Đề kiểm tra học sinh giỏi tỉnh lần 1 môn thi: Toán – lớp 9 - Thcs thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GD – ĐT .............
ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI TỈNH LẦN 1
TRƯỜNG THCS .............
NĂM HỌC: ...................
MÔN THI: TOÁN – LỚP 9 - THCS
Đề chính thức
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: .... tháng ..... năm .......
Câu 1. (2,0 điểm)
	a) Tính tổng: .
	b) Cho biểu thức: . Chứng minh giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào x, y.
Câu 2. (6,0 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
Câu 3 (3,0 điểm)
	a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .
	b) Tìm tất cả bộ các số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng 10 lần tổng của chúng.
Câu 4. (6,0 điểm)
	1. Từ điểm A ở ngoài đường tròn(O), vẽ cát tuyến ABC và hai tiếp tuyến AD, AE đến đường tròn (O), (B, C, D, E (O); B nằm giữa A và C).
 a) Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC di chuyển trên đường nào.
 b) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt AD và AE lần lượt tại M và N. Định vị trí cát tuyến ABC để diện tích tam giác AMN lớn nhất.
2. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Trên các đoạn AH, AB, AC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho EDC = FDB = 90o (với E khác B). Chứng minh rằng EF // BC. 
Câu 5. (3,0 điểm)
	a) Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta luôn có:
	b) Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?
----------------Hết---------------
(Đề này gồm có 01 trang)
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (2 điểm):
	a) Ta có: 
Do đó: (*)
Áp dụng (*) với n = 1; 2; 3; ..; 2011 ta có :
b) Với và ta có :
Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào x, y.
Bài 2 (6 điểm):
a) ĐK: . Pt 
Giải pt (Loại)
Giải pt (TM). 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: 
b)ĐK: . Pt 
Đặt 
Thay vào Pt đã cho ta có: (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Hệ 
Đặt ta được hệ 
Giải hệ pt này ta được 
TH 1. 
TH 2. 
Vậy hệ pt có 8 nghiệm là
d) ĐK: 
Hệ 
Thay (1) vào (2) của hệ ta có: (*)
Đặt thay vào (*) ta có: 
TH1: 
TH2: 
Vậy hệ pt đã cho có nghiệm duy nhất .
Bài 3 (3 điểm):
	a) 
· Nếu x lẻ, đặt . Thay vào pt ta có: 
Ta có: 
	Do đó : (vô lí vì số chính phương chia cho 8 dư 0 hoặc 1)
· Nếu x chẵn, đặt . Thay vào pt ta có: (*)
	Do và là các số chẵn nên từ (*) xảy ra các TH:
 Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất .
	b) 
Nhận thấy bộ số nguyên tố đó phải chứa số 2 và 5. 
Giả sử là các số còn lại trong bộ. Theo bài ra ta có:
 (1)
Ta có với thì . Áp dụng với ta có:
Từ (1) ta có: 
Đặt (2)
Do a ³ 2 nên từ (2) suy ra nên 
· Nếu (do ). 
Khi đó (1) trở thành: (vô lí)
· Nếu 
Do đó: chỉ có thể là 
	Thử lại vào (1) ta thấy không có bộ số nào thỏa mãn.
· Nếu 
Do đó: chỉ có thể là 
	Thử lại vào (1) ta thấy bộ thỏa mãn
· Nếu 
Do đó: chỉ có thể là 
	Thử lại vào (1) ta thấy không thỏa mãn.
Vậy bộ các số nguyên tố thỏa mãn đề bài là .
Bài 4 (6 điểm):
1. 
a) AO cắt đường tròn (O) tại F, L cắt đường tròn (OBC) tại K, O (A, F, K, O, L theo thứ tự đó)
Xét ABK và AOC có: : chung; 
Do đó: ABK ~ AOC 
Tương tự, ta có: AF.AL = AB.AC
Do đó: AK.AO = AF.AL AK.AO = (AO – OF)(AO + OL)
: Không đổi 
K là điểm cố định.
Ta có: JK = JO (J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC). KO cố định
Do đó J chuyển động trên đường thẳng cố định là đường trung trực của đoạn thẳng KO.
b) Gọi (I; r) là đường tròn nội tiếp tam giác AMN.
Đoạn thẳng IO cắt (I) tại S. Theo tính chất tiếp tuyến có: MD = MB; NE = NB
Do đó: AM + MN + AN = AM + MB + NB + AN = AM + MD + NE + AN
 = AD + AE = 2AD: Không đổi
ITAE; OEAE IT//OE (T là điểm chung của (I) và AE)
AOE có IT//OE nên: 
Vậy: . Nên lớn nhất r lớn nhất AS lớn nhất S F Cát tuyến ABC qua O
Vậy: Khi cát tuyến ABC đi qua O thì diện tích tam giác AMN lớn nhất.
2. 
Kéo dài DE và DF cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và N.
Tam giác MDC vuông tại D, đường cao DH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HD2 = HM. HC (1)
Tam giác BDN vuông tại D, đường cao DH.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông HD2 = HB. HN (2)
Từ (1) và (2) HM.HC = HB.HN (3)
Qua D vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại P và Q.
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
Vì PD // BM ; PD // BH .
Do đó (4).
Tương tự ta cũng có (5)
Từ (3) (4) và (5) . 
Theo định lí Ta-lét đảo, suy ra EF // BC.
Bài 5 (3 điểm):
	a) Ta có:
 (do )
Ta có:
Tương tự với 2 số hạng còn lại, suy ra BĐT đã cho tương đương với:
Hoàn toàn chứng minh được BĐT cuối luôn đúng do áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .
	b) 
Trả lời: Không tồn tại 16 số như vậy. Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn. Khi đó, ta có 16 số dư phân biệt khi chia cho 16: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ. 
Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn là a, b và chữ số lẻ là c.
Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này: 
Gọi là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị). Khi đó
 không là ước của tức là không chia hết cho 8
Nhưng trong 9 số chỉ có ba số lẻ nên 8 số bất kỳ trong 9 số luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho 8, mâu thuẫn.
Tương tự, trường hợp trong ba số a, b, c có hai số lẻ, một số chẵn cũng không xảy ra