CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 1 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) (NGÀY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và 1 1 1 0 a b c Chứng minh: 2 2 2 bc ca ab 3 a b c Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2x 4 x 6 x 2 x 12 25x b) 2 x 3x 2 1 x 3x 2 Bài 3: ( 3 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 x xy y 3 x y x xy y 7 x y Bài 4: (3 điểm) Cho x > 0, y > 0 và 2 2 x y 1 Chứng minh : 1 1 S 1 x 1 1 y 1 3 2 4 y x Bài 5: (3 điểm) Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 5 a b ab chia hết cho 441 thì ab cũng chia hết cho 441. Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đường phân giác trong góc A của ABC (D thuộc đoạn BC). Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N sao cho ABN CBM . BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN tại điểm thứ hai F. a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng: BCF ACM . Từ đó suy ra ACN BCM HẾT ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 Quận 6 (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 2 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) (NGÀY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực khác 0 và 1 1 1 0 a b c Chứng minh: 2 2 2 bc ca ab 3 a b c Ta có: 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 3 a b c a b c ab a ba b c 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 abc abc abc bc ca ab ab c abca b c a b c a b c a b c Bài 2: (4 điểm) Giải các phương trình sau: a) 2x 4 x 6 x 2 x 12 25x 2x 4 x 6 x 2 x 12 25x 2 2 2x 10x 24 x 14x 24 25x Đặt 2t x 2x 24 . Khi đó., phương trình trở thành: 2 2 2 2 2 2t 12x t 12x 25x t 144x 25x t 169x 0 t 13x t 13x 0 TH 1: 2 2 15 129 15 129 t 13x 0 x 2x 24 13x 0 x 15x 24 0 x hay x 2 2 TH 2: 2 2t 13x 0 x 2x 24 13x 0 x 11x 24 0 x 3 hay x 8 Vậy 15 129 15 129 S ; ; 3; 8 2 2 b) 2 x 3x 2 1 x 3x 2 Điều kiện: 2 x 3 pt 2 x 3x 2 1 x x 1 x 2 x 1 3x 2 x 1 x 2 3x 2 0 3x 2 2 2 x 1 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 2 2 x 0 x 1x 2 x 1x 2 3x 2 0 3x 2 2 x x 7x 6 03x 2 2 x x 6 Vậy S 1 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 LỚP 9 Quận 6 (2014-2015) CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 3 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) Bài 3: ( 3 điểm) Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 x xy y 3 x y x xy y 7 x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 x xy y 3 x y x xy y 3 x y x xy y 3 x y x xy y 7 x 2xy y 2x 5xy 2y 0x xy y 7 x y 2 2 2 22 2 2 2 x 2y Ix xy y 3 x y x xy y 3 x yx xy y 3 x y x 2y x 2y 2x y 0 y 2x y 2x II x xy y 3 x y Giải hệ (I), 22 2 2 2 2 2 x 2yx 2y x 2y x xy y 3 x y 2y 2y y y 3 2y y 4y 2y y 3y 2 x 0 x 2y x 2y y 0x 2y y 0 y y 1 03y 3y x 2 y 1 y 1 Giải hệ (II), 22 2 2 2 22 y 2xy 2x y 2x x xy y 3 x y x 2x 4x 3xx x 2x 2x 3 x 2x 2 x 0 y 2x y 2x y 0y 2x x 0 x x 1 03x 3x x 1 x 1 y 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là x 0 x 2 x 1 ; ; y 0 y 1 y 2 Bài 4: (3 điểm) Cho x > 0, y > 0 và 2 2 x y 1 Chứng minh : 1 1 S 1 x 1 1 y 1 3 2 4 y x Ta có : 1 1 1 x 1 y x y 1 1 S 1 x 1 1 y 1 1 x 1 y 2 x y y x y y x x y x x y Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, cho 2 số dương, ta có: 1 1 2 x y xy Ta có: 2 2 1 2x y 2xy 1 2xy 2 2 2 xy xy Do đó: 1 1 2 2 x y CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 4 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) Đến đây, ta dùng điểm rơi Cô-si, như sau: Do vai trò của x, y là như nhau nên ta dự đoán dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y mà 2 2x y 1 nên 1 x y 2 Từ đó, ta có: 1 1 x x 1 12 2 ;cho k 2 k 21 1 2 2 k k 2 x x Trình bày tiếp: x y 1 1 1 1 1 S 2 x y y x 2x 2y 2 x y x y 1 1 1 2 2 2 x 2 y 2 2 y x 2x 2y 2 1 1 =2 2 2. 2. 2 4 3 2 2 2 Vậy 1 1 S 1 x 1 1 y 1 3 2 4 y x Bài 5: (3 điểm) Cho a, b là hai số nguyên. Chứng minh rằng nếu 2 5 a b ab chia hết cho 441 thì ab cũng chia hết cho 441. 2 2441 3 .7 ; 3 và 7 là các số nguyên tố 2 2 2 2 2 2 2 5 a b ab 5 a b 21ab 441 5 a b 21ab 3 5 a b 3 vì 21ab 3 a b 3 a b 3 5 a b 9 mà 5 a b 21ab 9 nên 21ab 9 ab 3 Ta có: a b 3 và ab 3 a 3 và b 3 ab 9 Mặt khác, ta còn có 2 2 2 5 a b ab 7 5 a b 21ab 7 a b 7 vì 21ab 7 2 2 5 a b 49. Mà 5 a b 21ab 49 nên 21ab 49 ab 7 Ta có: a b 7và ab 7 a 7 và b 7 ab 49 Ta có: ab 9, ab 49, ƯCLN 9,49 441 . Do đó ab chia hết cho 441. Bài 6: (4 điểm) Gọi AD là đương phân giác trong góc A của ABC (D thuộc đoạn BC). Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N sao cho ABN CBM . BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM tại điểm thứ hai E và CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN tại điểm thứ hai F. CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Trang 5 Học Sinh Giỏi Lớp 9 (Vòng 2) –Quận 6 (14-15) E F D A B C N M a) Chứng minh: BCEF là tứ giác nội tiếp. Ta có: BFC BAD 2 góc nội tiếp cùng chắn BN của ABN BEC CAD 2 góc nội tiếp cùng chắn CN của ABN BAD CAD AD là đường phân giác của ABC BFC BEC tư ù giác BCEF nội tiếp tư ù giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới 2 góc bằng nhau b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng. Ta có: CFE CBE 2 góc nội tiếp cùng chắn CE của BCEF ABN CBE vì ABN CBM CFE ABN mà ABN CFA 2 góc nội tiếp cùng chắn AN của ABN nên CFE CFA tia FE tia FA A, E, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng: BCF ACM . Từ đó suy ra ACN BCM Tacó: BCF BEF 2 góc nội tiếp cùng chắn BF của BCEF ACM BEF 2 góc nội tiếp cùng chắn AM của ACM BCF ACM BCM MCN ACN MCN BCM ACN HẾT
Tài liệu đính kèm: