SỞ GD&ĐT HƯNG YấN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU ĐỀ KSCL ễN THI THPT QUỐC GIA LẦN 2 NĂM HỌC 2014 ư 2015 MễN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phỳt, khụng kể thời gian phỏt đề. Cõu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số (1). a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ (C) của hàm số (1). b) Tỡm tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuụng gúc với đường thẳng d: x + 3y +1 = 0. Cõu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trỡnh: 0 ) cos )(sin cos 2 1 ( 2 cos = - + + x x x x b) Giải phương trỡnh: 2 2 2 4 log log (4 ) 5 0 x x - - = Cõu 3 (1,0 điểm). Tớnh tớch phõn 2 2 1 ln( . ) ( 2) x x e I dx x = + ũ Cõu 4 (1,0 điểm). a) Tỡm số phức z thoả món đẳng thức: ( ) 2 2 6 z z z i + + = - . b) Mỗi đề thi gồm 4 cõu được lấy ngẫu nhiờn từ 15 cõu hỏi trong một ngõn hàng đề thi gồm 15 cõu hỏi. Bạn Thủy đó học thuộc 8 cõu trong ngõn hàng đề thi. Tớnh xỏc suất để bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề thi cú ớt nhất hai cõu đó thuộc. Cõu 5 (1,0 điểm). Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :2 3 11 0 P x y z + + - = và mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 4 2 8 0 S x y z x y z + + - + - - = . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu (S). Tỡm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S). Cõu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C cú đỏy là tam giỏc cõn, AB AC a = = , ã 0 120 BAC = . Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đỏy gúc 60 0 . Tớnh thể tớch lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cỏch từ đường thẳng BC đến mặt phẳng ( ) ' ' AB C theo a . Cõu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC nhọn cú đỉnh ( 1;4) A - , trực tõm H . Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại M , đường thẳng CH cắt cạnh AB tại N . Tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc HMN là (2;0) I , đường thẳng BC đi qua điểm (1; 2) P - . Tỡm toạ độ cỏc đỉnh , B C của tam giỏc biết đỉnh B thuộc đường thẳng : 2 2 0 d x y + - = . Cõu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trỡnh: 2 2 1 2 (1) ( ) (2 ) (2 ) 2( 4) 2 3 ( 6) 1 3( 2) (2) x y x y x y y x x y y x y x x y y ỡ + = ù + + - + - ớ ù - - - - - + + = - ợ Cõu 9 (1,0 điểm). Cho ba số thực , , a b c thỏa món 2, 0, 0 a b c > > > . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1 1 ( 1)( 1)( 1) 2 4 5 P a b c a b c a = - - + + + + - + . Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810?fref=ufi) đó gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD&ĐT HƯNG YấN TRƯỜNG THPT MINH CHÂU (Đỏp ỏn chấm cú 06 trang) ĐÁP ÁN KSCL ễN THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2014ư2015 Mụn: TOÁN; LẦN 2 I. LƯU í CHUNG: ư Hướng dẫn chấm chỉ trỡnh bày một cỏch giải với những ý cơ bản phải cú. Khi chấm bài học sinh làm theo cỏch khỏc nếu đỳng và đủ ý thỡ vẫn cho điểm tối đa. ư Với bài hỡnh học khụng gian (cõu 6) nếu thớ sinh khụng vẽ hỡnh hoặc vẽ hỡnh sai thỡ khụng cho điểm tương ứng với phần đú. II. ĐÁP ÁN: Nội dung Điểm Cõu 1 Cho hàm số 3 2 1 3 y x x = - 2,0đ í a Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số 1,0đ 1.Tập xỏc định : D = . 2.Sự biến thiờn : 2 ' 2 y x x = - ; 0 ' 0 2 x y x = ộ = Û ờ = ở 3 1 1 lim lim [x ( ư )] = + 3 x x y x đ+Ơ đ+Ơ = Ơ 3 1 1 lim lim [x ( ư )] = ư 3 x x y x đ-Ơ đ-Ơ = Ơ 0,25đ Bảng biến thiờn 0 2 0 0 0 4 3 - Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng và Hàm số nghịch biến trờn . Hàm số cú cực đại tại 0 x = và yCĐ = y(0)=0. Hàm số cú cực tiểu tại 2 x = và yCT = y(2)= 4 3 - 0,25đ 0,25đ 3.Đồ thị Giao Ox: (0;0), (3;0) Giao Oy: (0;0) ' 0 1 y x = Û = ịĐồ thị hàm số nhận I 2 (1; ) 3 - làm điểm uốn và là tõm đối xứng 0,25đ í b f(x)=(1/3)x^3ưx^2 ư8 ư6 ư4 ư2 2 4 6 8 ư5 5 x y d cú hệ số gúc 1 3 k = - . Gọi 0 x là hoành độ điểm M Ycbt 0 1 '( ).( ) 1 3 y x Û - = - 0 '( ) 3 y x Û = 2 0 0 2 3 0 x x Û - - = 0 0 1 3 x x = - ộ Û ờ = ở 4 ( 1; ) 3 (3;0) M M ộ - - ờ Û ờ ở 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2.a (0,5 điểm) Giải phương trỡnh: ... 0,5 PT ( ) 0 ) 1 sin (cos cos sin 0 ) cos )(sin cos 2 1 ( 2 cos = + - - Û = - + + x x x x x x x x 0,125 ờ ờ ờ ờ ở ộ + = + = + = Û ờ ờ ờ ờ ở ộ = ữ ứ ử ỗ ố ổ - = ữ ứ ử ỗ ố ổ - Û ờ ở ộ = + - = - Û p p p p p p p p 2 , 2 2 4 1 4 sin 2 0 4 sin 2 0 1 sin cos 0 cos sin k x k x k x x x x x x x 0,25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: ( ) , 2 , 2 4 2 x k x k x k k p p p p p p = + = + = + ẻZ 0,125 Cõu 2.b 2 2 2 4 log log (4 ) 5 0 x x - - = Điểm (0,5điểm) Điều kiện: x > 0. 0,125 Khi đú, phương trỡnh đó cho tương đương với 2 2 2 2 4 4 2 2 log (log 4 log ) 5 0 log log 6 0 x x x x - + - = Û - - = (*) 0,125 Đặt 2 log t x = , phương trỡnh (*) trở thành 2 3 6 0 2 t t t t ộ = ờ - - = Û ờ = - ờ ở 0,125 - ộ ộ = = ờ ờ Û Û ờ ờ = - = ờ ờ ở ở 3 2 2 2 log 3 2 log 2 2 x x x x (nhận cả hai nghiệm) Vậy, phương trỡnh đó cho cú hai nghiệm : 8 x = và 1 4 x = 0,125 Cõu 3 (1điểm) Tớnh tớch phõn Ta cú 2 2 2 2 1 1 ln ( 2) ( 2) x x I dx dx x x = + + + ũ ũ 0,25 ã Ta tớnh 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 ( 2) 1 2 4 1 2 ln 2 ln 1 1 ( 2) ( 2) ( 2) 2 3 6 x x A dx dx dx x x x x x + = = - = + + = - + + + + ũ ũ ũ 0.25 ã Ta tớnh 2 2 2 1 1 2 2 ln ln 1 1 ln 2 ln 1 1 ( 2) 2 ( 2) 4 2 2 x x dx x B dx x x x x x = = - + = - + + + + + ũ ũ 1 1 3 ln 2 ln 4 2 2 = - + Thay cỏc kết quả vào I ta được 5 1 1 ln 2 ln 3 4 2 6 I = - - 0,5 4 a Tỡm số phức z thoả món đẳng thức: ( ) 2 2 6 z z z i + + = - . 0,5 Giả sử ( ) , z x yi x y = + ẻ Ă Ta cú ( ) 2 2 6 z z z i + + = - Û ( ) 2 2 6 x yi x yi x yi i + + + + - = - 0,25 ( ) 2 5 2 6 ; ; 6 5 x yi i x y ổ ử Û + = - Û = - ỗ ữ ố ứ . Vậy 2 6 5 z i = - 0,25 Cõu 4.b (1 điểm) b) Mỗi đề thi gồm 4 cõu được lấy ngẫu nhiờn từ 15 cõu hỏi trong một ngõn hàng đề thi gồm 15 cõu hỏi. Bạn Thủy đó học thuộc 8 cõu trong ngõn hàng đề thi. Tớnh xỏc suất để bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề thi cú ớt nhất hai cõu đó thuộc. í b (0,5 điểm Lấy ngẫu nhiờn 4 cõu hỏi từ ngõn hàng đề để lập một đề thi, cú 4 15 1365 C = đề thi Bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề cú 2 cõu đó thuộc, cú 2 2 8 7 . 588 C C = cỏch 0,25 Bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề cú 3 cõu đó thuộc, cú 3 1 8 7 . 392 C C = cỏch Bạn Thủy rỳt ngẫu nhiờn được một đề cú 4 cõu đó thuộc, cú 4 8 70 C = cỏch Vậy xỏc suất cần tỡm là: 588 392 70 10 1365 13 p + + = = 0,25 5 Trong khụng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :2 3 11 0 P x y z + + - = và mặt cầu ( ) 2 2 2 : 2 4 2 8 0 S x y z x y z + + - + - - = . Chứng minh mặt phẳng (P) tiếp xỳc với mặt cầu (S). Tỡm tọa độ tiếp điểm của (P) và (S). 1,0 Mặt cầu (S) cú tõm ( ) 1; 2;1 I - , bỏn kớnh 14 R = . 0,25 ( ) ( ) 2 6 1 11 , 14 14 d I P R - + - = = = ị mp(P) tiếp xỳc với mặt cầu (S) tại H (H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P)). 0,25 Giả sử H(x;y;z) .Ta cú IH uuur cựng phương với vtpt của mp(P) nờn ( ) 1 2 1 2 . 2 3 2 3 1 1 P x t x t IH t n y t y t z t z t ỡ ỡ ù ù - = = + ù ù ù ù ù ù = Û + = Û = - + ớ ớ ù ù ù ù - = = + ù ù ù ù ợ ợ uur ur 0,25 Tọa độ điểm H thỏa món hệ phương trỡnh ( ) 1 2 2 3 1 3;1;2 1 2 3 11 0 x t y t t H z t x y z = + ỡ ù = - + ù ị = ị ớ = + ù ù + + - = ợ . Vậy tiếp điểm của (P) và (S) là ( ) 3;2;1 H . 0,25 6 + Xỏc định gúc giữa (AB'C') và mặt đỏy là ã ' AKA ã 0 ' 60 AKA ị = . Tớnh A'K = 1 ' ' 2 2 a A C = ị 0 3 ' ' .tan 60 2 a AA A K = = 3 . ' ' ' 3 =AA'.S 8 ABC A B C ABC a V = 0,5 +) Vỡ BC//(AB’C’) nờn d(BC;(AB'C'))= d(B;(AB'C')) = d(A';(AB'C')) Chứng minh: (AA'K) ^ (AB'C') Trong mặt phẳng (AA'K) dựng A'H vuụng gúc với AK ị A'H ^ (AB'C') ị d(A';(AB'C')) = A'H Tớnh: A'H = 3 4 a Vậy d(B;(AB'C')) = 3 4 a 0,5 Cõu 7 (1điểm) Tỡm toạ độ ã Ta thấy tứ giỏc BMHN nội tiếp Suy ra I là trung điểm của BH; 0,25 N A H K C' B' A' C B A (2 2 ; ) B d B t t ẻ ị - Cõu7 iểm Suy ra (2 2 ; ) (3 2 ; 4), (2 1; 2) H t t AH t t BP t t + - ị = + - - = - - - uuur uuur Do H là trực tõm của tam giỏc ABC . 0 (2 3)(2 1) ( 4)( 2) 0 AH BP t t t t ị = Û + - + + + = uuur uuur 2 5 10 5 0 1 t t t Û + + = Û = - 0,25 Suy ra (0;1), (4; 1), (1; 3) H B AH - = - uuur ,đường thẳng : 3 7 0 BC x y - - = 0,25 Đường thẳng : 2 6 0 AC x y - + = . Tỡm được toạ độ ( 5; 4) C - - KL.. 0,25 Cõ u 8 Giải phương trỡnh: 2 2 1 2 (1) ( ) (2 ) (2 ) 2( 4) 2 3 ( 6) 1 3( 2) (2) x y x y x y y x x y y x y x x y y ỡ + = ù + + - + - ớ ù - - - - - + + = - ợ Điể m ĐK 0 0 0 0 2 0 x x y y x y ³ ỡ ³ ỡ ù ³ Û ớ ớ ³ ợ ù - ³ ợ Nếu y=0 thỡ 2 2 1 2 (1) 2 x x x Û + = (vụ lý) Tương tự x=0 khụng thỏa món, vậy x,y > 0. Đặt , 0 x ty t = > , phương trỡnh đầu trở thành: 2 2 1 2 ( 1) 2 1 1 (2 1) t t t t t + = + + - + - (1’) 0,25 Ta cú 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 (2 1) 2 2 1 1 ( 2 1 1) t t t t t t t = = = + - + - - + - + - + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (1') (2) ( 1) ( 2 1 1) 1 (2 1) ( 1) ( 2 1 1) 1 (2 1) t t t t t t t t Û + = Û + = + - + + - + - + + - Đặt ( , 0) 2 1 a t a b b t ỡ = ù > ớ = - ù ợ , (2) 2 2 1 1 1 (2) (*) (1 ) (1 ) 1 a b ab Û + = + + + Bổ đề : 2 2 1 1 1 (1 ) (1 ) 1 a b ab + ³ + + + Áp dụng BĐT CauchyưSchawarz ta cú: 0,25 ( )( ) 2 2 2 2 1 1 ( . ) (1 ) . (3) (1 ) 1 1 tt . (4) (1 ) 1 a a ab b a b b a b a b b a a ab a b b a b ³ + = + ị ³ + + + ³ + + + + + Cộng vế với vế ta được đpcm. Dấu “=” xảy ra a b Û = (*) 2 1 1 t t t x y Û = - Û = Û = 0.25 2 2 2 2 2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2) 4( 4) ( 3) ( 6) (2 1) 4( 4) ( 3) ( 6) (2 1) 2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2) 2(x 4) 3 ( 6) 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ỡ - - - - + = - ù ớ - - - - + - - - - + - - + - + = = ù - - - - - + ợ ( Do đk 3 x ³ nờn xư2 > 0) Û 2 2(x 4) 3 ( 6) 2 1 3( 2) (5) 2 7 28 2(x 4) 3 ( 6) 2 1 (6) 3 x x x x x x x x x ỡ - - - - + = - ù ớ + - - - + - + = ù ợ Cộng vế với vế (5) và (6) ta được: 2 2 2 7 28 4(x 4) 3 3( 2) 12( 4) 3 2( 4)( 12) 3 2( 4)(6 3 12) 0 2( 4)(x 3 6 3 9) 0 2( 4)( 3 3) 0 4 4 6 6 x x x x x x x x x x x x x x x x y x y + - - - = + - Û - + = - + Û - + - - = Û - + - + + = Û - + - = = ị = ộ Û ờ = ị = ở Vậy hpt đó cho cú tập nghiệm T={(4;4),(6;6)} 0,25 9 Cho ba số thực , , a b c thỏa món 2, 0, 0 a b c > > > . Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1 1 ( 1)( 1)( 1) 2 4 5 P a b c a b c a = - - + + + + - + 1,0 Đặt 1 1 2 0 a a a = - ị > . Khi đú: 2 2 2 1 1 1 1 ( 1)( 1)( 1) 2 1 P a b c a b c = - + + + + + + Ta cú: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( 1) 1 1 ( 1) 2 2 4 a b c a b c a b c + + + + + ³ + ³ + + + Dấu 1 " " 1 a b c = Û = = = . Ta lại cú 3 3 1 1 1 1 1 1 3 ( 1)( 1)( 1) 3 3 a b c a b c a b c + + + + + + + + ổ ử ổ ử + + + Ê = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ Dấu 1 " " 1 a b c = Û = = = . 0,25 Do đú : 3 1 1 1 27 1 ( 3) P a b c a b c Ê - + + + + + + . Dấu 1 " " 1 a b c = Û = = = Đặt 1 1 1 t a b c t = + + + ị > . Khi đú 3 1 27 ( 2) P t t Ê - + , 1 t > . 0,25 Xột hàm 3 1 27 ( ) , 1 ( 2) f t t t t = - > + ; 2 4 1 81 '( ) ( 2) f t t t = - + + ; 4 2 2 '( ) 0 ( 2) 81. 5 4 0 4 f t t t t t t = Û + = Û - + = Û = ( Do 1 t > ). lim ( ) 0 t f t đ+Ơ = Ta cú BBT. 0,25 t 1 4 +Ơ ( ) ' f t + 0 ư ( ) f t 1 8 0 0 Từ bảng biến thiờn ta cú 1 max ( ) (4) 4 8 f t f t = = Û = RFFFF Vậy giỏ trị lớn nhất của P là 1 8 , đạt được khi ( ) ( ) ; ; 3;1;1 a b c = . 0,25 ưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưHẾTưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưưư Cảm ơn thầy Nguyễn Thành Hiển (https://www.facebook.com/HIEN.0905112810?fref=ufi) đó gửi tới www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: