PHềNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TIỀN HẢI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 MễN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phỳt) Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tớnh A. b) Tỡm chữ số tận cựng của A. c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao? Bài 2 (4,0 điểm) a) Tỡm x, biết: b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 4; 5 và cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2. Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tỡm a. b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x). Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: DAMC = DABN. b) Chứng minh: BN ^ CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN. d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN. Bài 5 (2,0 điểm) Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: Họ và tờn thớ sinh: ....................................................................................................... Số bỏo danh: .................................................Phũng..................................................... PHềNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM mÔN: TOÁN 7 (Đỏp ỏn và biểu điểm chấm gồm 03 trang) Bài 1 (4,0 điểm) Cho A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016. a) Tớnh A. b) Tỡm chữ số tận cựng của A. c) A cú là số chớnh phương khụng? Vỡ sao? Cõu Nội dung Điểm a/ (1,5 đ) Ta cú: A = 3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016 3A = 32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 0,5 Suy ra: 3A - A = (32 + 33 + 34 + + 32016 + 32017 )- (3 + 32 + 33 + + 32015 + 32016) 0,5 A = . 0,5 b/ (1,5 đ) Ta cú: A = (3 + 32 + 33 + 34) + +(32013 + 32014 + 32015 + 32016) = 3(1 + 3 + 32 + 33) + ... + 32013(1 + 3 + 32 + 33) 0,75 = 3.40 + ... + 32013.40 = 40.(3 + 35 + ... + 32013) 0,5 Suy ra A cú chữ số tận cựng là 0 0,25 c/ (1,0 đ) Lập luận được A chia hết cho 3 0,25 Lập luận được A khụng chia hết cho 32 0,25 Mà 3 là số nguyờn tố nờn suy ra A khụng là số chớnh phương 0,5 Bài 2 (4,0 điểm) a) Tỡm x, biết: b) Tỡm 3 phõn số cú tổng của chỳng bằng , cỏc tử của chỳng tỉ lệ với 3; 4; 5 và cỏc mẫu tương ứng của chỳng tỉ lệ với 5; 1; 2. Cõu Nội dung Điểm a/ (2,0 đ) Lập luận được > 0. 0,5 Nờn ị = 3 ị 0,75 ị x -1 = 1 hoặc x – 1 = -1 ị x = 2 hoặc x = 0. 0,5 Vậy x = 2 ; x = 0 0,25 b/ (2,0 đ) Gọi 3 phõn số cần tỡm lần lượt là thỡ ta cú và 0,5 ị ị 0,75 Theo tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú: = = ị 0,5 Vậy 3 phõn số cần tỡm là . 0,25 Bài 3 (3,0 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = ax + 4 cú đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). a) Tỡm a. b) Với a vừa tỡm được, tớnh giỏ trị của x thỏa món: f(3x- 1) = f(1- 3x). Cõu Nội dung Điểm a/ (1,5đ) Đồ thị hàm số y = ax + 4 đi qua điểm A(a+1; a2- a) nờn cú: a2- a = a(a+1) +4. 0,5 ị a2 - a = a2 +a + 4 ị a = -2. 0,75 Vậy a = -2 thỡ đồ thị đi qua điểm A(a + 1; a2 – a). 0,25 b/ (1,5đ) Với a = -2 ta cú hàm số y = f(x) = -2x + 4 ị f(3x- 1) = -6x + 6; f(1- 3x) = 6x + 2. 0,5 Do đú: f(3x- 1) = f(1- 3x) ị -6x + 6 = 6x + 2 ị x = . 0,75 Vậy khi x = thỡ f(3x- 1) = f(1- 3x). 0,25 Bài 4 (7,0 điểm) Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhọn. Vẽ ra phớa ngoài tam giỏc đú cỏc tam giỏc ABM, ACN vuụng cõn tại A. BN và MC cắt nhau tại D. a) Chứng minh: DAMC = DABN. b) Chứng minh: BN ^ CM. c) Cho MB = 3cm, BC = 2cm, CN = 4cm. Tớnh MN. d) Chứng minh rằng DA là phõn giỏc của gúc MDN. Cõu Nội dung Điểm a/ (2,0đ) C/minh được (Cựng bằng 900 +). 0,75 MA = AB (DMAB vuụng cõn tại A) AC = AN ( tam giỏc NAC vuụng cõn tại A) 0,75 ị DAMC = DABN(c-g-c) 0,5 b/ (2,0đ) Gọi giao điểm của BN với AC là F. Chỉ ra được ( vỡ DAMC = DABN) 0,5 ( vỡ DAMC = DABN ) 0,5 Từ đú suy ra = 900 Do đú: BN ^ CM. 1,0 c/ (1,5đ) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào cỏc tam giỏc vuụng MDN, BDC, MDB, NDC để C/m được hệ thức MN2 = MB2 + NC2 – BC2. 1,0 Tớnh được MN = cm 0,5 d/ (1,5đ) Trờn tia BN lấy điểm E, sao cho BE = MD CM DAMD = DABE (c-g-c) 0,5 Suy ra AD = AE ị DADE cõn tại A (1) DAMD = DABE ị ị DADE vuụng tại A (2) 0,75 Từ (1) và (2) ị ị DA là phõn giỏc của 0,25 Bài 5 ( 2,0 điểm) Tỡm cỏc số tự nhiờn a, b sao cho: Cõu Nội dung Điểm Vỡ 2016a + 13b – 1 và 2016a + 2016a + b là 2 số lẻ (*) 0.25 * Nếu a 0 2016a + 2016a là số chẵn Vỡ 2016a + 2016a + b lẻ b lẻ Với b lẻ 13b – 1 chẵn do đú 2016a + 13b – 1 chẵn (khụng t/m (*)) 0.5 * Nếu a = 0 (13b – 1)(b + 1) = 2015 = 1.5.13.31 Vỡ b N (13b – 1)(b + 1) = 5.403 = 13.155 = 31.65 và 13b – 1 > b + 1 0,25 +) Nếu b + 1 = 5 b = 4 13b – 1 = 51 (loại) +) Nếu b + 1 = 13 b = 12 13b – 1 = 155 (t/m) +) Nếu b + 1 = 31 b = 30 13b – 1 = 389 (loại) 0.75 Vậy (a; b) = (0; 12) 0.25 *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.
Tài liệu đính kèm: