Đề giao lưu học sinh giỏi lớp 8 cấp huyện năm học 2014 - 2015 môn: Toán (thời gian: 150 phút - không kể thời gian giao đề)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN
 HUYỆN QUẢNG XƯƠNG NĂM HỌC 2014-2015
Ngày thi: 20/4/2015 Môn: Toán
 (Thời gian: 150 phút - không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức 
	1) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định
	2) Tìm giá trị của x để giá trị của P bằng 0
	3) Tìm giá trị của x để 
Câu 2 ( 4 điểm):
	1) Giải phương trình: 
	2) Cho đa thức: 
	a) Phân tích A thành nhân tử
	b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x + y + z chia hết cho 6 thì A - 3xyz chia hết cho 6
Câu 3 ( 4 điểm): 
	1) Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2
Chứng minh rằng: 
	2) Hai công nhân nếu cùng làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc. Họ làm chung với nhau trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm xong công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành xong công viêc ?
Câu 4 (7 điểm): 
	1) Cho hình bình hành ABCD có góc A = 1200. Đường phân giác của góc D đi qua trung điểm của cạnh AB
	a) Chứng minh: AB = 2AD
	b) Gọi F là trung điểm của cạnh CD. Chứng minh: ADF là tam giác đều và AFC là tam giác cân
	c) Chứng minh AC vuông góc với AD
	2) Cho tam giác ABC, trong tâm G (AB < AC). Qua G vẽ đường thẳng d cắt các cạnh AB, AC ở D và E. Chứng minh rằng: 
Câu 5 (1 điểm): Cho a, b, c là các độ dài thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng: a, b, c là các cạnh của một tam giác
Họ tên: ...................................... Số báo danh : ................................
Giám thị không giải thích gì thêm
 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN QUẢNG XƯƠNG 
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
NĂM HỌC 2014-2015 - MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu
Nội dung 
Điểm
Câu 1
(4 đ)
1) Điều kiện: 
1 đ
2) Rút gọn: 
Vì: x2 + 1 > 0 với mọi x. Do đó không có giá trị nào của x để P = 0
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
3) Vì nên P = 1 hoặc P = -1
+ Nếu: P = 1 thì 
hai giá trị này không thỏa mãn điều kiện
+ Nếu: P = -1 thì với mọi x
Vây không có giá trị nào của x để 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 2
(4 đ)
1) Điều kiện: 
Quy đồng mẫu thức và rút gọn ta đưa về phương trình: 2x(x - 3) = 0
=> x = 0 (thỏa mãn); x = 3 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0
0,25
1 đ
0,5 đ
0,25 đ
2a) Ta có: 
 = (x + y + z)(xy + yz + zx)
 b) Vì x, y, z là các số nguyên và x + y + z 6 nên A 6
Mặt khác: x + y + z 6 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số chẵn, suy ra: xyz 2 => 3xyz 6
Suy ra: A - 3xyz chia hết cho 6
1 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 3
( 4 đ)
1) Từ: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 => ab + bc + ca = 0
=> a2 + 2bc = a2 + bc – ab – ca = ( a – b)( a – c) 
Tương tự: b2 + 2ca = ( b – c)( b – a) ; c2 + 2ab = ( c – a)( c - b) 
Đặt: 
Thay vào ta được: 
Vậy: 
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
2) Gọi thời gian để một mình người thứ hai làm xong công việc là x giờ (x > 12)
Ta có phương trình: . Giải ra ta có: x = 15 (thỏa mãn)
Vậy người thứ hai hoàn thành một mình xong công việc là 15 giờ
0,25 đ
1,5 đ
0,25 đ
Câu 4
(7 đ)
1a) Gọi E là trung điểm của AB. Ta chứng minh: ADE cân
Suy ra: AD = AE, mà AE = EB = AB/2 => AB = 2AD
 b) + Xét ADF có AD = DF do DF = AE =AB/2 (AB = DC)
Suy ra: ADF là tam giác cân mà góc A = 1200 => góc D = 600
Vậy ADF cân và có 1 góc bằng 600 nên ADF là tam giác đều
 + Ta có: AF = FD = DC/2 mà FC = DC/2 => AF = FC
Suy ra: AFC là tam giác cân
 c) Do ADF đều nên góc AFC = 1200
Theo câu b) AFC là tam giác cân nên góc ACF = 600/2 = 300
Xét ADC có: ADC + DCA = 600 + 300 = 900 => DAC = 900
hay: AC vuông góc với AD
1 đ
1 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 d
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
2) Gọi M là trung điểm của BC
Qua B vẽ đường thẳng // với d cắt
AM tại I, ta có: 
Qua C vẽ đường thẳng // với d
cắt AM tại K, ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Mặt khác: AI + AK = (AM - MI) + (AM + MK) = 2AM (4)
(vì MI = MK do BMI = CMK)
Từ (3) và (4) suy ra: 
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Câu 5
(1 đ)
Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì:
a < b + c; b < a + c và c < a + b
Theo bài ra ta có: 
ó c(a2 + b2 - c2) +a(b2 + c2 - a2) + b(c2 + a2 - b2) - 2abc > 0
ó a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 - 2abc >0 (*)
Vì: (b + c - a)(c + a - b)(a + b - c) = a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b - a3 - b3 - c3 - 2abc
Nên (*) ó (-a + b + c)(a - b + c)(a +b - c) > 0
Ta chứng minh được cả ba thừa số đều dương tức:
Từ đó suy ra độ dài a, b, c là các cạnh của một tam giác
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Chú ý: 
1) Nếu học sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định.
2) Việc chi tiết hóa (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải bảo đảm không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong tổ chấm.
3) Điểm bài thi là tổng điểm không làm tròn.
4) Bài 4 nếu không vẽ hình thì không chấm điểm.