Đề giao lưu học sinh giỏi lớp 8 môn : Toán - Năm học 2013 – 2014 thời gian làm bài: 150 phút

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CẨM GIÀNG
ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
MễN : TOÁN - NĂM HỌC 2013 – 2014
Thời gian làm bài: 150 phỳt
(Đề thi gồm 01 trang)
Cõu1(3 điểm). 
a. Phõn tớch cỏc đa thức sau ra thừa số:
1) 
 	2)
b. Giải phương trỡnh: 
c. Cho . Chứng minh rằng: 
Cõu2(1điểm). 
Cho biểu thức: 
 	a. Rỳt gọn biểu thức A. 
 	b. Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn.
Câu 3(1 điểm):
 Chứng minh rằng nếu Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1.
 Thỡ : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
Cõu 4(3điểm). . 
Cho hỡnh vuụng ABCD , M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD. Kẻ MEAB, MFAD.
a. Chứng minh: 
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất.
Cõu 5(2điểm). 
a. Cho 3 số dương a, b, c cú tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
b. Cho a, b dương và: a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 
Tinh: a2011 + b2011
.................Hết................
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Cõu
Đỏp ỏn
Điểm
Cõu 1
(3 điểm)
a.1) x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 
 	= (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 
 	= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 - 2x) 
 2) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
 	= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24
 	= [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
 	= (x2 + 7x + 11)2 - 52
 	= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
 	= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(1 điểm)
b. (*)
Vỡ x2 - x + 1 = (x - )2 + > 0	 	
(*) (x - 5)(x + 6) = 0 
(1 điểm)
c. Nhõn cả 2 vế của: 
với a + b + c; rỳt gọn đpcm	
(1điểm)
Cõu 2
(1 điểm)
Biểu thức: 
a. Rỳt gọn được kq: 
(0,5 điểm)
b. 
0,5 điểm
 Câu3
(1 điểm)
Từ GT (x2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz) 
x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2 
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2-xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
(x -y) = 0
Do x - y 0 nờn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
0,5 điểm
0,5 điểm
Cõu 3
(3 điểm)
HV + GT + KL 
(0,25 điểm)
a. Chứng minh: 	
 đpcm
(0,75 điểm)
b. Ta có 
Tương tự: 
DE, BF, CM là ba đường cao của đpcm
(1 điểm)
c. Giả sử cạnh hình chữ nhật có độ dài là a
 Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi
 khụng đổi
 lớn nhất (AEMF là hỡnh vuụng)
 là trung điểm của BD.
(1 điểm)
Cõu 4:
(2 điểm)
a. Từ: a + b + c = 1 	
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
(1 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002
(a+ b) – ab = 1
(a – 1).(b – 1) = 0
a = 1 hoặc b = 1
Với a = 1 => b2000 = b2001 => b = 1 hoặc b = 0 (loại)
Với b = 1 => a2000 = a2001 => a = 1 hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a2011 + b2011 = 2
(1 điểm)