Đề kiểm tra chất lượng học kì II năm học 2015 - 2016 môn toán lớp 11 thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HỌC KÌ II 
NĂM HỌC 2015-2016 
MÔN TOÁN LỚP 11 
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề 
Câu 1. ( 2,5 điểm) Tính các giới hạn sau: 
a) ( )2
1
lim 2
x
x x
→
+ ; b) 2 3lim
5x
x
x→+∞
+
+
. 
Câu 2. (2,0 điểm) 
a) Xét tính liên tục của hàm số 
2 2 3 khi 2( )
7 khi 2
 + − ≤
= 
− >
x x xf x
x x
 tại 2x = . 
b) Cho hàm số 2sin sin 2 4y x x x= + − . Giải phương trình ' 0=y . 
Câu 3. (1,5 điểm) Cho hàm số ( )3 2 1 2y x x m x= + + − có đồ thị (C) (với m là tham 
số). Điểm M là điểm nằm trên (C) và có hoành độ bằng 1. 
a) Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M. 
b) Tìm m để đường thẳng d đi qua ( )2;5A . 
Câu 4. (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh a. Hình chiếu 
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB, SC a= . 
a) Chứng minh rằng AB vuông góc với mặt phẳng (SHC). 
b) Tính độ dài đoạn SH theo a. 
c) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC). 
Câu 5. (1,0 điểm) Cho hai số thực x, y thỏa mãn 
2
2 1
4 4
+ =
x y . Tìm giá trị lớn nhất và 
nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2
x yP
x y
−
=
+ +
. 
--------Hết------ 
Họ và tên học sinh: ......................................................Số báo danh:..................... 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
BẮC GIANG 
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI KIỂM TRA HỌC KÌ 2 
NĂM HỌC 2015 2016− 
MÔN: TOÁN LỚP 11 
Chú ý : Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. 
Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác 
đúng thì chấm và cho điểm từng phần tương ứng. 
Câu Nội Dung Điểm 
1 
a ( )21lim 2 3x x x→ + = 1,25 
b 
322 3lim lim 255 1x x
x x
x
x
→+∞ →+∞
++
= =
+ +
 1,25 
2 
a 
 f(2) = 5 0,25 
 ( )2
2 2
lim ( ) lim 2 3 5
x x
f x x x
− −→ →
= + − = 0,25 
( )
2 2
lim ( ) lim 7 5
x x
f x x
+ +→ →
= − = 0,25 
2 2
lim ( ) lim ( ) (2) 5
x x
f x f x f
+ −→ →
⇒ = = = 
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại x = 2. 0,25 
b 
TXĐ:ℝ 
' 2cos 2cos 2 4y x x= + − 0,25 
2
' 0 cos cos 2 2 0 2cos cos 3 0y x x x x= ⇔ + − = ⇔ + − = 0,25 
( )
cos 1
2 .3
cos (vn)
2
x
x k k
x
pi
=
⇔ ⇔ = ∈
 = −

ℤ 0,5 
3 
a 
TXĐ:ℝ 
2
' 3 2 1 2y x x m= + + − 0,25 
(1;3 2 ), y'(1) 6 2M m m− = − 0,25 
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M là 
(6 2 m).(x 1) 3 2 (6 2 ) 3y m y m x= − − + − ⇔ = − − 0,5 
b Đường thẳng d đi qua ( )2;5A suy ra được m=1 0,5 
4 
H
A
B
C
S
E
a 
Từ giả thiết suy ra ( ) (1)SH ABC SH AB⊥ ⇒ ⊥ 0,5 
Tam giác ABC đều có H là trung điểm của AB nên CH AB⊥ (2) 0,5 
Từ (1) và (2) ta có ( )AB SHC⊥ 0,5 
b 
 Tam giác ABC đều cạnh a có CH là trung tuyến nên 
3
2
aCH = 0,25 
Tam giác SHC vuông tại H nên 2 2
2
aSH SC CH= − = 0,5 
c 
Theo a) ta có AB SC⊥ ,Kẻ , ( )AE SC E SC BE SC⊥ ∈ ⇒ ⊥ 
Từ đó (( ), ( )) ( , )SAC SBC AE BE= 0,25 
Tam giac SHC vuông tại H có HE là đường cao 
nên 2 23 7. .
4 4
a aHE SC SH HC HE AE AH HE= ⇒ = ⇒ = + = 
 21cos
7
AEH⇒ = 
0,25 
Tam giác ABE có H là trng điểm của AB, HE vuông góc với AB nên 
tam giác EAB cân tại E nên 
 2 1 1cos 2cos 1 cos(( ), ( ))
7 7
AEB AEH SAC SBC= − = − ⇒ = 
0,25 
5 
 Từ 2 24 1 2 2 0x y x y+ = ⇒ + + > 
Đặt: sin ,2 cosx t y t= = 
Ta có 2sin cost
2sin 2cos 4
tP
t t
−
=
+ +
0,25 
(2 2)sin (2 1)cos 4P t P t P⇒ − + + = − 
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2(2 2) (2 1) 16P P P− + + ≥ 0,25 
28 4 5 0
1 11 1 11
4 4
P P
P
⇔ + − ≤
− − − +
⇔ ≤ ≤
Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của P lần lượt là 1 11 1 11;
4 4
− − − +
0,5