Đề khảo sát chọn học sinh giỏi huyện Thái Thụy năm học 2012-2013 môn Toán 7

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN 7
Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề)
Bài 1 (3 điểm). 
a. Tính giá trị biểu thức 
 b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13.
	 Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13
Bài 2 (4 điểm). 
Cho biểu thức .
	a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.
	b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
	c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Bài 3 (2 điểm). 
Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
	 và . 
 Tìm x; y; z.
Bài 4: (3 điểm). 
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c
a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c
b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm.
Bài 5 (8 điểm). 
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
	a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? 
 So sánh DM và CN.
	b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. 
 Chứng minh .
	c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK.
Họ và tên thí sinh: . ........... Số báo danh................................................. .
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7
Bài
Nội dung
Điểm
Bài 1 (3đ)
a. Tính giá trị biểu thức 
 b. Cho a; b là các số tự nhiên thỏa mãn : a + 4b chia hết cho 13.
	 Chứng minh rằng 10a +b cũng chia hết cho 13
(a + 4b) 13 10(a + 4b) 13 
Xét 10.(a + 4b) –(10a +b ) = 10a + 40b -10a – b = 39b 13
Do 10(a + 4b) 13 nên (10a +b ) 3
1.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài2 (4đ ) 
Cho biểu thức .
a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được.
	Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x-2 = 0 
 Kết luận : Giá trị của biểu thức A không xác định được khi x = 2 
b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ?
Nhận xét : x2 0 x 	 x2 +3 > 0 x 
A nhận giá trị là số âm khi x-2 nhận giá trị là số âm 
A nhận giá trị là số âm khi x < 2 
c. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên
 A nhận giá trị nguyên khi nhận giá trị nguyên 
 nhận giá trị nguyên khi 7 (x-2)
x-2 nhận các giá trị : -7 ; -1 ; 1; 7 Giải ra, thử lại và kết luận: x 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 3(2đ) 
Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau:
	 và . Tìm x; y; z.
 Từ 
 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0 20z = 24y = 30x 
 10z = 12y = 15x 
Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18 
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 4 (3đ) 
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c
a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c
Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c
Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012
Tính được: 2a = 4025 và tính được a ; b 
Kết luận : a ; b và c = 0
b. Chứng minh rằng nếu f(1)= 2012; f(-2) = f(3) = 2036 thì đa thức f(x) vô nghiệm.
Tính được : 2012 = f(1) = a + b +c (1)
 2036 = f(-2) = 4a - 2b +c (2)
 2036 = f(3) = 9a +3b +c (3)
Từ (1) và (2) có a – b = 8 (4)
Từ (2) và (3) có a + b = 0 (5)
Từ (4) và (5) tìm được a = 4 ; b = -4 và tìm được c = 2012.
Như vậy f(x) = 4x2 - 4x + 2012 = .= (2x – 1)2 + 2011 > 0 x 
Kết luận: Đa thức vô nghiệm
0.5đ
 0.25đ
0.5đ
0.25đ
 0.5đ
0.5đ
0.5đ
Bài 5 (8đ) 
 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD.
A
C
M
E
B
D
N
K
a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN
* Chứng minh được: BAD = BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và = 450 + 450 = 900
 Kết luận BDC vuông cân tại B.
* 	Chứng minh được BDM = BCN DM = CN
b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. 
 Chứng minh .
Vì BDM = BCN suy ra 	
BNC vuông tại B nên 
CME vuông tại E nên 
Từ đó suy ra 
Vì 
Chứng minh BMK = CMD (g.c.g)
c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK
* AB = a, tính được BC = a do áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC 
 Và cũng tính được BD = BC = a ; BM = 
* Vì BMK = CMD suy ra MD = MK.
 Vậy chu vi DMK bằng 2MD + DK
 Tính được do áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM 
 Chứng ming được = 
 Chu vi tam giác DMK bằng 
1.0đ
0.5đ
0.5đ
1.0đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
0.5đ
Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm.
 - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
 - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. 
 - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ (ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
a. ;	
b. ;	
c. .
Bài 2: (6 điểm)
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16;
b. Tìm x, biết: 3 = 
c. Tìm x, y, z biết: và x + z = 2y.
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . 
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). 
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cân.
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng luôn chia hết cho 11.
Hết
Họ và tên học sinh:.............................................................; SBD:............................
Học sinh trường:.........................................................................................................
 UBND HUYỆN PHÚ THIỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Năm học: 2009-2010
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm).
Giải:
a. 
0,75đ
= 
0,75đ
b. 
1,0đ
=
1,0đ
c. 
=
01đ
01đ
=
0,5đ
Bài 2: (6 điểm)
Giải:
a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16.
2x – 2 – 6x – 6 – 8x – 12 = 16
0,25đ
-12x – 20 = 16
0,25đ
-12x = 16 + 20 = 36
0,50đ
x = 36 : (-12) = -3
0,50đ
b. Tìm x, biết: 3 = 
Nếu . Ta có: (vì nếu x = ½ thì 2x – 1 = 0)
0,25đ
3 = 
: (2x – 1) = 
0,25đ
2x – 1 =: = 
0,25đ
2x = + 1 = 
0,25đ
x = : 2 = > 
0,25đ
Nếu . Ta có: 
0,25đ
3 = 
: (1 - 2x) = 
0,25đ
-2x = - 1 = 
0,25đ
x = : (-2) = 
0,25đ
Vậy x = hoặc x = 
0,25đ
c. Tìm x, y, z biết : và x + z = 2y
Từ x + z = 2y ta có:
x – 2y + z = 0 hay 2x – 4y + 2z = 0 hay 2x – y – 3y + 2z = 0
0,25đ
hay 2x – y = 3y – 2z
0,25đ
Vậy nếu: thì: 2x – y = 3y – 2z = 0 (vì 5 ¹ 15).
0,25đ
Từ 2x – y = 0 suy ra: x = 
0,25đ
Từ 3y – 2z = 0 và x + z = 2y. Þ x + z + y – 2z = 0 hay + y – z = 0
0,25đ
hay - z = 0 hay y = z. suy ra: x = z.
0,25đ
Vậy các giá trị x, y, z cần tìm là: {x = z; y = z ; với z Î R }
hoặc {x = y; y Î R; z = y} hoặc {x Î R; y = 2x; z = 3x}
0,5đ
Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức .
Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d) 
Ta có:
(a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d)
ab + ad + 2cb + 2cd = ab + 2ad + cb + 2cd
0,75đ
cb = ad suy ra: 
0,75đ
Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA.
a. Chứng minh: CD // AB.
b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . 
Chứng minh rằng: rABH = rCDH.
c. Chứng minh: HMN cân.
Giải:
A
B
D
M
N
K
C
H
a/ Chứng minh CD song song với AB.
Xét 2 tam giác: DABK và DDCK có:
0,25đ
BK = CK (gt)
 (đối đỉnh)
0,25đ
AK = DK (gt)
0,25đ
Þ DABK = DDCK (c-g-c)
0,25đ
Þ ; mà Þ
0,25đ
Þ Þ AB // CD (AB ^ AC và CD ^ AC).
0,25đ
b. Chứng minh rằng: rABH = rCDH
Xét 2 tam giác vuông: rABH và rCDH có:
0,25đ
BA = CD (do DABK = DDCK)
AH = CH (gt)
0,25đ
Þ rABH = rCDH (c-g-c)
0,50đ
c. Chứng minh: HMN cân.
Xét 2 tam giác vuông: rABC và rCDA có:
0,25đ
AB = CD; ; AC cạnh chung: Þ rABC = rCDA (c-g-c)
Þ 
0,25đ
mà: AH = CH (gt) và (vì DABH = DCDH)
0,50đ
Þ DAMH = DCNH (g-c-g)
0,50đ
Þ MH = NH. Vậy DHMN cân tại H
0,50đ
Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng luôn chia hết cho 11.
Giải:
Ta có:
 = a.105 + b.104 + c.103 + a.102 + b.10 + c
0,25đ
= a.102(103 + 1) + b.10(103 + 1) + c(103 + 1)
0,50đ
= (103 + 1)( a.102 + b.10 + c)
0,50đ
= (1000 + 1)( a.102 + b.10 + c) = 1001( a.102 + b.10 + c)
0,25đ
= 11.91( a.102 + b.10 + c) 11
0,25đ
Vậy 11
0,25đ