Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 – 2016 môn toán (thời gian làm bài 150 phút)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO 
 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9
ĐỀ CHÍNH THỨC
NAM TRỰC
NĂM HỌC 2015 – 2016
MÔN TOÁN 
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề thi gồm 01 trang
Bài 1: (4,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức với x > 0, 
2. Cho . Tính giá trị của biểu thức A = 7(x2 – 4x)100 + (x2 – 4x)50 + 2016
Bài 2: (4,0 điểm)
Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x + 3 = y2
Giải phương trình 
Bài 3: (3,0 điểm) 
Giải hệ phương trình 
Bài 4: (2,0 điểm)
Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 
Bài 5: (7,0 điểm)
1. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B, C (d không đi qua O). Trên tia đối của tia BC lấy điểm A (A nằm ngoài đường tròn tâm O). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K. 
a. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn và AK. AI = AM2
b. Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm ME.
 2. Cho hình vuông có độ dài cạnh bằng 1m, trong hình vuông đó đặt 55 đường tròn, mỗi đường tròn có đường kính m. Chứng minh rằng tồn tại một đường thẳng giao với ít nhất bảy đường tròn.
------Hết------
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM
Bài 1: (4,0 đ)
Câu
Nội dung
Điểm
1.
(2,0đ) 
1,0
1,0
2.
(2,0đ)
=> 
A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016
A = 2024
1,0
1,0
Bài 2: (4,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm
1.
(2,0đ)
Với x = 0 thì y = 2 hoặc y = -2
Với x= 1 thì y2 = 5 (loại)
Với x 2 thì VT chia 4 dư 3, 
Vì VT là số tự nhiên lẻ => y là số tự nhiên lẻ
=> VP chia 4 dư 1 => vô lí.
Vậy nghiệm tự nhiên của phương trình là (x,y) =(0;2)
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2.
(2,0đ)
Để phương trình có nghiệm thì : 
0,25
0,5
0,5
Dễ dàng chứng minh được 
0,5
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}
0,25
Bài 3: (3,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm
3,0đ
Từ phương trình 2 tìm được x=2 và y=2
Thay vào phương trình 1 tìm được z = -2
1,0
1,0
1,0
Bài 4: (2,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm
2,0đ
Vì x, y, z > 0 ta có:
Áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương và ta được:
 (1) . Tương tự ta có:
Cộng (1) + (2) + (3) ta được:
Dấu “=” xảy ra 
Vậy min P = 1 
0,5
0,5
0,5
0,25
02,5
Bài 5: : (7,0đ)
Câu
Nội dung
Điểm
1.
(5,5 đ)
1a
(2,0đ)
I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O ) => I thuộc đường tròn đường kính AO (1)
Ta có ( do AM là hai tiếp tuyến (O) ) => M thuộc đường tròn đường kính AO (2)
 ( do AN là hai tiếp tuyến (O) ) => N thuộc đường tròn đường kính AO (3)
 => 5 điểm A, M, N, O, I cùng thuộc đường tròn đường kính AO
Suy ra 4 điểm O, M, N, I cùng thuộc đường tròn đường kính OA
0,5
0,5
0,5
0,5
1,5đ
AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân giác mà ∆OMN cân tại O nên 
∆AMO vuông tại M đường cao MH nên ta có AH.AO = AM2
∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì và chung ) 
Suy ra AK.AI = AH.AO
=> AK.AI = AM2
0,5
0,5
0,5
1b
(2,0đ)
Ta có M thuộc đường tròn (O) => 
Xét ∆MHE và ∆QDM có ( cùng phụ với ), ( cùng phụ với )
∆MHE đồng dạng ∆QDM	 
∆PMH đồng dạng với ∆MQH 
Þ ME = 2 MP Þ P là trung điểm ME.
1,0
0,5
0,5
(1,5 đ)
Kẻ 9 đường thẳng song song cách đều chia hình vuông thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng là 0,1m. 
Vì đường kính của mỗi hình tròn lớn hơn 0,1m nên mỗi đường tròn bị ít nhất một trong 9 đường thẳng vừa kẻ cắt.
Nếu mỗi đường thẳng chỉ cắt không quá 6 đường tròn thì số đường tròn không quá 9.6=54 .
Vì có 55 đường tròn nên ít nhất phải có một đường thẳng cắt 7 đường tròn.
0,5
0,5
0,5
Chú ý: 
 Học sinh làm cách khác nếu đúng và chặt chẽ cho điểm tương đương.
Giám khảo khi chấm thống nhất cho điểm đến 0,25
Nếu học sinh vận dụng kiến thức trước chương trình vẫn cho điểm.
Điểm của học sinh tính đến 0,25 và không làm tròn.