0 Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số. 2 1 x y x = - a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số . b) Xác định m để đường thẳng : 2 d y mx m = - + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho độ dài AB ngắn nhất. Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình : sin4 2 cos3 4sin cos x x x x + = + + Câu 3 (1,0 điểm). Tính ln 6 0 3 3 2 7 x x x e I dx e e = × + + + ò Câu 4 (1,0 điểm). a) Giải phương trình: 1 3 18.3 29 x x + - + = b) Tính tổng 1 2 3 2015 2015 2015 2015 2015 1. 2. 3. 2015. S C C C C = + + + + L Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ( ) ABCD trùng với trọng tâm của tam giác ABD , cạnh SB tạo với mặt phẳng ( ) ABCD một góc 0 60 .Tính theo a thể tích khối chóp . S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD . Câu 6 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2 : 9 18 0 T x y x y + - - + = và hai điểm ( ) 4;1 A ( ) , 3; 1 B - . Gọi , C D là hai điểm thuộc ( ) T sao cho ABCD là một hình bình hành. Viết phương trình đường thẳng CD . Câu7(1,0điểm). Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 3 0, : 1 0 P x y z Q x y z + + - = - + - = Viết phương trình mặt phẳng ( ) R vuông góc với ( ) P và ( ) Q đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) R bằng 2 . Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 6 3 3 4 6 19 2 3 4 3 5 14 x y x y x x y x y ì - + - = + ï í + + = + + + ï î . Câu 9 (1,0 điểm). Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 1 a b c + + = . Chứng minh bất đẳng thức : ( ) 1 1 1 2 3 a b c a b c æ ö + + - + + ³ ç ÷ è ø Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl SỞ GD & ĐT TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN 3 NĂM HỌC 2014-2015 MÔN: TOÁN KHỐI : 12 D Thời gian 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang 1 TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC. (Hướng dẫn chấm có 5 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL LẦN 3 NĂM 2015 Môn:TOÁN 12D I. LƯU Ý CHUNG: Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. Với bài hình học không gian nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm a Cho hàm số. 2 1 x y x = - a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số 1,0 å · Tập xác định: Hàm số 2 1 x y x = - có tập xác định D = { } \ 1 ¡ . · Chiều biến thiên. Đạo hàm: ( ) 2 2 ' 0, 1 1 y x x - = < " ¹ Þ - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ;1 -¥ và ( ) 1; . +¥ Hàm số không có cực trị. 0,25 Giới hạn tiệm cận : 1 1 2 2 2 lim 2; lim ; lim . 1 1 1 x x x x x x x x x + - ®±¥ ® ® = = +¥ = -¥ - - - Đồ thị hàm số có: tiệm cận ngang 2 y = , tiệm cận đứng 1 x = Bảng biến thiên: x 1 -¥ + ¥ y¢ - - y 2 +¥ -¥ 2 0,25 0,25 · Đồ thị : (học sinh tự vẽ hình) Nhận xét: giao điểm của hai tiệm cận ( ) 1;1 I là tâm đối xứng. của đồ thị 0,25 b Xác định m để đường thẳng : 2 d y mx m = - + cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho độ dài AB ngắn nhất. 1,0 å Phương trình hoành độ giao điểm chung giữa ( ) ( ) & C d là : 2 2 1 x mx m x = - + - ( ) ( ) 2 1 2 2 0 * x g x mx mx m ¹ ì ï Û í = - + - = ï î 0,25 1 d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B Û phương trình ( ) * có 2 nghiệm phân biệt khác ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 0 0 ** 1 2 2 0 m m m m m g m m m ì ¹ ï ¢ Û D = - - > Û > í ï = - + - ¹ î Khi đó ( ) ( ) { } C d A B Ç = ¹ . Gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 , ; 2 A x mx m B x mx m - + - + với 1 2 , x x là 0,25 2 nghiêm phương trình ( ) * theo định lí vi ét ta có 1 2 1 2 2 2 . x x m x x m + = ì ï í - = ï î ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 AB x x mx mx m x x Þ = - + - = + - ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 4 AB m x x x x é ù Þ = + + - ë û 0,25 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 8 1 1 2 4 1 8 16 m AB m m m m m m é ù - æ ö æ ö = + - = + = + ³ ç ÷ ç ÷ ê ú è ø è ø ë û 4 AB Þ ³ dấu bằng xẩy ra Û 1 m = . Vậy khoảng cách AB ngắn nhất bằng 4 1 m Û = 0,25 Giải phương trình : sin 4 2 cos3 4sin cos x x x x + = + + 1,0 å Phương trình 4sin cos cos 2 2 2cos 2 cos 4sin x x x x x x Û + = + 0,25 ( ) 2sin 1 cos 2 cos cos 2 cos 1 0 x x x x x Û - + - = ( ) ( ) 1 sin 2sin 1 1 cos 2 cos 0 2 1 cos 2 cos 0 x x x x x x é = ê Û - - = Û ê - = ë 0,25 + ( ) 1 5 sin 2 , 2 , 2 6 6 x x k x k k p p = Û = + p = + p ΢ + ( ) ( ) 3 2 1 cos 2 cos 0 2cos cos 1 0 cos 1 2cos 2cos 1 0 x x x x x x x - = Û - - = Û - + + = ( ) cos 1 0 cos 1 2 , x x x k k Û - = Û = Û = p ΢ 0,25 2 Vậy phương trình có ba họ nghiệm : ( ) 5 2 , 2 , 2 , 6 6 x k x k x k k p p = + p = + p = p ΢ 0,25 Tính ln6 0 3 3 2 7 x x x e I dx e e = × + + + ò 1,0 å Đặt 3 x e t + = . Khi đó 2 3 2 x x e t e dx tdt = - Þ = . Đổi cận Khi 0 2 x t = Þ = , khi ln 6 3 x t = Þ = 0,25 Suy ra ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 3 7 t t I dt dt t t t t = × = × + + + - + ò ò 0,25 ( ) ( ) 3 3 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 1 t I dt dt t t t t æ ö = × = - × ç ÷ + + + + è ø ò ò 0,25 3 ( ) ( ) 3 3 2 2 80 2 ln 1 ln 2 1 2 ln 4 2 ln 3 ln 7 ln 5 ln 63 t t = + - + = - - - = 0,25 a Giải phương trình: 1 3 18.3 29 x x + - + = 0,5 å PT ( ) 2 18 3.3 29 3.3 29.3 18 0 1 3 x x x x Û + = Û - + = Đặt ( ) 3 0 x t t = > . Thế vào pt ( ) 1 ta được phương trình: ( ) 2 3 29 18 0 2 t t - + = Giải ( ) 2 2 9, 3 t t Þ = = 0,25 4 + 2 9 3 9 3 2 x t x = Þ = = Û = + 3 2 2 2 3 log 3 3 3 x t x = Þ = Û = 0,25 3 Vậy phương trình có hai nghiệm 3 2 2, log 3 x x = = b Tính tổng 1 2 3 2015 2015 2015 2015 2015 1. 2. 3. 2015. S C C C C = + + + + L 0,5 å Số hạng tổng quát của dãy trên là 2015 k k C × với 1, 2015 k = , ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2015 2014 2015! 2014! 2015 2015 , 1, 2015 ! 2015 ! 1 ! 2014 1 ! k k k C k C k k k k k - × = × = × = × " = - - - - 0,25 Áp dụng : ( ) 0 1 2 2014 2014 2014 2014 2014 2015 S C C C C = × + + + + L ( ) 2014 2014 2015 1 1 2015 2 S Û = × + = × Chú ý . Học sinh có thể đùng đạo hàm của hàm số để tính tổng S 0,25 Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , . Tính theo a thể tích khối chóp . S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD . 1,0 å Hình vẽ ( học sinh tự vẽ ) Gọi H là trọng tâm tam giác ABD ( ) · ( ) ( ) 0 , , 60 SH ABCD SBH SB ABCD Þ ^ = = Gọi { } O AC BD = Ç . Ta có 2 2 2 1 2 5 , 2 3 6 3 a a a OA OB OH OA BH OB OH = = = = Þ = + = 0,25 5 Trong tam giác SBH ta có 3 0 2 . 15 1 15 . tan 60 , . 3 3 9 ABCD S ABCD ABCD a a SH BH S a V SH S = = = Þ = = 0,25 Xì ( ) AB CD CD SAB Þ nên ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , 3 , d CD SA d CD SAB d D SAB d H SAB = = = { } , DH AB M HM AB M Ç = Þ ^ là trung điểm AB ( ) ( ) ( ) AB SHM SAB SHM Þ ^ Þ ^ theo giao tuyến SM . Kẻ HK SM ^ Þ ( ) HK SAB ^ ( ) ( ) , HK d H SAB Þ = , (K SM Î ) 0,25 1 1 1 2 3 3 2 2 a HM HA a æ ö = = = ç ÷ è ø , 2 2 2 15 1 1 1 3 a SH HK HM SH = Þ = + 2 2 2 1 9 16 15 15 12 a HK HK a a Þ = + Þ = . Vây khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 15 12 a 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( ) 2 2 : 9 18 0 T x y x y + - - + = sao cho ABCD là một hình bình hành. Viết phương trình đường thẳng CD . 1,0 å Ta có ( ) 2 2 1 9 10 : 2 2 4 T x x æ ö æ ö - + - = ç ÷ ç ÷ è ø è ø nên ( ) T có tâm 1 9; 2 2 I æ ö ç ÷ è ø bán kính 10 2 R = 0,25 6 ( ) 1; 2 , 5 AB AB = - - = uuur , và ( ) : 2 7 0 AB x y - - = . Đường thẳng ( ) : 2 0 CD AB CD x y m Þ - + = ( điều kiện 7 m ¹ - ) 0,25 Khoảng cách từ I đến CD là 2 7 2 5 m h - = và ( ) 2 2 2 2 7 5 2 2 2 20 m CD R h - = - = - 0,25 4 Ta có ( ) ( ) 2 2 6 2 7 5 2 5 2 7 25 1 2 20 m m CD AB m m = - é = Û - = Û - = Û ê = ë thỏa mãn ( ) 6 : 2 6 0 m pt CD x y · = - + = ( ) 1 : 2 1 0 m pt CD x y · = - + = Có hai đường thẳng thỏa mãn : 2 6 0; 2 1 0 x y x y - + = - + = 0,25 cho hai mặt phẳng ( ) ( ) : 3 0, : 1 0 P x y z Q x y z + + - = - + - = .Viết phương trình mặt phẳng ( ) R vuông góc với ( ) P và ( ) Q đồng thời khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) R bằng 2. 1,0 å ( ) ( ) : 3 0, : 1 0 P x y z Q x y z + + - = - + - = VTPT của mặt phẳng ( ) P là ( ) 1 1;1;1 n = r , VTPT của mặt phẳng ( ) Q là ( ) 2 1; 1;1 n = - r , VTPT của mặt phẳng ( ) R là n r . 0,25 7 Giả thiết ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 1 1 2 2 1 , 1;0; 1 2 R P n n n n n n n R Q ^ ì ^ ì ï Þ Þ = = - í í ^ ^ î ï î r r r r r r r Do đó mặt phẳng ( ) : 0 R x z m - + = 0,25 Mà ( ) ( ) ; 2 2 2 2 2 m d O R m = Û = Û = ± 0,25 Khi 2 2 m = ta có mặt phẳng ( ) : 2 2 0 R x z - + = Khi 2 2 m = - ta có mặt phẳng ( ) : 2 2 0 R x z - - = 0,25 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 3 3 2 2 6 3 3 4 1 6 19 2 3 4 3 5 14 2 x y x y x x y x y ì - + - = + ï í + + = + + + ï î . 1,0 å Đkiện 4 3 14 5 x y ì ³ - ï ï í ï ³ - ï î . pt ( ) 1 Û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 0 1 3 1 3 1 1 1 3 0 x x y y x y x x y y > é ù ê ú - + - = + Û - - - + - + + = é ù ë û ê ú ë û 14444244443 ( ) ( ) 1 0 1 3 x y y x Û - - = Û = - 0,25 8 Thế ( ) 3 vào ( ) 2 ta được : 2 6 13 2 3 4 3 5 9 x x x x + + = + + + ( ) 4 Đ/K 4 3 x ³ - ( ) 4 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 4 3 3 5 9 0 x x x x x x é ù é ù Û + + + - + + + - + = ë û ë û 0,25 ( ) 2 2 2 2 3 0 2 3 4 3 5 9 x x x x x x x x x x + + Û + + × + × = + + + + + + ( ) 2 0 2 3 1 0 2 3 4 3 5 9 x x x x x x > é ù ê ú Û + + + = ê ú + + + + + + ê ú ë û 144444424444443 0,25 5 ( ) ( ) 3 2 3 0 1 0 1 2 x y x x x y é = ¾¾® = - Û + = Û ê = - ¾¾® = - ê ë ( thỏa mãn điều kiện) Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( ) ( ) ( ) { } ; 0; 1 , 1; 2 x y = - - - 0,25 Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 2 1 a b c + + = . Chứng minh bất đẳng thức ( ) 1 1 1 2 3 a b c a b c æ ö + + - + + ³ ç ÷ è ø 1,0 å Nhận xét : ( ) 2 1 4 3 2 3 , 1 3 a a a - + ³ - + với mọi 0 1 a < < dấu bằng khi 3 3 a = thật vậy ( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 6 3 4 3 0 3 1 2 3 0 a a a a a Û - - + ³ Û - + ³ luôn đúng với mọi 0 1 a < < dấu bằng khi 3 3 a = 0,25 0,25 9 Tương tự: ( ) 2 1 4 3 2 3 , 2 3 b b b - + ³ - + dấu bằng khi 3 3 b = ( ) 2 1 4 3 2 3 , 3 3 c c c - + ³ - + dấu bằng khi 3 3 c = 0,25 Từ: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 4 3 2 3 3 3 a b c a b c a b c æ ö - + + + + + ³ - + + + × ç ÷ è ø ( ) 1 1 1 2 3 a b c a b c æ ö Û + + - + + ³ ç ÷ è ø . Dấu bằng xẩy ra khi 3 3 a b c = = = 0,25 Chú ý: để tìm ra vế phải của (1) ta sử dụng phương pháp tiếp tuyến Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn) đã gửi tới www.laisac.page.tl
Tài liệu đính kèm: