Đề khảo sát học sinh giỏi năm học 2015 - 2016 môn: Toán 8 (thời gian làm bài 120 phút)

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
TIỀN HẢI
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
m¤N: TOÁN 8
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4,5 điểm).
 1. Cho biểu thức với 
 a) Rút gọn A.
 b) Tìm x, y thỏa mãn và A = 2. 
2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: . 
Bài 2 (4,0 điểm).
(n - 1 chữ số 5)
(n chữ số 1)
 a) Cho với . Chứng minh A là số chính phương.
 b) Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho (x + 1) dư 4, chia cho (x + 2) dư 1, chia cho (x + 1)(x + 2) thì thương là và còn dư.
Bài 3 (4,0 điểm).
Tìm x, y, z biết:
 và . 
 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm. 
Bài 4 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông).
a) Chứng minh ΔBIO = ΔCMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a.
b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và . 
c) Chứng minh . 
Bài 5 (1,5 điểm). Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Các đường cao tương ứng là ha, hb, hc. Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất?
 Họ và tên thí sinh: .......................................................................................................
 Số báo danh: .................................................Phòng.....................................................
PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016
ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM
m¤N: TOÁN 8
(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 05 trang)
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1 (4,5đ) 
 1. Cho biểu thứcvới 
a) Rút gọn A.
b) Tìm x, y thỏa mãn và A = 2. 
3đ
a/ 
2,0 điểm
Với ta có:
0,75đ
0,75đ
0,25đ
Vậy thì A = 2x(x + y)
0,25đ
b/ 
1,0 điểm
Ta có
0,5đ
 ()
0,5
Thay y = x + 1 vào A = 2x(x + y) ta được : 
2x( x + x + 1) = 2 2x2 + x = 1
2x2 + x - 1 = 0 (x + 1)(2x - 1) = 0
+ Với x = - 1, ta có y = 0 (loại) 
 + Với x =, ta có y = (thoả mãn) 
Vậy x, y cần tìm là x = và y = 
0,5
2. Phân tích đa thức thành nhân tử
1,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(4 đ)
a)Tìm đa thức f(x) thỏa mãn chia cho (x+1) dư 4, chia cho (x+2) dư 1, chia cho (x+1)(x+2) thì thương là và còn dư.
2đ
Vì f(x) : (x+1) dư 4 f(x)= (x+1).Q(x)+4
Vì f(x) : (x+2) dư 1 f(x)= (x+2).P(x)+1
Vì f(x) : (x+1)(x+2) thương 5x2 và còn dư nên đa thức dư có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1
Do đó f(x) = (x+1)(x+2).5x2+ax+b
1đ
 f(x) = 5x4 +15x3 + 10x2 + ax + b
Ta có f(-1) = - a+b = 4 b = 4+a (1)
 f(-2) = -2a+b = 1 b = 1+2a (2)
Từ (1) và (2) 	
Vậy f(x) = 5x4+15x3+10x2+3x+7
1đ
b) Cho 
Chứng minh A là số chính phương.
2đ
Ta có 
là số chính phương.
1.75đ
Vậy là số chính phương. 
0.25đ
Bài 3(4đ)
a) Tìm x, y, z biết 
 và 
2đ
Ta có
0,5đ
Chứng minh tìm ra 
1đ
Thay vào x = y = z vào ta có
 Vậy x = y = z = 3
0,5đ
b) Tìm m để phương trình sau vô nghiệm.
 (1)
2đ
ĐKXĐ: x+ m và x- m 
0,5
0,5đ
+ Nếu 2m -1= 0 ta có (*) 0x = (vô nghiệm) 
 + Nếu m ta có (*) 
0,5đ
- Xét x = m 
(Không xảy ra vì vế trái luôn dương)
Xét x= - m
Vậy phương trình vô nghiệm khi hoặc m = 
0,5đ
Bài 4(6đ)
6đ
Xét và có:
 BO = CO ( t/c đường chéo hình vuông)
 ( cùng phụ với)
 = (g.c.g)
1đ
 mà 
Hay 
1đ
Ta có CM = BI ( vì =)
 BM = AI
Vì CN // AB nên 
IM // BN ( Định lí Talet đảo)
Hay IMNB là hình thang
1,5đ
Vì OI = OM ( vì =) 
cân tại O 
Vì IM // BN IM // BK 
( sole trong) 
0,5đ
Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh 
Ta có vuông tại A có AD NE nên
0,75đ
áp dụng định lí pitagota vào ta có AN2 + AE2 = NE2
0,75đ
Mà và CD = AD 
0,5đ
Bài5
(1,5đ)
Qua C vẽ Cx song song AB gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx ; CD = AC = b; AD = 2hc 
Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD 
0,5đ
Tam BDA có theo định lý pitago
(Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b)
0,5đ
Chứng minh tương tự: 
 (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra b = c)
 (Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra c = a)
Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra a = b = c
0,5đ
 *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. 
 *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. 
 *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.