Đề khảo sát học sinh giỏi Lần 2 môn Toán 6

 TRƯỜNG THCS NGA THANH
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 LẦN 2
Thời gian 150’
Ngày 11/1/19
Câu 1 (5đ)Tìm x biết: 
 a) 3 + 2x -1 = 24 – [42 – (22 - 1)]
 b) (x+1) + (x+2) + (x+3) + ...+ (x+100) = 205550
 c) = 18 + 2.(-8) 
 d) 11 - (-53 + x) = 97
	 e) -(x + 84) + 213 = -16
Câu 2 (6,0 điểm)
a) Khi chia số tự nhiên a cho 54, ta được số dư là 38. Chia số a cho 18, ta được thương là 14 và còn dư. Tìm số a.
b) Tìm số nguyên tố p, sao cho và đều là các số nguyên tố.
c) Cho 
Chứng minh rằng A không phải là số chính phương
Câu 3 : (3 điểm) 
a) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b.
b) Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương
c) Tìm số nguyên x và y, biết : xy - x + 2y = 3.
Câu 4 : (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.
Chứng tỏ rằng OA < OB.
Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).
Câu 5:(1điểm) Cho 2019 đường thẳng trong đó bất kì 2 đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có 3 đường thẳng nào đồng quy.Tính số giao điểm của chúng.
Đáp án toán 6 lần 2
Câu
Đáp án
Điểm
1a
a) 3 + 2x-1 = 24 – [42 – (22 - 1)]
3 + 2x-1 = 24 – 42 + 3
 2x-1 = 24 – 42 
2x-1 = 22 
x -1 = 2
x = 3 
0.25
0.5
0.25
1b
 ( x+1)+ (x+2)+ (x+3)+ ...+ (x+100)=205550
 x+x+x+...+x+1+2+3+...+100=205550
 100x+5050=205550 
 100x=200500
 x=2005 
0.25
0.25
0.25
0.25
1c
c/ x=7 
hoặc x=3
0.5
0.5
1d.
 11 - (-53 + x) = 97
1
1e.
 -(x + 84) + 213 = -16
0.5
0.25
0.25
a)
(2.0đ)
Từ phép chia thứ nhất ta có a = 54x + 38 (1); 
Từ phép chia thứ 2 ta có a = 18.14 + r (2); 
Trong đó . 
Từ (1) ta có , 
như vậy r = 2 và a = 18.14 + 2 = 254; 
Vậy số a = 254
0.5
0.5
0.5
0.5
b)
(2.0đ)
Số p có một trong ba dạng: 3k; 3k + 1; 3k + 2 với 
- Nếu p = 3k thì p = 3 khi đó p + 2 = 5; p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố;
- Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p = 2 là hợp số (trái với đề bài);
- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 chia hết cho 3 và lớn hơn 3 nên p + 4 là hợp số (trái với đề bài);
Vậy p = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài.
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
c
(2.0đ)
Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.
Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0
Nên có chữ số tận cùng là 8
Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9
1
1
3a)
Từ dữ liệu đề bài cho, ta có :
+ Vì ƯCLN(a, b) = 15, nên ắt tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho:
a = 15m; b = 15n (1)
và ƯCLN(m, n) = 1 (2)
+ Vì BCNN(a, b) = 300, nên theo trên, ta suy ra : 
+ Vì a + 15 = b, nên theo trên, ta suy ra :
Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả mãn điều kiện (4).
Vậy với m = 4, n = 5, ta được các số phải tìm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75
1
3b)
Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( aÎ Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*)
+ Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) 
+ Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)chia hết cho2 và (a+n) chia hết cho2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) 
Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương.
0,25
0,25
0,25
0,25
3c
xy - x + 2y = 3=> xy + 2y – x - 2 = 1=> (xy + 2y) – (x + 2) = 1=>
y(x + 2) – (x + 2) = 1=>(x + 2)(y – 1) = 1 = 1.1 = (-1)(-1)
x + 2 = 1 và y – 1 = 1 hoặc =>x + 2 = -1 và y – 1 = -1. 
Suy ra x = -1 Z, y = 2 Z ( Thỏa mãn)
 x = -3 Z, y = 0 Z ( Thỏa mãn
0,25
0.25
0,25
0.25
Câu 4 (5điểm)
Câu
Đáp án
Điểm
Hình vẽ
a.
Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra :
 OA < OB.
2
b.
Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :
Vì OA < OB, nên OM < ON.
Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M nằm giữa hai điểm O và N.
1.5
c.
Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta có :
suy ra : 
hay : 
Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). 
1.5
Câu 5 
- Mỗi đường thẳng cắt 2018 đường thẳng còn lại nên tạo ra 2018 giao điểm.
- Có 2019 đường thẳng nên có : 2018.2019 giao điểm.
- Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là: 2018.2019:2=2037171 giao điểm.
0,5
0,5