị nào của k thỏa mãn đề bài . 
Vậy không có k . 
Bài 4 :( 3,5 điểm )Cho đƣờng tròn tâm O bán kính R và dây BC= 3BC R ,A 
thuộc cung lớn BC sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn ,các đƣờng cao BD ,CE 
cắt nhau tại H .DE cắt O tại M,N (M thuộc cung nhỏ AB).I là trung điểm dây BC . 
a)Tính độ dài DE theo R. 
b)Tam giác AMN cân và BM.CN=2EM.DN 
c)K là hình chiếu của H trên đƣờng thẳng AI .Chứng minh rằng khi A chuyển 
động thì K thuộc 1 đƣờng tròn cố định . 
Bài làm 
 a) tứ giác BCDE nội tiếp => BC/DE=BH/HE do BC=R căn 3 => góc BAC=60 => 
BHE là nửa tam giác đều => HB/HE=2 => DE=1/2BC=Rcăn3/2 
 b) chứng minh đƣợc AO vuông góc DE => AO vuông góc MN nên AMN cân 
Không mất tính tổng quát giả sử M gần E hơn tam giác MEB đồng dạng ANE => 
BM/EM=AN/AE=2AN/AC=2AM/AC mà tam giác AMC đồng dạng NDC => 
AM/AC=ND/CN => BM/EM=2DN/CN => BM.CN=2EM.DN 
c) 
Chứng minh BKOC nội tiếp mới phải ta có ADKHE nội tiếp => góc DHK=KAD 
từ đây mình có cái bổ đề nhỏ cho tam giác ABC, trực tâm H trung tuyến AI. Gọi K 
là hình chiếu của H lên AI. Khi đó (AKC) tiếp xúc BC chứng minh khá đơn giản 
đƣờng tròn qua A, B tiếp xúc BC cắt đƣờng tròn qua A, C tiếp xúc BC tại K' qua 
biến đổi góc thu đƣợc AK' là trung tuyến kéo dài AK' cắt (ABC) tại M qua biến đổi 
góc suy ra K'CMB là hình bình hành từ đó dễ suy ra K' là hình chiếu của H => K' 
trùng K bổ đề đƣợc chứng minh áp dụng suy ra KAD=KCB => DHK=KCB => 
BHKC nội tiếp mà BHOC nội tiếp => BKOC nội tiếp mà B, O, C cố định nên ta có 
điều phải chứng minh 
Bài 5 :( 1,0 điểm ) 
Cho dãy số tự nhiên 1,2,3,...2017 .Mỗi lần xóa đi 2 số bất kỳ của dãy số và ghi 
thêm vào dãy số còn lại giá trị tuyệt đối hiệu hai số đó .Cứ làm nhƣ vậy cho đến 
khi dãy số còn 100 số .Hỏi tổng của 100 số đó có bằng 2016 đƣợc hay không ?Vì 
sao ? 
Bài làm 
Xét tổng của cả dãy 1+2+...+2017 là 1 số lẻ xét 2 số a, b bất kì trong tổng xét a+b 
khi bỏ 2 số a, b ra rồi thêm vào số |a-b| thì sẽ có 2 trƣờng hợp là a-b hoặc b-a nếu 
a-b tổng trên sẽ giảm đi a+b và thêm vào a-b tức là (a-b)-(a+b)=-2b tƣơng tự 
trƣờng hợp kia là (b-a)-(a+b)=-2a tức là khi thêm |a-b| thì tổng sẽ giảm đi một số 
chẵn nhƣng chú ý tổng ban đầu là một số lẻ nên khi giảm thế nào thì tổng cũng ra 
một số lẻ nhƣng 2016 là số chẵn nên không thể thỏa đƣợc xong 
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT 
 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC: 2016– 2017 
 MÔN: TOÁN (Hệ không chuyên ) 
 Thời gian làm bài: 120 phút 
 Ngày thi: 14– 6 – 2016 
Bài 1: (1,5 điểm) 
1.Thực hiện phép tính 25 8. 2 
2.Cho hàm số 2y x có đồ thị là (P) và hàm số y=x+2 có đồ thị là (d). 
a.Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy 
b.Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
Bài 2: (2,0 điểm) 
1.Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình sau : 
a) Giải phƣơng trình: x4 – 7 x2– 18= 0 
b) Giải hệ phƣơng trình: 
2 8
3 2 19
x y
x y
 

 
2. Tìm m để phƣơng trình x2 + 2(m -3)x - 4m+7 = 0 ( với m là tham số ) 
a. Chứng minh rằng phƣơng trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 
b. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phƣơng trình đã cho ,hãy tìm hệ thức liên hệ giữa 
x1 và x2 không phụ thuộc vào m . 
Bài 3: (2,0điểm) 
Cho hai vòi nƣớc cùng chảy vào một cái bể không có nƣớc thì trong 7 giờ 12 phút sẽ 
đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và cho vòi thứ hai chảy 
trong 3 giờ thì đƣợc 
1
2
bể nƣớc. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu 
mới đầy bể ? 
Bài 4: (3,5điểm) 
Từ một điểm M nằm ở bên ngoài đƣờng tròn Tâm O bán kính R , vẽ các tiếp 
tuyến MA,MB với đƣờng tròn (A,B là các tiếp điểm ).Vẽ cát tuyến MCD không đi 
qua tâm O của đƣờng tròn ( C nằm giữa M và D).Gọi E là trung điểm của dây CD. 
 a.Chứng minh năn điểm M,A,B,E,O cùng thuộc một đƣờng tròn 
 b.Trong trƣờng hợp OM =2R và C là trung điểm của đoạn thẳng MD .Hãy tính 
độ dài đoạn thẳng MD theo R. 
 c.Chứng minh hệ thức CD2 =4AE.BE 
Bài 5: (1,0điểm) Cho x,y là các số thực khác O.Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2
2 2
3 8
x y x y
A
y x y x
   
      
  
--------------- Hết --------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm 
Bài giải dự kiến 
Bài 1: (1,5 điểm) 
1.Thực hiện phép tính 25 8. 2 
2.Cho hàm số 2y x có đồ thị là (P) và hàm số y=x+2 có đồ thị là (d). 
a.Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy 
b.Bằng phép tính hãy tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) 
giải 
 1. 25 8. 2 5 16   
 5 16 5 4 5 4 9       
2. a) Vẽ   2:P y x 
Bảng giá trị giữa x và y: 
x -2 -1 0 1 2 
y 4 1 0 1 4 
Vẽ   : 2d y x  
 
 
0 2: 0;2
0 2 : 2;0
x y A
y x B
  
    
6
4
2
-2
-4
-6
-10 -5 5 10
b) Phƣơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 
 2 22 2 0 1x x x x      
Vì 0a b c   nên (1) có hai nghiệm là 1 21; 2x x   
* Với 1 11 1x y    
* Với 2 22 4x y   
Vậy tọa độ giao điểm của (P) và (d) là:  1;1 và  2;4 
Bài 2: (2,0 điểm) 
1.Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình sau : 
c) Giải phƣơng trình: x4 – 7 x2– 18= 0 
d) Giải hệ phƣơng trình: 
2 8
3 2 19
x y
x y
 

 
2. Tìm m để phƣơng trình x2 + 2(m -3)x - 4m+7 = 0 ( với m là tham số ) 
a. Chứng minh rằng phƣơng trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 
b. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phƣơng trình đã cho ,hãy tìm hệ thức liên hệ giữa 
x1 và x2 không phụ thuộc vào m . 
giải 
1.a.Đặt 2 0t x  thì ta có t2 – 7 t– 18= 0 .Ta có 249 72 121 11 11t        
Nên 
1
2
7 11
9
2
7 11
2
2
t
t

 

   

Với điều kiện 2 0t x  thì lấy 21 9 3t x x     
b. 
2 8 4 2 16 7 35 5
3 2 19 3 2 19 2 8 2
x y x y x x
x y x y x y y
        
     
        
2. a) 2 2 2 24( 3) 4(4 7) 4 24 36 16 28 4 8 8 4( 1) 1 1 0m m m m m m m m                  
Nên phƣơng trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m 
b. theo hệ thức vi- ét ta có 
1 2 1 2
1 1 1 1
1 2 1 2
2( 3) 2 2 12 4
2 2 19 . 0
. 4 7 . 7 4
x x m x x m
x x x x
x x m x x m
        
      
      
Bài 3: (2,0điểm) 
Cho hai vòi nƣớc cùng chảy vào một cái bể không có nƣớc thì trong 7 giờ 12 phút sẽ 
đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 4 giờ rồi khóa lại và cho vòi thứ hai chảy 
trong 3 giờ thì đƣợc 
1
2
bể nƣớc. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu 
mới đầy bể ? 
Giải 
Gọi  x h là thời gian ngƣời thứ nhất làm một mình xong công việc, 
36
5
x  
  y h là thời gian ngƣời thứ hai làm một mình xong công việc, 
36
5
y  
Theo đề bài, ta có hệ phƣơng trình: 
1 1 5
1236
4 3 1 18
2
xx y
y
x y

  
 
  

Vậy nếu làm riêng một mình thì ngƣời thứ nhất làm trong 12(h); ngƣời thứ hai làm 
trong 18(h). 
Bài 4: (3,5điểm) 
Từ một điểm M nằm ở bên ngoài đƣờng tròn Tâm O bán kính R , vẽ các tiếp 
tuyến MA,MB với đƣờng tròn (A,B là các tiếp điểm ).Vẽ cát tuyến MCD không đi 
qua tâm O của đƣờng tròn ( C nằm giữa M và D).Gọi E là trung điểm của dây CD. 
 a.Chứng minh năm điểm M,A,B,E,O cùng thuộc một đƣờng tròn 
 b.Trong trƣờng hợp OM =2R và C là trung điểm của đoạn thẳng MD .Hãy tính 
độ dài đoạn thẳng MD theo R. 
 c.Chứng minh hệ thức CD2 =4AE.BE 
 giải 
a. OMA=OME  OMB  090 nên năm điểm M,A,B,E,O cùng thuộc một đƣờng 
tròn 
 b. khi MC=CD thì OC vuông góc OB . 
ta có 2 .MA MCMD .Mà tam giác MAB đều do có MAB  060 
nên 3AB MA MB R   .Suy ra 6MD R 
c. CD
2 
=4CE
2 
=4AE.BE 
Tam giác CAE đồng dạng tam giác BCE .Suy ra 
CE BE
AE CE

 Nên 4CE
2 
=4AE.BE 
Bài 5: (1,0điểm) Cho x,y là các số thực khác O.Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2
2 2
3 8
x y x y
A
y x y x
   
      
  
Xin cho mọi ngƣời xem một số lời giải câu tìm Min khó nhất tuyển sinh Quảng 
Ngãi 2016-2017 nhé : HƢỚNG DẪN CÂU 5 ĐỀ THI VÀO 10 QUẢNG NGÃI 
2016 – 2017 
Đây là bài giải của Thầy DƢƠNG THẾ NAM TỈNH VĨNH PHÚC 
Cho x, y là các số thực khác 0. Hãy tìm GTNN của biểu thức : 
2 2
2 2
3 8
x y x y
A
y x y x
   
      
  
Phán đoán: 10x y MinA    , từ đó ta có hƣớng giải nhƣ sau: 
 i giải: 
22 2 2 2
2 2 2 2
3 8 2 4 4 12
x y x y x y x y x y
A
y x y x y x y x y x
         
                    
           
22 2
2 2
2 2 12
x y x y
A
y x y x
   
        
  
Với x,y  0, áp dụng BDT AM- GM ta có: 
2 2
2 2
2
x y
y x
  (1) 
Và 
2
2 0
x y
y x
 
   
 
 với x,y  0 (2) 
Suy ra: 2 0 12 10A     (3) 
Dấu = ở (3) xảy ra  dấu = ở (1), (2) đồng thời xảy ra, nghĩ là: 
2 2
2 2
2 0
x y
y x
x y
x y
y x



 
   

Vậy MinA = 10 x y   
Nói thiệt đây là cách giải của các Thầy ra đề của QUẢNG NGÃI ,trong một số 
sách cũng có giải ,trong tạp chí toán tuổi thơ ,toán học tuổi trẻ có giải rồi 
Sau đây tôi xin nêu ra các cách giải hay và độc đáo nhé .Của riêng tôi ,không theo 
sách và đáp án của SỞ GIÁO DỤC QUẢNG NGÃI nhé mọi ngƣời 
Bài 5: (1,0điểm) Cho x,y là các số thực khác O.Tìm giá trị nhỏ nhất của 
2 2
2 2
3 8
x y x y
A
y x y x
   
      
  
 CÁCH 1 : Đặt 
x y
m
y x
  .Theo bất đẳng thức cô-si ta có 2
x y
m
y x
   
Tôi xin thông qua hƣớng đi đến lời giải nhé ,không áp đặt (học sinh hay làm ) 
2 24 34 343 8 6 3( )
3 3 3
A m m m

       với 2
x y
m
y x
   
Min A là 
34
3

 khi 
4
2
3
m   (vô lý ). Nên không có m thỏa mãn vì chúng ta quên 
không sử dụng điều kiện m để tìm Min A.Bài toán này thực chất là bài toán tìm 
Min có điều kiện .Sau đây là cách giải : 
2 2 23 8 6 3 12 12 4 8 10 3( 2) 4( 2) 10A m m m m m m m              
Với 2
x y
m
y x
   thì 22 ( 2) 0
x y
m m
y x
      
và 2 4( 2) 0
x y
m m
y x
      
nên 2 2 23 8 6 3 12 12 4 8 10 3( 2) 4( 2) 10 10A m m m m m m m                
Min A =-10 khi 2
x y
m x y
y x
     
CÁCH 2 : Đặt 
x y
m
y x
  .Theo bất đẳng thức cô-si ta có 2
x y
m
y x
   
Theo cách giải tìm Min của biểu thức bậc 2 có điều kiện nhé . Vì 2 0
x y
m
y x
    
Nên đặt 2m t  với n dƣơng .Lúc đó 
2 2 23 8 6 3(2 ) 8(2 ) 6 3 4 10 10A m m t t t t             
Min A =-10 khi 2 2 2
x y
t m x y
y x
        
Tiền hay tài năng toán học thật sự 
Tên : Trƣơng Quang An 
 Ngày sinh :20-5-1987 
Tốt nghiệp cao đẳng sƣ phạm toán quảng Ngãi năm 2009 
 Ra trƣờng đi xin việc khắp mọi nơi vào cuối năm 2011 mới xin hợp đồng 
làm việc giảng dạy toán cho 1 trƣờng cấp 2 
Nhà hiện nay ở Thành Phố Quảng Ngãi 
Thành tích lúc đi học : 
Lớp 8 : Học sinh đạt giải nhì học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lớp 9 : Học sinh đạt giải ba học sinh giỏi toán cấp thị xã Quảng Ngãi 
Lên cấp 3 học Trƣờng Cấp 3 Chuyên Lê Khiết 
Năm 2005 thi đại học sƣ phạm Quy Nhơn đạt 24 điểm , tôi phải xa giảng 
đƣờng đại học vì mẹ tôi đau quá nặng ,gánh nặng cơm áo gạo tiền mà tôi phai chia 
tay đại học .Sau đó tôi về quê nhà học cao đẳng sƣ phạm Quảng Ngãi 
3 năm học tại đây tôi là sinh viên giỏi nhất khoa về Toán học .Các Thành 
tích : 
- Giải nhất toán lý sơ cấp 3 năm học 2006,2007,2008 
-Ba năm giải nhất môn giải tích trong kỳ thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN 
cấp trƣờng Cao Đẳng Sƣ Phạm Quảng Ngãi năm học 2006 ,2007,2008 
 -Trong 3 lần đại diện cho trƣờng thi ÔLIMPIC TOÁN SINH VIÊN Toàn 
quốc thì 1 lần đạt giải ba ,1 lần giải khuyến khích . 
-Ba năm liền đạt giải nhất trong kỳ thi sinh viên giải toán trên máy tính casio 
cấp trƣờng . 
-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng đề trong mục đề 
ra kỳ này của tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Sinh viên đầu tiên của trƣờng cao đẳng sƣ phạm đƣợc đăng bài trong mục 
chuyên đề của đặc san tạp chí toán học tuổi trẻ 
-Giáo viên đầu tiên của tỉnh Quảng Ngãi đƣợc đăng bài trên đặc san tạp chí 
toán học và tuổi trẻ 
 -Hiện nay sáng dạy ở trƣờng vì đồng lƣơng quá thấp nên đi dạy kém khắp 
nơi đề kiếm thêm tiền để trang trải cuộc sống hằng ngày và phụ giúp cha mẹ nghèo 
ở quê Quảng Ngãi 
-Bản thân là ngƣời rất đam mê môn toán từ khi tôi còn là học sinh lớp 7 , 
hiện nay tôi thƣờng giải các bài tập khó và dạy kèm cho các học sinh có nhu cầu 
vào chuyên toán 
-Ra trƣờng 8 năm mà không có đƣợc biên chế ,lƣơng hợp đồng 1500.000đ 
,không đủ sống .Hiện nay tôi thấy xã hội không cần các giáo viên trình độ toán 
năng lực cao ,xin việc khắp nơi mà không có chỗ dạy .Bản thân tôi hoàn cảnh khó 
khăn ,không đƣợc nhƣ giáo sƣ Ngô Bảo Châu ,tôi phải ra đƣờng đời quá sớm 
,không đƣợc học chuyên về toán học .Tôi chỉ tự nghiên cứu ,tìm các phƣơng pháp 
học toán .Tôi ƣớc gì có một trƣờng nhận tôi vào để đƣợc giảng dạy toán ,bồi đƣỡng 
đội tuyển toán thi các cấp về toán ,toán thi trên mạng .Xã hội cần các sinh viên sƣ 
phạm đạt loại giỏi mà sinh viên sƣ phạm trình độ cao đẳng giỏi nhƣ tôi không 
trƣờng nhận vào dạy ,dạy hợp đồng không có tiền nhiều ,gia đình quá khổ ,không 
có chế độ tốt cho gióa viên hợp đồng .Tôi thấy sinh viên hệ Cao Đẳng Sƣ Phạm 
giỏi nhƣ tôi mà xã hội đối xử quá bất công .Trong khi các bạn bè tôi học đại học sƣ 
phạm ,nói thiệt trình độ chuyên môn toán tụi nó không bằng tôi ,thua rất xa .Chẳng 
lẽ học đại học sƣ phạm có giá trị hơn cao đẳng sƣ phạm phải không ? Thật là buồn 
gê !Tôi là trƣờng hợp ngoại lệ ,vì niềm đam mê toán học mà tôi luôn luôn học hỏi 
và trao dồi kiến thức toán học cổ điển và hiện đại .Hiện nay tôi có thể giải tốt các 
bài toán trong chƣơng trình đại học ,hoặc các môn toán luyện thi đại học ,các 
chuyên ngành toán ở các lớp cao học .Tôi học toán theo niềm đam mê và bản thân 
luôn luôn hƣớng tới sự hoàn thiện về toán học của bản thân .Dù thời gian tối quá 
bận rộn ,sáng dạy hợp đồng .chiều chạy bàn cho các nhà hàng ,tối chạy bàn cho các 
quán cà pê ,có hôm đi dạy kèm ,có bữa chạy xe ôm kiếm sống .Dù ở đâu tôi cũng 
đem theo sách toán để ngồi đọc khi rảnh .Hiện nay tôi có thể giải thành thạo các đề 
thi học sinh giỏi cấp huyện môn toán ,cấp tỉnh môn toán với số điểm gần tuyệt đối 
.Về môn giải toán trên máy tính cầm tay thì tôi là cao thủ ,mọi thủ thuật trong casio 
thì tôi đều đã nắm đƣợc rất tốt ,bồi dƣờng đội tuyển năm nào cũng có thành tích 
cao ,nhƣng tiền bồi dƣỡng quá ít 15000/1 tiết ,không đủ để đổ xăng khi đến trƣờng 
để dạy và lo cho gia đình tôi .Các đề thi vào hệ chuyên năm nào tôi cũng xin đề về 
giải thử ,cơ bản tôi giải đƣợc 99% .Bạn bè tôi thì tụi nó chỉ giải đƣợc một bài mà 
thôi ,có đứa đọc đề xong rồi lắc đầu không giải nổi .Một số đứa dạy trƣờng chuyên 
mà trình độ toán học chƣa chắc gì bằng tôi .Hiện nay tôi đã gởi hồ sơ xin việc toàn 
Việt Nam để mong một trƣờng nào đó nhận tôi vào làm để có tiên nuôi vợ con và 
cha mẹ . 
-Hiện nay tôi có đào tạo các em học sinh nghèo gần xóm miễn phí với mong 
muốn truyền vào các em niềm đam mê toán học và từng bƣớc các em đến với tạp 
chí toán học tuổi trẻ hay tạp chí toán tuổi thơ . 
-Hiện nay bản thân muốn học lên đại học nhƣng có lẻ ƣớc mơ đó của tôi 
không thành hiện thức vì chuyện tiền bạc va gia đình hoàn cảnh 
-Những giáo viên yêu toán nếu có nhu cầu giải các bài toán khó và giao lƣu 
học hỏi 
-Xóm tôi bình thƣờng lắm ,bọn nhỏ ngây thơ ,ngộ nghĩnh đáng yêu .Hằng 
ngày bọn trẻ xóm tôi thƣờng nhờ tôi giúp các bài toán khó .Tôi đến với tạp chí toán 
học tuổi trẻ khi tôi còn là một học sinh lớp 7 .Mƣời sáu năm qua tôi đã coi tạp chí 
nhƣ một ngƣời bạn quen thuộc mà tôi mong đợi vào ngày 15 hằng tháng .Ban đầu 
tôi thích thú tò mò tìm thêm tài liệu ,sau nay cố gắng giải các bài tập trong chuyên 
mục đề ra kỳ này .Trong 16 năm qua tạp chí đã cho tôi đƣợc tiếp xúc với các bài 
toán rất hay ,chuyên đề hay .Ba năm học cao đẳng là thời gian đẹp nhất cuộc đời 
tôi .Tôi bƣớc vào sƣ phạm toán với nền tảng kiến thức vô cùng tốt .Ngay tôi đƣợc 
tạp chí đăng 1 bài trên chuyên mục đề ra kỳ này tôi rất vui sƣớng ,không tả nỗi .Đó 
là thời điểm năm 2008 ,khi đó tôi chỉ là 1 sinh viên nghèo của trƣờng ,điều kiện 
học tập không có ,sinh viên cao đẳng nhƣ tôi viết bài cho 1 tạp chí toán học là điều 
viễn vông ,đó là sƣ thật .Nhƣng tôi không nản lòng và cuối cùng tôi cũng đạt đƣợc 
ƣớc mơ của tôi .Những ngày đó thật khó khăn ,tôi chỉ ghi bài giải trên giấy A4 rồi 
đem thƣ ra bƣu điện gởi .Cách đây 1 năm thì có chị họ làm quán PHÔ T Ô COPPY 
bán lại một chiếc máy tính đề bàn cũ ,tôi mua với giá 500 ngàn ,vui lắm các bạn 
,thế là từ nay có thể đánh vi tinh các bài toán mà minh suy nghĩ và sƣu tầm ,sau khi 
hoàn thiện tôi chạy ra quán PHÔ T Ô COPPY để gởi vì nhà không có mạng 
INTERNET .Có lẽ tôi sẽ gục ngã trƣớc cuộc sống nghèo khổ và thiếu tiền bạc nếu 
nhƣ tôi không có niềm đam mê toán học .Tôi nhớ mãi năm 2008 khi cầm trên tay 
tờ báo có đăng bài của minh tôi đã vui run luôn ,tôi ra bƣu điện mua báo toán ,trên 
kệ báo còn đúng 1 tờ ,đọc và thấy tên mình và tôi đã lên xe đạp cà tàng của sinh 
viên đạp nhanh nhanh về nhà ,thật nhanh ,tôi không biết tôi đã qua mấy ngã tƣ nữa 
,chỉ biết đạp thật nhanh .Mấy tháng sau có thƣ nhận tiên nhuận bút 120.000 ,đối 
với 1 đứa sinh viên nghèo nhƣ tôi đó là số tiền 1 tháng đề ăn sáng đi học ,vui lắm 
các bạn ak .Sinh viên qua nhanh ,ra trƣơng vì hoàn cảnh cha mẹ đau và không có 
tiền,không nơi nào nhận mình vào dạy học ,mình đã đi chạy bàn cà phê,chạy bàn 
đám cƣới cho nhà hàng ,mình đi dạy kèm khắp nơi ,có khi phải đi chạy xe ôm 
nhƣng khi rảnh mình thƣờng lấy tạp chí toán học ra xem .Tạp chí nhƣ một phần 
trong cơ thể mình ,rồi sau 4 năm chạy việc khắp nơi tôi cũng xin đƣợc hợp đồng 
cho 1 trƣờng cấp 2 để dạy toán . Nhà tôi hiện nay sách toán rất nhiều ,16 năm qua 
tôi đã có trong tay khoảng 451 số báo toán học ,mua có ,tôi mƣợn báo để phô tô 
cũng có .Hồi xƣa khi tới ngày 15 hằng tháng tôi thƣờng ra bƣu điện đề mua ,từ nhà 
đạp xe đạp ra ,tới nơi mệt nhƣng khi mua đƣợc báo là tôi vui lắm .Vào năm 2014 
thì đi làm cuộc sống cũng đỡ khó khăn thì tôi mạnh dạn dành tiên lên bƣu điện đặt 
báo để nhân viên giao tận nhà luôn .Qua thời gian tôi cung mua đƣợc chiếc xe máy 
cũ đề đi làm .Qua nhũng tâm sự này tôi muốn các bạn yêu toán mà có điều kiện 
hơn tôi hãy cố gắng lên nhé ,hãy đặt mua tạp chí toán học ,hãy viết bài cho tạp chí 
.Tiền trong cuộc sống không là gì ,nếu chúng ta cố gắng và có ý chí thì chúng ta sẽ 
thành công .Tôi hiện nay có 2 ƣớc mơ ,thứ nhất đƣợc ra thăm toán chí toán học 
tuổi trẻ 1 lần cho biết ,năm ngoái đƣợc tạp chí toán học tuổi thơ mời ra dự buổi hội 
thảo toán học ở Đà Nẵng nhƣng do công việc và cha mẹ đau nặng tôi đã không ra 
.Thứ 2 mong đƣợc học lên đại học hệ chính quy .Mặc dù ở quê tôi có dạy hệ tại 
chức ,nhƣng tôi thích học chính quy hơn ,ƣớc mơ đó có thể với mọi ngƣời rất đơn 
giản nhung với mình khó vì gia đình ,cha mẹ ,tiền bạc phải mƣu sinh vì cuộc sống 
hằng ngày . Trên toàn quốc ,nếu trƣờng nào cần giáo viên nhƣ tôi thì liên hệ số 
điện thoại 01208127776 ,hiện nay tôi không có việc làm ,không tiền ,cha mẹ bệnh 
nặng mà không có tiền lo .Trên bóng đá có Bầu Đức của Hoàng Anh Gia Lai ,ông 
này đầu tƣ cho bóng đá và giúp cho nhiều cầu thủ nghèo . Mà trên giáo dục không 
có ai đƣợc nhƣ Bầu Đức thật là bùn .Trên Việt Nam chỗ nào ,nơi nào cần tuyển 
giáo viên chất lƣợng cao hay liên hệ với tôi nhé .Không biết tạp chí toán học có 
tuyển một cộng tác viên trình độ cao đẳng nhƣ tôi không .Lƣơng hợp đồng 
15.000đ/tiết quá thấp ,tôi không sống đƣợc bằng nghề sƣ phạm , 
 Một ngƣời đam mê Toán và tạp chí toán học và tuổi trẻ 
 Đến từ miền quê nghèo khổ ,khốn khó 
 Nghĩa Thắng ,Tƣ Nghĩa ,Quảng Ngãi 
 Trƣơng Quang An